Bài giảng Đại số 12 bài 4: Cực trị của hàm số

Bài 4: cực trị của hàm sốI/ Định nghĩa Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0  (a,b). 1. Lân cận của x0 là khoảng U(x0)= (x0-h, x0 +h ) với h>0 2. Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu  x  U(x0)  (a,b), mà x≠x0 thi ta có f(x) f(x0). Khi đó ta nói y=f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0, f(x0) gọi là giá trị cực tiểu , điểm M(x0, f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 4.Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trịII/Điều kiện để hàm số cú cực trị 1. Định lý 1 Cho hàm số y=f(x) xỏc định trờn U(x0) +Nếu y/ đổi dấu (+) thành (-) khi x qua x0 thỡ hàm số cú cực đại tại x0 +Nếu y/ đổi dấu (-) thành (+) khi x qua x0 thỡ hàm số cú cực tiểu tại x0.Chỳ ý:* Hàm số cú thể khụng cú đạo hàm tại x0, cũn nếu cú thỡ y/(x0)=0 * Cú thể minh họa định lý 1 bằng cỏc bảng:y + -y/ x0xy - +y/ x0xBài 4: cực trị của hàm số 2. Định lý 2 +Nếu f/ (x0) = 0 và f// (x0) 0 thì hàm số có cực tiểu tại x0 . 3. Một số ví dụ Ví dụ 1 Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: a, y= x3-3x2 +2 b, y= c, y= Lời giải a, TXĐ :R, y/= 3x2-6x, y/=0 ↔ x=0 , x=2 y/>0 với x2 ; y/ 0 khi x 1, Hàm số có cực đại tại x = 1 và yCĐ = y(1) = 2, hàm số không có cực tiểu.Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3- 6x2 + 3(m+2)x –m – 6 a, Tìm m để hàm số có cực trị b, Khi hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số c, Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu + 0 - - 0 + y/ - 1 3 5 + xBài 4: cực trị của hàm số Lời giải+TXĐ: R+ y/= 3x2 – 12x +3m +6a, Để hàm số có cực trị thì điều kiện cần và đủ là phương trình y/=0 phải có 2 nghiệm phân biệt↔ / > 0 ↔ -9m +18 > 0 ↔ m 0 ↔ (m-2)2(4m +17) >0 và m - 1, khi đó hàm số có cực tiểu tại x1 và x2, cực đại tại 0 Vậy m > - 1 là những giá trị cần tìm.Ví dụ5: Cho hàm số y= 1 với x- hữu tỷ, y = 0 với x- vô tỷ. Tìm cực trị của hàm số trên. Lời giải +Lấy x0- hữu tỷ, với một lân cận tùy ý U( x0) luôn có x1-hữu tỷ, x1≠ x0 và x1  U( x0). Ta cóY(x1) =y(x0), vậy hàm số không có cực trị tại x0 +Tương tự hàm số cũng không có cực trị tại x- vô tỷ. Vậy hàm số không có cực trị ---------------------------- Hết ----------------------------------------------- Bài 4: cực trị của hàm số