19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
 	2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q”
Muốn chứng minh (với : giả thiết đúng, : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:
Giả sử không có ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải có (hay đúng)
Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q”
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết 
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
 	Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 	Giải:
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 	Giải:
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 	Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 	Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 	Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
 	=x + y + z – () vì xyz = theo giả thiết x+y +z > 
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 	Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 	Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 	Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 	Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Ví dụ 4: Cho và a.b.c=1. Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Cauchy 3 số)
Giải: Giả sử ngược l ại: 
Xét : 
Có ==
(Vì ) vô lý. Vậy: 
Ví dụ 5:
	Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3):
	 (1)
	(2)
	(3)
Giải: Giả sử tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó:
 	(1’)
 	(2’)
 (3’)
Nhân (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được: 
 Vô lý. Vậy bài toán được chứng minh
Phương pháp 17 : 	Sử dụng biến đổi lượng giác 
1. Nếu thì đặt x = Rcos, ; hoặc x = Rsin
2. Nếu thì đặt x = 
3.Nếu thì đặt 
4. Nếu thì đặt 
5. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức :
Thì đặt: 
Ví dụ 1: Cmr :
Giải : 
Đặt : 
Khi đó :
Ví dụ 2 : Cho .Chứng minh rằng :
Giải :
Đặt :
Ví dụ 3: Cho .Chứng minh rằng :
Giải :Đặt:
Phương pháp 18: 	Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Kiến thức:
Công thức nhị thức Newton
.
Trong đó hệ số.
Một số tính chất đặt biệt của khai triển nhị thức Newton:
+ Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng.
+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi đó số mũ của b tăng từ 0 đến n. Trong mỗi số hạng của khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ của a và b bằng n.
+Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau
 .
+ Số hạng thứ k + 1 là 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng (bất đẳng thức bernoulli)
Giải
Ta có: (đpcm)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
a)
b)
Giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
b) Đặt 
Theo câu (a) ta có:
Phương pháp 19: 	Sử dụng tích phân
Hàm số: liên tục, lúc đó:
* Nếu thì 
* Nếu thì 
* Nếu và thì .
*.
* Nếu thì (m, M là hằng số)
Ví dụ 1: Cho A, B, C là ba góc của tam giác. 
Chưng minh rằng: 
Giải:
Đặt 
Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho:
Ví dụ 2: Chứng minh: 
Giải
Trên đoạn ta có:
PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO
*Dùng định nghĩa 
 	1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
Giải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac
= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +
=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng 
 a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta có 
 c) 
 	Giải:
 	a) Xét hiệu: = = H
H0 ta có điều phải chứng minh
 	b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta có đpcm
 c) vế trái có thể viết H = H 0 ta có điều phải chứng minh
* Dùng biến đổi tương đương
 	1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có (vì xy = 1)
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với 
 	BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng 
 	Giải:
 Ta có 
 	 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có đpcm
* Dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng 
 	Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 	Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 	2) Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng (1)
Giải: (1) 
áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm)
* Dùng phương pháp bắc cầu
 	1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 	Giải: Do a <1 <1 và b <1
 Nên 
Hay (1)
Mặt khác 0 <a,b <1 ; 
 	Vậy 
 	Tương tự ta có 
 	 (đpcm)
 	2) So sánh 31 và 17
Giải: Ta thấy < 
 Mặt khác Vậy 31 < 17 (đpcm)
 	* Dùng tính chất tỉ số
 	1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Cminh rằng:
 	Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
 (1)
 (2)
 (3)
 	Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 	2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
 	Chứng minh rằng :
 	Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) 
 Mặt khác 
 	Vậy ta có Tương tự ta có 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
* Phương pháp làm trội :
 	1) Chứng minh BĐT sau :
 a) 
 b) 
 	Giải: 
 a) Ta có : 
Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có
 (đpcm)
 b) Ta có: 
 < (đpcm)
PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
 	Kiến thức:
 - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
 - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
 	Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
 	Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và 	(2)
 	Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 	Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 	Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
 	Ví dụ 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
 	Giải: Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
 x+ y + z 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 	Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
 Vậy S . Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
 	Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 	Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 	Ta có (1)
 	Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
Ta có 
 	Từ (1) và (2) 
 	Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
 	Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất
 Giải: 	Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a
 Đường cao thuộc cạnh huyền là h
 Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y
 Ta có S =
 	Vì a không đổi mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất 
 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 
2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình
 	Ví dụ 1:Giải phương trình: 
 	Giải : Ta có 
 	Vậy 
 	Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 	Vậy khi x = -1
 	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
 	Ví dụ 2: Giải phương trình 
 	Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1
 	Mặt khác Dấu (=) xảy ra khi y = -
 	Vậy khi x =1 và y =-
 Vậy nghiệm của phương trình là 
 	Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau:
 	Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có 
Vì x+y+z = 1) Nên Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
 	Vậy có nghiệm x = y = z =
 	Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
 	Từ phương trình (1) hay 
 	Từ phương trình (2) 
 	Nếu x = thì y = 2
 	Nếu x = - thì y = -2
 	Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên
 	Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
 	Giải:	Vì x,y,z là các số nguyên nên 
 (*)
 Mà 
 	Các số x,y,z phải tìm là 
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử 
 	Ta có 
 	Mà z nguyên dương vậy z = 1. Thay z = 1 vào phương trình ta được 
 	Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương
 	Nên y = 1 hoặc y = 2
 	Với y = 1 không thích hợp 
 	Với y = 2 ta có x = 2
 	Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình
 	Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)
Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình (*)
 	Giải:
 (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa
 (*) Với x > 0 , y > 0 
 Ta có 
 Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương )
 Ta có 
 	Nhưng 
 	Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả
 	Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .
 	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
Bài tập đề nghị :
Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 :
 HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương các đẳng thức.
Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : 
 HD: 
Bài 3: Cho a, b. c > 0 và a + b + c 1. Cmr : 
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 
Bài 4 : Cho . Cmr :
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho , rồi cộng hai vế theo vế.
Bài 5: Cho a, b >1. Tìm GTNN của S = 
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho và xét trường hợp dấu “=” xảy ra .
Bài 9 : Tìm GTLN và GTNN của y = 
HD: Đặt x= 
Bài 10: Cho 36xCmr : 
HD: Đặt : 
Bài 11: Cmr : 
HD : Đặt x = 
Bài 12: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 13: Cho ABC có a, b, c là độ dài các cạnh. Chứng minh rằng: 
Bài 14: Cho . Chứng minh rằng 
Bài 15: . Chứng minh rằng: 
Bài 16: Có tồn tại sao cho: ?
Bài 17: Cho ABC có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít nhất 1 diện tích nhỏ hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)