20 Đề thi thử cấp Huyện môn Toán 8 (Có đáp án)

 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ( ĐỀ 1)
 a b c d
Cõu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: 1 2
 a b c b c d c d a d a b
Cõu 2: Cho a,b là hai số tự nhiờn. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tớch a.b chia 
cho 5 dư bao nhiờu ? 
Cõu 3: Cho a b c 2 p . Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 4 p p a 
 3 3 3 3
Cõu 4: Cho cỏc số nguyờn a1,a2 ,a3 ,...,an . Đặt S a1 a2 a3 ... an và P a1 a2 a3 ... an
 Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
 1 1 4 1 4
Cõu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và 
 x y x y xy x y 2
 1 1
 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả món a + b + c =1. Chứng minh rằng 16
 ac bc
 x2 2x 3
Cõu 6: Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức: A .
 x2 2
Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và đường thẳng xy khụng cú điểm chung với hỡnh bỡnh hành. 
Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. 
Tỡm hệ thức liờn hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
Cõu 8: Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm và một đường thẳng d khụng cắt cạnh nào của tam giỏc. Từ 
cỏc đỉnh A, B, C và trọng tõm G ta kẻ cỏc đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuụng gúc với đường thẳng d. 
Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. 
 Cõu 9: Cho tam giỏc ABC cú ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tõm của tam giỏc đú. 
 HA' HB ' HC '
 a) Chứng minh: 1 ;
 AA' BB ' CC '
 AA' BB ' CC '
 b) Chứng minh: 9 ;
 HA' HB ' HC '
Cõu 10: Cho tam giỏc ABC (AC > AB). Lấy cỏc điểm D, E tựy ý theo thứ tự nằm trờn cỏc cạnh AB, AC 
sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của cỏc đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD khụng phụ 
thuộc vào cỏch chọn điểm D và E. 
 ...HẾT 
 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1
 a b c d
Cõu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng:1 2
 a b c b c d c d a d a b
 a a a b b b
Vỡ a,b,c,d 0 ta cú: 1 ; 2 
 a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d
 3 ; 4 
 a b c d c d a c a a b c d d a b d b
Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.
( Chỳ ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a,b,c,d . 
 a b c d
Chứng minh rằng: cú giỏ trị khụng nguyờn )
 a b c b c d c d a d a b
Cõu 2: a chia cho 5 dư 3 nờn tồn tại số tự nhiờn m sao cho a 5m 3 (1)
 b chia cho 5 dư 2 nờn tồn tại số tự nhiờn n sao cho b 5n 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a.b 5m 3 5n 2 ... 5 5mn 2m 3n 1 1
 Suy ra a.b chia cho 5 dư 1.
Cõu 3: Ta cú : 2 p a b c
Do đú, 4 p p a 2 p 2 p 2a 
 a b c a b c 2a ... 2bc b2 c2 a2
KL : 
 3 3 3 3
Cõu 4: Cho cỏc số nguyờn a1,a2 ,a3 ,...,an . Đặt S a1 a2 a3 ... an và P a1 a2 a3 ... an
 Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
 HD: Xột hiệu: S P
Chứng minh: a3 a a 1 a a 1 6 với mọi số nguyờn a .
Sau đú sử dụng tớnh chõt chia hết của một tổng suy ra đpcm.
 1 1 4 1 4
Cõu 5: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và 
 x y x y xy x y 2
HD: Dựng biến đổi tương đương.
 1 1
 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả món a + b + c =1. Chứng minh rằng 16
 ac bc
 1 1 4 1 4 16
Theo cõu a, ta cú: 4 4 16
 ac bc ac bc c a b c a b 1
 a,b,c 0 a,b,c 0 1
 a b 
 a b c 1 a b 1 c 4
Dấu “ =” 
 ac bc a b 1
 c 
 c b a c 1 c 2
 x2 2x 3
Cõu 6: Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức: A 
 x2 2
HD: + Tỡm GTLN: 
 2 2 2
 x2 2x 3 2 x 2 x 1 x 1 
Ta cú: A 2 2
 x2 2 x2 2 x2 2
Dấu “ =” x 1 2 0 x 1
Suy ra GTLN(A) = 2 x 1 . + Tỡm GTNN: 
 2 2 2
 x2 2x 3 2x2 4x 6 x 2 x 2 1 x 2 1
 Ta cú: A 
 x2 2 2. x2 2 2. x2 2 2 x2 2 2
 Dấu “ =” x 2 2 0 x 2
 1
 Suy ra GTNN(A) = x 2
 2
 Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và đường thẳng xy khụng cú điểm chung với hỡnh bỡnh hành. 
 Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. 
 Tỡm hệ thức liờn hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
 A B HD: C/m: AA ' CC ' BB ' DD' 2OO '
 O
 D C
 y
 B'
 O' C'
 x D' A'
 Cõu 8: 
 Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm và một đường thẳng d khụng cắt cạnh nào của tam giỏc. 
 Từ cỏc đỉnh A, B, C và trọng tõm G ta kẻ cỏc đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuụng gúc với đường thẳng d. 
 Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’.
 A
 HD: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GC.
 Kẻ MM '  d và NN '  d .
 M 1 1
 G Chỉ ra: MM ' AA ' BB ' 1 ; ;GG ' MM ' NN ' 2 
 N 2 2
 B C 1
 d NN ' GG ' CC ' 3 
 2
 C'
 N ' Từ (1), (2) và (3) biến đổi suy ra đpcm.
 A' G'
 B' M'
Cõu 9: Cho tam giỏc ABC cú ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tõm của tam giỏc đú. 
 HA' HB ' HC '
 a) Chứng minh: 1
 A AA' BB ' CC '
 HA' S HB ' S HC ' S
 Ta cú: HBC ; HAC ; HAB 
 B' AA ' SABC BB ' SABC CC ' SABC
 C'
 HA' HB ' HC ' S S S S
 H Suy ra HBC HAC HAB ABC 1
 AA' BB ' CC ' SABC SABC SABC SABC
 1 1 1 
 b)C/ m BĐT phụ : a b c 9
 a b c 
 B A' C Dấu ô= ằ a b c 0
* Chỳ ý: Dấu ô= ằ ABC đều.
Cõu 10: A 
 D E
 K
 B C
 KE
HD: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC. Theo hệ quả của đl Talet, 
 KD
 KE KC EC
ta cú: 
 KD KG DG
Mà BD = EC (gt) 
 KE BD
 Do đú, 1 
 KD DG
 DB DG DB AB
 Mặt khỏc, 2 
 BA AC DG AC
 KE AB
 Từ (1) và (2) suy ra ( khụng đổi) (đpcm)
 KD AC
 ...HẾT 
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ( ĐỀ 2)
Cõu 1: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 
 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiờn n ta cú: 5n 2 26.5n 82n 1 59 .
 x5 2x4 2x3 4x2 3x 6
Cõu 2: Cho biểu thức M 
 x2 2x 8
 a) Rỳt gọn M
 b) Tỡm giỏ trị của x để giỏ trị của biểu thức M bằng 0.
 Cõu 3: Tỡm giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức sau cú giỏ trị là số nguyờn. 
 2x3 x2 2x 5
 A 
 2x 1
Cõu 4: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x2
 1 1 1
Tớnh M theo a,b,c biết rằng x a b c 
 2 2 2
 2 2
Cõu 5: Giải phương trỡnh: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 
Cõu 6: Tỡm giỏ trị của biến x để: 
 1 x2 x 1
 a) P đạt giỏ trị lớn nhất b) Q đạt giỏ trị nhỏ nhất
 x2 2x 6 x2 2x 1
Cõu 7: Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD .
a) Chứng minh DE = CF; DE  CF
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn BD để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất?
Cõu 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm 
của CD, N là trung điểm của BH.
a) Chứng minh tứ giỏc MNCK là hỡnh bỡnh hành;
b) Tớnh gúc BMK.
Cõu 9: Cho tam giỏc ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trờn hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai 
 1
điểm E và F.Chứng minh rằng S S .Với vị trớ nào của hai điểm E và F thỡ S đạt giỏ trị lớn 
 DEF 2 ABC DEF
nhất?
Cõu 10: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy nhỏ là AB, đỏy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song 
với BC cắt đường chộo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chộo AC ở F.
a) Chứng minh rằng tứ giỏc DEFC là hỡnh thang cõn;
b) Tớnh độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
 HẾT 
 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 2
Cõu 1: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45.
HD: Đặt M 2130 3921
Nhận xột 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyờn tố cựng nhau (1)
Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M 5 và M 9
Thật vậy, M 2130 3921 2130 130 3921 1 21 5 (2)
(Vỡ 2130 130  21 1 5 và 3921 1 21  39 1 5 )
Mặt khỏc, 213 2130 9 và 393 3921 9 . Do đú, M 9 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
* Chỳ ý: an bn  a b 
 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiờn n ta cú: 5n 2 26.5n 82n 1 59 .
 Ta cú: 5n 2 26.5n 82n 1 51.5n 8.64n 59.5n 8. 64n 5n 59
( Vỡ 64n 5n  64 5 ). 
Suy ra đpcm.
 x5 2x4 2x3 4x2 3x 6
Cõu 2: Cho biểu thức M 
 x2 2x 8
 a) Rỳt gọn M
HD: ĐKXĐ: x2 2x 8 0
 x 2 x 4 0
 x 2 và x 4 .
Ta cú: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x4 x 2 2x2 x 2 3 x 2 
 x 2 x4 2x2 3 
 2
 x 2 x2 1 4 
 x 2 x3 3 x 1 x 1 x2 3 x 1 x 1 
Suy ra M , x 2; x 4 .
 x 4
 b) Tỡm giỏ trị của x để giỏ trị của biểu thức M bằng 0.
 Đề M 0 thỡ x3 3 x 1 x 1 0 và x 2 ; x 4
 Ta cú : x3 3 x 1 x 1 0
 x 1
 ( thỏa ĐKXĐ )
 x 1
 x 1
 Vậy, M 0 
 x 1
 Cõu 3: Tỡm giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức sau cú giỏ trị là số nguyờn.
 2x3 x2 2x 5
 A 
 2x 1
 1
HD: ĐKXĐ: 2x 1 0 x 
 2
 2x3 x2 2x 5 x2 2x 1 2x 1 4 4
Ta cú: A x2 1 
 2x 1 2x 1 2x 1
Để A cú giỏ trị nguyờn khi x nguyờn thỡ 2x 1 U 4 4; 2; 1;1;2;4
Lập bảng: 
 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4
 2x -5 -3 -2 0 1 3
 5 3 1 3
 x -1 0
 2 2 2 2
Vậy, x 1;0 .
Cõu 4: Ta cú: M x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca 
 4x2 2x a b c ab bc ca 1 
 1 1 1
Từ x a b c 2x a b c 2 
 2 2 2
Thay 2 vào 1 ta được M ab bc ca
 2 2
Cõu 5: Giải phương trỡnh: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 
 2 2
Ta cú: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 
 2 2
 2x2 x 2016 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 4 x2 3x 1000 0
 2
 2 2 2 2 2 
 2x x 2016 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 2 x 3x 1000 0
 2
 2 2 
 2x x 2016 2 x 3x 1000 0
 7x 16 2 0
 16
 x .
 7
Cõu 6: Tỡm giỏ trị của biến x để:
 1
 a) P đạt giỏ trị lớn nhất.
 x2 2x 6 1 1 1 2
HD: Ta cú: P ( Vỡ 1 > 0 và x 1 5 5 )
 2 2 
 x 2x 6 x 1 5 5
Dấu ô = ằ x 1 2 0 x 1
 1
Suy ra GTLN(P) = x 1 . 
 5
 x2 x 1
 b) Q đạt giỏ trị nhỏ nhất
 x2 2x 1
 HD: ĐKXĐ: x 1
 2
 x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1
Ta cú: Q 1 
 2 2 2
 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 
 2
 1 2 1 3 3
Đặt t . Ta cú: Q 1 t t t 
 x 1 2 4 4
 1 1 1 1
Dấu ô = ằ t 0 t x 1
 2 2 x 1 2
 3
Suy ra GTNN(Q) = x 1 
 4
Cõu 7: a) Chứng minh DE = CF; DE  CF
 A E B
 H HD: C/m được EB EM AF . Suy ra AE DF
 F I Khi đú, AED DFC c.g.c . Suy ra DE CF .
 1 M
 ã 0 à ả 0 ã à 0
 Ta lại cú: FJD 180 F D 180 AED D1 90
 J 1 1 
 Suy ra DE  CF tại J.
 1
 D
 C
 b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
 Tương tự, c/m được EC  BF
 Ta cú MA MC ( BD là trục đối xứng của hỡnh vuụng ) và MA EF ( AEMF là hcn )
 Do đú, MC EF . Suy ra MFC FDE(c.c.c) .
 Suy ra Fã ED Mã CF
 Ta lại cú : Fã ED Eã FC 900 ( EFJ vuụng tại J )
 Vỡ thế Mã CF Eã FC 900
 Gọi H là giao điểm của CM và EF thỡ Eã HC 900
 Xột EFC cú ED, FB, CM là ba đường cao nờn chỳng đồng quy.
 c) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn BD để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất?
 2
 x y 
 C/m BĐT phụ: xy . Dấu “ =” x y
 2 
 2 2
 AE AF AB 1
 Áp dụng BĐT trờn, ta cú: SAEMF AE.AF SABCD ( khụng đổi )
 2 2 4
 Dấu “ =” AE AF ME MF M là trung điểm của BD.
 1
 Suy ra GTLN ( S ) S M là trung điểm của BD.
 AEMF 4 ABCD Cõu 8:. A B
 M N
 D H
 K C
a) Chứng minh tứ giỏc MNCK là hỡnh bỡnh hành;
 HD: Ta c/m: MN / /CK và MN CK
 b) Tớnh gúc BMK.
 + C/m N là trực tõm của tam giỏc BMC (?)
 + Suy ra NC  MB mà MK / /NC ? 
 KL: MK  MB hay Bã MK 900
 1
Cõu 9:Chứng minh rằng S S .
 DEF 2 ABC
Với vị trớ nào của hai điểm E và F thỡ SDEF đạt giỏ trị lớn nhất?
 A HD: ( Vẽ điểm phụ )
 F Gọi I là điểm đối xứng của E qua D.
 C/m được: BED CID c.g.c . Suy ra SBED SCID
 E
 Ta lại cú: SDEF SDFI SDICF
 B C
 Suy ra SDEF SDFC SCID SDFC SDBE 1 
 D
 Ta lại cú : SDEF SAFDE 2 
 I
 Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :
 2SDEF SDFC SBED SAEDF SABC
 1
 Do đú, S S (đpcm)
 DEF 2 ABC
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi EF trựng với AC hoặc AB. 
 1
Khi đú, GTLN S S
 DEF 2 ABC
Cõu 10: A B
 O
 E F
 1 1
 2
 2
 C
 a) Chứng minh rằng tứ giỏc DEFC là hỡnh thang cõn;
 OE OA
 Vỡ AE // BC (gt) nờn theo đl Ta-let ta cú: 1 
 OB OC
 OB OF
 Vỡ BF // AD (gt) nờn theo đl Ta-let ta cú: 2 
 OD OA
 OE OB OA OF OE OF
 Từ (1) và (2) suy ra   hay 
 OB OD OC OA OD OC Theo đl Ta – let đảo suy ra EF // DC. Do đú, DEFC là hỡnh thang (3)
 Ta c/m được ABC ABD c.c.c 
 à ả ã ã ả ả
 Suy ra C1 D1 mà BCD ADC ? nờn C2 D2 4 
 Từ (3) và (4) suy ra EFCD là hỡnh thang cõn.
 b) Tớnh độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
 EF OE OE OA
 Vỡ AB // CD và EF // CD nờn AB // EF. Theo đl Ta-let ta cú: mà (cmt) 
 AB OB OB OC
 EF OA
 Suy ra 5 .
 AB OC
 AB OA
 Vỡ AB // CD nờn theo đl Ta-let ta cú 6 
 CD OC
 EF AB AB2 52
 Từ (5) và (6) suy ra Suy ra EF 2,5 cm 
 AB CD CD 10
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ( ĐỀ 3)
 2
 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x
Cõu 1: Cho biểu thức R 2 3 : 3 
 3x x 1 x 1 x 1 x x
 a) Tỡm điều kiện của x để giỏ trị của biểu thức R được xỏc định;
 b) Tỡm giỏ trị của x để giỏ trị của R bằng 0;
 c) Tỡm giỏ trị của x để R 1 .
Cõu 2: Chứng minh:
 a) A 210 211 212 chia hết cho 7. 
 b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z .
 c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z .
 d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thỡ D ax by cz chia hết cho a b c .
 e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bỡnh phương của một số nguyờn, với x Z .
 2018 2018
 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 .
 g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 
Cõu 3: a) Tỡm GTLN của A x 4 2 x 4 
 9x 2
 b) Tỡm GTNN của biểu thức B , với 0 x 2 
 2 x x
Cõu 4: Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM. Đường phõn giỏc của gúc AMB cắt cạnh AB ở D, đường 
phõn giỏc của gúc AMC cắt cạnh AC ở E.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.
Cõu 5: Cho tam giỏc vuụng cõn ABC, àA 900 .Trờn cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA ở E. 
Chứng minh rằng:
a) EB.ED = EA.EC;
b) BD.BE CA.CE BC 2 c) ãADE 450
Cõu 6: Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E là một điểm trờn cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuụng gúc với AE, 
Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giỏc AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với 
AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:
a) AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi;
b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC ;
c) Khi E thay đổi trờn BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giỏc EKC khụng đổi.
Cõu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACE và DBE cắt 
 Bã AC Bã DC
nhau ở K. Chứng minh rằng: Bã KC 
 2
 ....HẾT 
\
 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3
 2
 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x
Cõu 1: Cho biểu thức R 2 3 : 3 
 3x x 1 x 1 x 1 x x
 a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 .
 x2 1 x2 1
 b) Rỳt gọn: R , x 0; x 1; x 1 . Để R 0 0 x 
 x 1 x 1
 R 1
 c)Ta cú: R 1 
 R 1
 x2 1
+ Với R 1 , ta cú: 1 , x 0; x 1; x 1
 x 1
 2
 x 1 2 x 0
Giải pt 1 x 1 x 1 x x 1 0 ( khụng thỏa ĐKXĐ )
 x 1 x 1
 x2 1
+ Với R 1 , ta cú: 1 , x 0; x 1; x 1
 x 1
 2 2
 x 1 2 2 1 7
Giải pt 1 x 1 x 1 x x 2 0 x 0 ( vụ lý )
 x 1 2 4
Vậy khụng cú giỏ trị nào của x để R 1 .
Cõu 2: Chứng minh:
 a) A 210 211 212 chia hết cho 7 
Ta cú: A 210 211 212 210 210.2 210.22 210. 1 2 22 210.77 
Vậy, A 210 211 212 chia hết cho 7 .
 b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z .
Ta cú: B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 ... 24n 10 2. 12n 5 2
Vậy, B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z
 c) C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z .
Ta cú: C 5n3 15n2 10n ... 5n n 1 n 2 
Vỡ 55 và n n 1 n 2 6 mà 5,6 1 nờn 5n n 1 n 2 30
Vậy, C 5n3 15n2 10n chia hết cho 30, với n Z .
 d) Nếu a x2 yz; b y2 xz; c z2 xy thỡ D ax by cz chia hết cho a b c . Ta cú: D ax by cz x2 yz .x y2 xz .y z2 xy .z
 ... x3 y3 z3 3xyz ... x y z x2 y2 z2 xy yz zx 
Vậy, D ax by cz chia hết cho a b c 
 e) E x4 4x3 2x2 12x 9 là bỡnh phương của một số nguyờn, với x Z .
Ta cú: E x4 4x3 2x2 12x 9 x4 4x3 4x2 6x2 12x 9
 2 2 2 2 2 2 2
 x 2x 6 x 2x 3 x 2x 3 x 3 x 1 
 4 3 2 2
Vậy, E x 4x 2x 12x 9 x 3 x 1 là bỡnh phương của một số nguyờn, với x Z . 
 2018 2018
 f) F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 .
 2018 2018
Ta cú : F x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 .Q x r
 2018 2018
Xột tại x 1 thỡ r 12 1 1 12 1 1 2 0
 2018 2018
Vậy, F x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho x 1 .
 g) G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N . 
 2 2
 Ta cú: G x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n x4n x2n 1 x4n x2n 1 (1)
 2 2
Mặt khỏc, x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn x2n xn 1 x2n xn 1 2 
Từ (1) và (2) suy ra G x8n x4n 1 x2n xn 1 x2n xn 1 x4n x2n 1 
Vậy, G x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1 , với n N .
Cõu 3: 
a) Tỡm GTLN của A x 4 2 x 4 
 2
Ta cú: A x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 
 2
Đặt t x 4 0 , khi đú: A 2t t 2 ... t 1 1 1
 x 3
Dấu “=” t 1 0 x 4 1 0 
 x 5
 x 3
Suy ra GTLN A 1 
 x 5
 9x 2
b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B , với 0 x 2 .
 2 x x
 9x 2 9x 2 x 9x 2 x
Ta cú: B 1 2  1 2 9 1 7 
 2 x x 2 x x 2 x x
 9x 2 x 1
Dấu “ =” x 
 2 x x 2
 1
Vậy, GTNN(B) =7 x .
 2
 a b
 Chỳ ý: BĐT AM-GM cho 2 số a,b khụng õm, ta cú: ab . Dấu “=” a b 0
 2
 9x 2 9x 2 x A
 * Cỏch biến đổi B : Ta viết B m. n. p .
 2 x x 2 x x
Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra m 1,n 1, p 1 .
Cõu 4: D E
 B C
 M a) Chứng minh DE // BC.
 DB MB EC MC
Theo t/c tia phõn giỏc của tam giỏc, ta cú: 1 và 2 
 DA MA EA MA
Mà MB MC gt 3 
 DB EC
Từ (1), (2) và (3) suy ra . Theo đl Ta-let đảo suy ra DE / /BC
 DA EA
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.
 DI AI EI AI
Vỡ DE / /BC (cmt) nờn DI / /BM và IE / /MC . Do đú, 4 và 5 
 BM AM MC AM
Từ (3), (4) và (5) suy ra ID = IE (đpcm)
Cõu 5: 
 E
a) EB.ED = EA.EC; A
 D
C/m: EAB đồng dạng EDC (g.g) M
 EA EB
Suy ra EA.EC EB.ED (đpcm)
 ED EC
 BD.BE CA.CE BC 2 B C
b) H
Chỉ ra M là trực tõm của tam giỏc EBC nờn EM  BC tại H.
 BE BH
C/m: EHB đồng dạng CDB (g.g) nờn BE.BD BH.BC 1 
 BC BD
 EC HC
Tương tự, C/m: EHC đồng dạng BAC (g.g) nờn CE.CA HC.BC 2 
 BC AC
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: 
BD.BE CA.CE BH HC .BC BC 2
c) ãADE 450
 EA ED
Theo cõu a, ta cú: EA.EC EB.ED A B
 EB EC
Từ đú c/m được EAD đồng dạng EBC (c.g.c)
 G E
Suy ra Eã DA Eã CB ãACB 450 ( Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn tại A).
Cõu 6: 
a) AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi; I
C/m: BAE DAF cgv gnk 
 C
Suy ra AE AF . F D K
 x
Xột tam giỏc AEF cõn tại A cú AI là đường trung tuyến nờn cũng là đường cao. 
Do đú, GK  EF tại I (1)
Ta lại c/m được IEG IKF g.c.g . Do đú, GE FK mà GE // FK (gt) 
Suy ra EKFG là hỡnh bỡnh hành (2)
Từ (1) và (2) suy ra EKFG là hỡnh thoi.
b) AKF : CAF, AF 2 FK.FC
Ta cú: Kã AF ãACF 450 và Fà chung. Do đú, AKF đồng dạng CAF (g.g)
 AF KF
Suy ra AF2 KF.CF .
 CF AF
c) Khi E thay đổi trờn BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giỏc EKC khụng đổi.
Vỡ EKFG là hỡnh thoi nờn KE KF KD DF KD BE Chu vi của tam giỏc EKC là : KC EC EK KC CE BE KD
 = KC KD BE EC CD BC 2BC ( khụng đổi )
KL : ....
Cõu 7: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACE và DBE cắt 
 Bã AC Bã DC
nhau ở K. Chứng minh rằng: Bã KC K
 2
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CK, của CD và BK. A
Sử dụng tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc, ta lần lượt cú : D
 N
 Kà Bà àA Cà Mả 1 M
 1 1 1 1
 1
 2
 à ả à ả ả E 1
 K C2 D B2 N1 2 1 2
 à à à ả à à ả à à B
Từ (1) và (2) suy ra 2K A D B2 C1 B1 C2 A D C
 à ả à ả
( Vỡ theo gt B1 B2 ,C1 C2 )
 àA Dà Bã AC Bã DC
Do đú, Kà . Vậy, Bã KC 
 2 2
 ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ( ĐỀ 4 )
 a b c a c b b c a
Cõu 1: Cho ba số a,b,c khỏc 0 thỏa món đẳng thức: .
 c b a
 b c a 
 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P 1 1 1 
 a b c 
 2k 1
Cõu 2: Cho a1,a2 ,a3 ,...,a2018 là 2018 số thực thoả món ak 2 , với k 1,2,3,...,2018 .
 k 2 k 
Tớnh S2018 a1 a2 a3 ... a2017 a2018
 7 7 5a b 3b 2a
Cõu 3: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P 
 3 2 3a 7 2b 7
 2a b 5b a
 b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tớnh giỏ trị của biểu thức Q 
 3a b 3a b
Cõu 4: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luụn cú bất đẳng thức sau: 
 x2 y2 z2 t 2 x y z t . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta cú: x4 y4 xy3 x3 y 
Cõu 5: Rỳt gọn:
 a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; b) N 202 182 ... 22 192 172 ... 12 .
Cõu 6: Tớnh giỏ trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 ... 2018x2 2018x 2018 , 
 với.x 2017
Cõu 7: Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chộo, K là giao 
điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:
 MA MB MA MB
a) ; b) 
 ND NC NC ND
c) MA MB, NC ND Cõu 8: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với 
hai cạnh đỏy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tớnh độ dài EF, biết rằng DE = 10.
Cõu 9: Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trờn cạnh BC. Đường thẳng qua I 
và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, 
E. Chứng minh rằng DE =BK. 
Cõu 10: Tứ giỏc ABCD cú E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và DF ; 
 2
OA = 4OE; OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hỡnh bỡnh hành. 
 3
 ....HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 4
 a b c a c b b c a
Cõu 1: Từ giả thiết, suy ra 2 2 2
 c b a
 a b c a b c a b c
 c a b
Xột hai trường hợp : 
 a b b c c a c a b 
+ Nếu a b c 0 P   1
 a b c a.b.c
+ Nếu a b c 0 a b c 0 P 2.2.2 8
KL :.....
 2
 2k 1 k 1 k 2 1 1
Cõu 2: Ta cú : ak 2 2 2 2
 k 2 k k 2 k 1 k k 1 
Do đú, S2018 a1 a2 a3 ... a2017 a2018
 1 1 1 1 1 1 20192 1
 2 2 2 2  2 2 2
 1 2 2 3 2018 2019 2019
 7 7 5a b 3b 2a
Cõu 3: a) Biết a ,b và 2a b 7 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P 
 3 2 3a 7 2b 7
 5a b 3b 2a 2a b 3a 2b 2a b 7 3a 2b 7
Ta cú: P 1 1 0 
 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7 3a 7 2b 7
 7 7
Vậy, P 0 khi a ,b và 2a b 7 .
 3 2
 2a b 5b a
 b) Biết b 3a và 6a2 15ab 5b2 0 . Tớnh giỏ trị của biểu thức Q 
 3a b 3a b
 2a b 5b a 2a b 3a b 5b a 3a b 3a2 6b2 15ab
Ta cú: Q 
 3a b 3a b 3a b . 3a b 3a b . 3a b 
 2 2 2 2
 9a b 6a 5b 15ab 9a2 b2
 1
 3a b 3a b 9a2 b2
Vậy, Q 1 khi b 3a và 6a2 15ab 5b2 0
Cõu 4: a) Ta cú: x2 y2 z2 t 2 x y z t 
 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt
 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0
 x 2y 2 x 2z 2 x 2t 2 x2 0 ( đỳng )
Dấu “=” x y z t 0 .
 b) Ta cú: x4 y4 xy3 x3 y x3 x y y3 y x 0
 x y x3 y3 0
 x y x y x2 xy y2 0
 2
 2 1 3 2 
 x y x y y 0 (đỳng)
 2 4 
Dấu “=” x y .
Cõu 5: Rỳt gọn:
 a) M 90.10k 10k 2 10k 1, k N ; 90.10k 100.10k 10.10k 0 
 b) N 202 182 ... 22 192 172 ... 12 
 202 192 182 172 ... 22 12 
 20 19 20 19 18 17 18 17 ... 2 1 2 1 
 20 19 18 17 ... 2 1 210
Cõu 6: Tớnh giỏ trị của biểu thức P x15 2018x14 2018x13 2018x12 ... 2018x2 2018x 2018 , 
 với.x 2017
Thay 2018 x 1 vào P ta được: 
P x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x12 ... x 1 x2 x 1 x x 1 
 x15 x15 x14 x14 x13 ... x2 x x 1 1
Vậy, P 1 khi x 2017 .
Cõu 7: K
 A M B
 D O C
 MA MB N
a) .
 ND NC
 MA KM MB KM
Áp dụng đl Ta-let vào tam giỏc KND, KNC với AB // CD, ta cú: , 
 ND KN NC KN
 MA MB
Suy ra 1 
 ND NC
 MA MB
 b) 
 NC ND
 MA OM MB OM
Áp dụng đl Ta-let vào tam giỏc ONC, OND với AB // CD, ta cú: , 
 NC ON ND ON
 MA MB
Suy ra 2 
 NC ND
c) MA MB, NC ND
 MA2 MB2
Nhõn từng vế (1) với (2) ta được: 
 ND.NC NC.ND
Suy ra MA2 MB2 hay MA MB . Từ đú suy ra NC ND .
 A B
Cõu 8: 
 E I F HD: Kẻ AK // BC, cắt EF tại I. 
 D K C Lần lượt tớnh được EI = 30, EF = 58.
 A
Cõu 9: 
 E
 G
 K D
 B I M C Chứng minh rằng DE =BK.
 BK BA DE MG MG BA
Kẻ MG // IE, ta cú: 1 và 2 ( vỡ AG GC )
 KI AC AE AG GC AC
 BK DE
Từ (1) và (2) suy ra mà KI AE suy ra DE BK (đpcm)
 KI AE
Cõu 10: 
 Kẻ EI // DA, lấy K là trung điểm của CF.
 Đặt OD = 2a, OF = 3a. Tớnh được OI = 0,5a, 
 A B IF = 2,5a, EK = 2,5a. Từ đú c/m được EIKF là hỡnh 
 bỡnh hành nờn FK // IE // AD. Suy ra BC // AD.
 Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI )
 F
 O I
 K Suy ra ABCD là hỡnh bỡnh hành (đpcm)
 D
 C
 E
 ....HẾT ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ( ĐỀ 5)
Cõu 1: Tỡm x, y biết :
 a) x2 2x y2 4y 5 0
 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16
 1 1
 c) x2 y2 4 
 x2 y2
Cõu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trỡnh m2 x 1 x m theo m . 
Cõu 3: Giải cỏc phương trỡnh: 
 a) x 2 x 2 x2 10 72 
 2 2
 x 2 x 2 x2 4 
 b) Giải phương trỡnh: 3 25 20 2 0 
 x 1 x 1 x 1 
Cõu 4: Giải phương trỡnh: 
 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6
 a) 
 99 98 97 96 95 94
 2 x 1 x x
 b) 1 
 2017 2018 2019
Cõu 5: a) So sỏnh hai số A 332 1 và B 3 1 32 1 34 1 38 1 316 1 
 2019 2018 20192 20182
 b) C và D 
 2019 2018 20192 20182
Cõu 6: Cho x, y là hai số khỏc nhau, biết x2 y y2 x . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức A x2 2xy y2 3x 3y 
Cõu 7: Đường thẳng đi qua trung điểm cỏc cạnh đối AB, CD của tứ giỏc ABCD cắt cỏc đường thẳng AD, 
 IA KB
BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . 
 ID KC
Cõu 8: Qua M thuộc cạnh BC của tam giỏc ABC vẽ cỏc đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chỳng 
cắt cỏc đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:
 AH AK
a)Tổng khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm M trờn cạnh BC. 
 AB AC
b)Xột trường hợp tương tự khi M chạy trờn đường thẳng BC nhưng khụng thuộc đoạn thẳng BC.
Cõu 9: Cho tam giỏc ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giỏc ABC.
 a 3
 Chứng minh rằng: MA MB MC 
 2
Cõu 10: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc tia đối CB và DC, lấy cỏc điểm M, N sao cho DN = BM. Cỏc 
đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:
 a) Tứ giỏc ANFM là hỡnh vuụng;
 b) Điểm F nằm trờn tia phõn giỏc của Mã CN và ãACF 900 ;
 c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giỏc BOFC là hỡnh thang ( O là trung điểm của AF )
 ...HẾT. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 5
Cõu 1: Tỡm x, y biết :
 a) x2 2x y2 4y 5 0
 x 1 2 y 2 2 0
 x 1 và y 2
 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16
Ta cú: x 2y x2 2xy 4y2 0 x3 8y3 0 1 
và x 2y x2 2xy 4y2 16 x3 8y3 16 2 
Từ (1) và (2) suy ra 2x3 16 x 2 .
Thay x 2 vào (1) suy ra y 1 .
Vậy, x 2 và y 1 .
 1 1
 c) x2 y2 4 ( ĐK: x 0, y 0 )
 x2 y2
 2 2
 1 1 
 x y 0
 x y 
 1 1
 x 0 và y 0
 x y
 x 1 và y 1
Vậy, x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 .
Cõu 2: Giải và biện luận nghiệm của phương trỡnh m2 x 1 x m theo m . 
Ta cú: m2 x 1 x m m2 x x m 1 m2 1 x m 1 m 1 m 1 x m 1 (*)
+ Nếu m 1 thỡ pt (*) trở thành 0x 0 x R
+ Nếu m 1 thỡ pt (*) trở thành 0x 2 x 
 1
+ Nếu m 1 thỡ pt (*) cú một nghiệm duy nhất x 
 m 1
KL: + Nếu m 1 thỡ pt (*) cú vụ số nghiệm.
 + Nếu m 1 thỡ pt (*) vụ nghiệm.
 1
 + Nếu m 1 thỡ pt (*) cú một nghiệm duy nhất x 
 m 1
Cõu 3:
 a) x 2 x 2 x2 10 72 
 x2 4 x2 10 72
 2 2 
 x 7 3 x 7 3 72
 2
 2 2 x 7 9 x 4
 x 7 9 x 4
 2 
 x 7 9 x 
 Vậy, S 4;4 2 2
 x 2 x 2 x2 4 
 b) Giải phương trỡnh: 3 25 20 2 0
 x 1 x 1 x 1 
 x 2
 0
 x 1
 Điều kiện x 1 . Dễ thấy hệ vụ nghiệm nờn x 2.
 x 2
 0
 x 1
 2
 x 2 x 2 (x 2)(x 1) x 2 
Đặt y : . Chia 2 vế phương trỡnh đó cho cho ta được: 
 x 1 x 1 (x 2)(x 1) x 1 
 y 5
3y2 20y 25 0 5 .
 y 
 3
 x 4
 (x 2)(x 1) 2
*) Với y = 5, ta cú: 5 2x 9x 4 0 1 .
 (x 2)(x 1) x 
 2
 5
*) Với y ,ta cú:
 3
 (x 2)(x 1) 5 x 6 34
 x2 12x 2 0 .
 (x 2)(x 1) 3 x 6 34
 1
Cỏc nghiệm trờn đều thỏa điều kiện. Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm: x 4, x , x 6 34, x 6 34 .
 2
 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6
Cõu 4: a) 
 99 98 97 96 95 94
 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 
 1 1 1 
 99 98 97 
 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 
 1 1 1 
 96 95 94 
 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100
 99 98 97 96 95 94
 2 1 1 1 1 1 1 
 x 99x 100 0 
 99 98 97 96 95 94 
 1 1 1 1 1 1
 x2 99x 100 0 ( Vỡ 0 )
 99 98 97 96 95 94
 x 1
 x 1 x 100 0 
 x 100
 2 x 1 x x 2 x 1 x x 
b) Ta cú: 1 1 1 1 
 2017 2018 2019 2017 2018 2019 
 2019 x 2019 x 2019 x 1 1 1 
 2019 x 0
 2017 2018 2019 2017 2018 2019 
 1 1 1
 2019 x 0 ( Vỡ 0 )
 2017 2018 2019
 x 2019