Bài giảng Một số tính chất về đường đi trên đồ thị

1.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊĐịnh lý 1.2: Giả sử đồ thị G có n đỉnh. Tồn tại đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên đồ thị G khi và chỉ khi tồn tại đường đi từ a đến b trên đồ thị này với độ dài không quá n-1.11.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Chứng minh: 	 Giả sử có đường đi ngắn nhất từ a đến b. Đường đi này có độ dài k-1. Hình 1.6. Một đường đi từ đỉnh a đến đỉnh bab21.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)Chứng minh:- Nếu k-1 ≤ n-1 thì định lý được chứng minh.Ngược lại (nghĩa là k > n), trong dãy đỉnh của đường đi có ít nhất hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn: xi = xj. Khi đó cũng là đường đi từ a tới b nhưng với độ dài ngắn hơn. Mâu thuẫn với giả thiết đường đi là ngắn nhất. 3BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊBài toán đường đi	Cho đồ thị G và hai đỉnh a, b thuộc G. 	Có hay không một đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên đồ thị G ?4BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)Thuật toán 1.1 Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G.Tính tổng các ma trận luỹ thừa:	 T = A + A2 +  + An-13. Nếu T[a,b]  1 thì kết luận là có đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b, ngược lại thì kết luận là không có.5BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Ma trận tổng T còn được gọi là bao đóng bắc cầu của ma trận kề A. Các phần tử của ma trận T có thể rất lớn, hơn nữa ta chỉ quan tâm đến tính chất khác 0 của các phần tử này. 6BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Cải tiến thuật toán 1.1 	- Có thể xem ma trận kề A như ma trận logic. 	- Trong phép nhân ma trận ta thay các phép toán số học + , * bằng các phép toán logic OR và AND. 	- Dùng thuật toán Warshall để tính ma trận bao đóng bắc cầu logic AS. Các phần tử logic của ma trận AS cho biết có hay không đường đi giữa các cặp đỉnh của đồ thị đã cho.7BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)Thuật toán 1.2 (Warshall)Dữ liệu: Ma trận kề logic A của đồ thị G.Kết quả: Ma trận bao đóng bắc cầu logic AS.8BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)Thuật toán 1.2 (Warshall)1 Begin2 for i := 1 to n do 3 for j := 1 to n do AS[i,j] := A[i,j] ;4 for k := 1 to n-1 do5 for i := 1 to n do6 for j := 1 to n do if ! AS[i,j] then AS[i,j] := AS[i,k] and AS[k,j] 8 End . Độ phức tạp: O(n3).91.7. BẬC CỦA ĐỈNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊBậc của đỉnhTính liên thông của đồ thịĐồ thị đầy đủMột số tính chất10BẬC CỦA ĐỈNH Định nghĩa 1.11: 	Giả sử G = (V, E) là một đồ thị, ta gọi bậc của một đỉnh là số cạnh kề với đỉnh đó.	Ký hiệu: r(a) là bậc của đỉnh a trong đồ thị G.11TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa 1.12	Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông, nếu trên đồ thị có đường đi vô hướng nối chúng với nhau.	Đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liên thông với nhau.12TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ tương đương. Quan hệ đó cho một phân hoạch trên tập các đỉnh. Mỗi lớp tương đương của quan hệ này được gọi là một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của đồ thị. 13VÍ DỤ 1.6Hình 1.7. Một đồ thị liên thôngabdec14Mỗi mảng liên thông của một đồ thị là một đồ thị con 	không rỗng liên thông.2. Hai mảng liên thông khác nhau thì không giao nhau. 3. Hai đỉnh ở hai mảng liên thông khác nhau thì không 	liên thông với nhau.4. Hợp các mảng liên thông cho ta đồ thị ban đầu.	Ký hiệu: p là số mảng liên thông của một đồ thị.TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)15BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG Định lý 1.3 	Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai lần số cạnh của đồ thị đó. Chứng minh:	Ta tính bậc của các đỉnh. Mỗi đỉnh thuộc một cạnh nào đó thì bậc của nó tăng thêm một. 	Mà mỗi cạnh thì có hai đỉnh.  16BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Hệ quả 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số chẵn. Hệ quả 1.2: Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh đó phải liên thông với nhau.17BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Định lý 1.4Đồ thị G có n đỉnh. Nếu bậc của mỗi đỉnh trong G không nhỏ hơn n/2 thì đồ thị G liên thông.18BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: 	Phản chứng: Giả sử đồ thị G không liên thông. 	Khi đó, có ít nhất hai đỉnh a và b nằm trong hai mảng liên thông khác nhau. 	Vậy thì, n ≤ r(a) + r(b) ≤ n-2. 	Suy ra điều mâu thuẫn. 19BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Định lý 1.5	Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông và không có đỉnh nút. Khi đó:	20BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Chứng minh: 	Giả sử mảng Gi có ni đỉnh. Thế thì ni ≥ 1.	Không mất tính tổng quát có thể xem G1 là mảng có nhiều đỉnh nhất.	Ta "dồn" các đỉnh cho mảng G1 mà không làm thay đổi số đỉnh, số cạnh và số mảng liên thông của đồ thị cho đến khi n2 = n3 = . . . = np = 1.21BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Chứng minh:	Cách “dồn” các đỉnh vào mảng G1:Giả sử còn mảng Gi mà n1  ni  2. Chọn a là một đỉnh của Gi sao cho nếu ta bỏ a và các cạnh kề với nó thì phần còn lại vẫn liên thông. Giả sử a được nối với k đỉnh trong Gi. 22BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Chứng minh:	Hiển nhiên 1  k  ni -1 < n1. 	Ta chọn k đỉnh bất kỳ trong mảng G1 và:- Thêm k cạnh mới nối a với các đỉnh đã chọn trong G1.Xoá bỏ k cạnh nối a với các đỉnh trong Gi.Đỉnh a liên thông với đỉnh trong G1 nên thuộc vàomảng G1.23BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Chứng minh:	Ta được một đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thông không thay đổi vì mảng Gi bớt a và k cạnh vẫn còn ít nhất một đỉnh, G1 thêm đỉnh a và k cạnh mới. 24BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Minh hoạ cách “dồn” các đỉnh: Hình 1.8. Cách dồn đỉnh cho mảng G1G1aGi25BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Chứng minh:Thực hiện phép “dồn” trên cho đến khi: n1 = n -p +1, n2 = n3 = . .. = np = 1 và G1 có m cạnh.	Vậy m = số cạnh trong G1, do đó:	Định lý được chứng minh. 26BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)Hệ quả 1.3	Đồ thị G có n đỉnh và số cạnh thì G liên thông. Chứng minh:	Theo Định lý 1.9. thì: 	Suy ra: 	Bất đẳng thức trên chỉ thỏa mãn khi p = 1, vậy G là liên thông. 27ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Đồ thị được gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều có cạnh nối. 	Ký hiệu Kn là đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh. 	- Đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị liên thông.	- Mỗi đỉnh của Kn đều có bậc n-1. 	- Hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường đi ngắn nhất có độ dài bằng 1, đó chính là cạnh nối hai đỉnh ấy. 28MỘT SỐ TÍNH CHẤT1. Đồ thị vô hướng n đỉnh (n  3), không có đỉnh nút và bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 2, luôn có chu trình đơn.2. Đồ thị n đỉnh (n  4) và bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 3 luôn có chu trình đơn độ dài chẵn29MỘT SỐ TÍNH CHẤT (tiếp)3. Đồ thị n đỉnh (n  2) không có đỉnh nút luôn có ít nhất hai đỉnh cùng bậc.4. Nếu đồ thị n đỉnh (n  4) có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc bậc n-1.5. Trong đồ thị n đỉnh (n  4) mà cứ bốn đỉnh tuỳ ý thì có ít nhất một đỉnh kề với ba đỉnh còn lại, thì số đỉnh bậc n-1 của đồ thị này không ít hơn n-3.30