Khóa luận Giải tích hàm một biến - Bài 6: khai triển taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK---------------------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾNBÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLORTS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cực trị tại x0:   > 0 :  x  (x0 – , x0 + )  f(x)  f(x0) Fermat: f đạt cực trị tại x0  (a,b) & khả vi tại x0  f’(x0) = 0 Minh hoạ hình học: ĐỊNH LÝ ROLL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b)   x0(a, b): f’(x0) = 0 Minh hoạ hình học: Giải: Xét hàm phụVD: Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + 2cx – (a + b + c) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thực trong khoảng (0, 1)ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b)   c  (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) VD: CMinh BĐThức Aùp dụng: Khảo sát tính đơn điệu của hàm y = f(x) bằng đạo hàmKHAI TRIỂN TAYLOR -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b) Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0  f(x)  f(x0) + f’(x0)(x – x0)Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x0 , x(a, b): Phần dư LagrangeKHAI TRIỂN MAC – LAURINT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) Phần dư Lagrange:Phần dư Peano:VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm a/ ex b/ cosx Kết quả:MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thị hàm được khai triểnKHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn  mũ chẵn; sin lẻ  mũ lẻ; tg lẻ  mũ lẻ. K0 đan dấu  shx, chx Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba)