21 Chuyên đề ôn tập thi tốt nghiệp Khối 12 Môn: Toán

* Chú ý : / /d d u u^ Û ^
uuvv
Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đt : 
d1: 
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +ì
ï = - -í
ï = +ỵ
d2 : 
x t
y 3 3t 
z 7 4t
=ì
ï = - -í
ï = +ỵ
Đáp số : d1 // d2 
Bài 2: Xét vị trí tương đối của 2 đt : 
d1: 1 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï =ỵ
d2 : 
1
1 2 3
x y z-
= =
-
Đáp số : d1 chéo d2 
Bài 3: Xét vị trí tương đối của 2 đt : 
d1:
4
1 1 2
x y z +
= =
- -
d2 : 
1 2
3 1 1
x y z- -
= =
- -
Đáp số : d1 chéo d2 
Bài 4: cho 2 đt d1 : 
7 3
2 2 
1 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = +í
ï = -ỵ
d2 : 
1 2 5
2 3 4
x y z- + -
= =
-
a/. Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2 . Đáp số : A (1,-2,5) 
b/. V iết pt mp (P) chứa d1 và d2. Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 19
Bài 5 : Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1 : 
1
2
1
x t
y t
z t
= -ì
ï = +í
ï = - +ỵ
d2 : 
/
/
/
2 2
3 2
2
x t
y t
z t
ì = -
ï
= +í
ï =ỵ
Đáp số : d1 // d2 
Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đt d1 :
3 2
2 3 
6 4
x t
y t
z t
= - +ì
ï = - +í
ï = +ỵ
 và d2 : 
ï
ỵ
ï
í
ì
+=
--=
+=
/
/
/
t20z
t41y
t5x
Đáp số : A (3,7,18) 
 - VẤN ĐỀ 17 : VỊ TR Í TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THA ÚNG d VA Ø 
MA ËT PHA ÚNG a
1/. Cách 1: d có vtcp a 
v
, a có vtpt n 
v
a/. Nếu a 
v
. n 
v
¹ 0 ® d cắt a
b/. Nếu a 
v
. n 
v
=0® d//a hay dÌ a
Tìm MỴd: 
//M d
M d
a a
a a
Ï ®é
ê Ỵ ® Ìë
2/. Cách 2: Giải hệ pt của d và a
§ Hệ có 1 nghiệm Û d cắt a
§ Hệ vô nghiệm Û d // a
§ Hệ vô số nghiệm Û dÌ a
Bài 1: Xét vị trí tương đối của đt d : 
1 
3 2 
2
x t
y t
z t
= - +ì
ï = -í
ï = - +ỵ
Và mpa : x+2y+3z+3=0 
Đáp số : d//a
Bài 2: Cho đt d : 
1
2 (2 1)
3 2
x mt
y m t
z t
= +ì
ï = - + -í
ï = - +ỵ
và mpa :x+3y-2z-5=0 
a/. Tìm m để d cắt a . Đáp số : m ¹ 1 
b/. Tìm m để d//a . Đáp số : m=1 
c/. Tìm m để d vuông góc vớia . Đáp số : m= -1 
Bài 3: Xét vị trí tương đối của đt d : 1 2
2 1 3
x y z- +
= =
-
 với mpa : 2x+y+z-1=0 
Đáp số : d cắt a tại A (2,1/2,-7/2) 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 20
Bài 4: Xét vị trí tương đối của đt d : 2 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï = -ỵ
 với mpa : 2x+y+z-1=0 
Đáp số : d cắt a tại A (1, 0,-1) 
Bài 5: Xét vị trí tương đối của đt d : 
1
4
1
x t
y t
z t
= -ì
ï = -í
ï = - +ỵ
 với mpa : 5x-y+4z+3=0 
Đáp số : dÌ a
- VẤN ĐỀ 18 : KHOA ÛNG CA ÙCH 
1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mpa : 
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
a
+ + +
=
+ +
2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt D : 
· D qua M0 và có vtcp u
v
( ) 0
u, M M
d M, 
u
é ùë ûD =
v uuuuuv
v 
3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
· 1D qua M1 và có vtcp 1u 
uuv
· 2D qua M2 và có vtcp 2u 
uuv
( ) 1 2 1 21 2
1 2
u , u .M M
d ,
u , u
é ùë ûD D =
é ùë û
uuv uuv uuuuuuv
uuv uuv 
*Chú ý: 
Khoảng cách giữa 2 mp song song = Khoảng cách từ 1 đie åm tre ân mp thứ nhất đến mp 
thứ hai. 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song = Khoảng cách từ 1 đie åm trên đt thứ nhất 
đến đt thứ hai. 
Khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mp = Khoảng cách từ 1 đie åm trên 
đt đến mp. 
Bài 1: Cho A (1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . V iết pt mpa qua 3 điểm A , B, C .Tính diện 
tích tam giác ABC , thể tích khối tứ die än OABC. 
Đáp số : a : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3 
2
; V OABC= 
3 
2
Bài 2: Tính khoảng cách từ đie åm M (1,2,-1) đe án đt D : 1 2 2
2 1 2
x y z- + -
= = 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 21
Đáp số : 221
3
Bài 3: Cho 2 đt chéo nhau : 
1D :
2 2
1
3 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = +í
ï = -ỵ
2D :
1 2
1 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = -í
ï =ỵ
Tính khoảng cách giữa 1D và 2D . Đáp số : 7/3 
Bài 4: Cho 2 đt 1D : 
1 7 3
2 1 4
x y z- - -
= = và 2D : 
ï
ỵ
ï
í
ì
-=
+=
+-=
t2z
t22y
t1x
Chứng minh 1D chéo 2D . Tính khoảng cách giữa 1D và 2D . 
Đáp số : 5
14
 - VẤN ĐỀ 19 : GÓC 
1/. Góc giữa 2 vectơ : ( ) 1 21 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u
=
uv uuvur uur
uv uuv
1/. Tìm góc j giữa 2 đt 1D và 2D :
· Tìm 2 vtcp 1u 
uuv
 và 2u 
uuv
 của 1D và 2D . 
· 
1 2 
1 2
.
cos
.
u u
u u
j =
uv uuv
uv uuv
2/. Tìm góc j giữa 2 mp a và b : 
· Tìm 2 vtpt : 1n 
uv
 và 2n 
uuv
 của a và b
· 
1 2 
1 2
.
cos
.n n
n n
j =
uv uuv
uv uuv
· Chú y ù : 1 2n na b^ Û ^
uv uuv
3/. Tìm góc j giữa đường thẳng d và mp a :
· Tìm vtcp u
v
 của d. 
· Tìm vtpt n 
v
 của a
· 
u.n
sin
u . n
j =
v uuv
v uuv
Bài 1: Tính góc j giữa đt d : 1 1 3
1 12
x y z- + -
= =
-
 và trục Ox. Đáp số : j =450 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 22
Bài 2: Tính góc j giữa đt d : 
x t
y 1 2t 
z 2 t
=ì
ï
= +í
ï = +ỵ
 và mpa : 2 1 0x y z+ - - =
Đáp số : j =300 
Bài 3: Tính góc j giữa 2 mp: 
a : 3y-z-9=0 ; b : 2y+z+1=0 
Đáp số : j =450 
Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 600 : 
1D : 
4 2
1 12
x y z+ +
= =
-
 và 2D : 
3
1 2
1
x t
y t
z mt
= +ì
ï
= +í
ï = - +ỵ
Đáp số : m = -1 
- VẤN ĐỀ 20 : PHƯƠNG TR ÌNH MA ËT CA ÀU. 
1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R :
· ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 (1) 
· x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2) 
Với : 
2 2 2R a b c d= + + -
Tâm I ( -a ; -b ; -c ) 
2/. Vị trí tương đối giữa mc(S) và mp a :
· Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I và bán kính R. 
mpa : Ax+By+Cz+D=0 
a/. ( ),d I R a > Û mp a không có đie åm chung với (S) 
b/. ( ),d I R a = Û mp a tie áp xúc với (S) (a là tie áp die än ) 
c/. ( ),d I R a < Û mp a cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt : 
2 2 2 2
Ax+By+Cz+D=0
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R 
ì
í
ỵ
3/. Một số dạng toán về mặt cầu: 
a/. V iết pt mc (S) tâm I và tie áp xúc với mpa , tìm toạ độ tie áp đie åm H của 
a và (S): 
· R = d (I , a )® pt (1) 
· H=DI a với D qua I và aD ^
b/.Mặt cầu có đường kính ABÞ tâm I là trung điểm của AB,R=1 (1)
2
AB ptÞ 
c/. Mặt cầu ngoại tie áp tứ die än ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A ,B,C,D không đồng 
phẳng ) : 
· Thế toạ độ A ,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) , ,A B C Þ hoặc a , b ,c 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 23
d/.Mặt phẳng a tie áp xúc (S) tại AỴ(S) (tie áp die än a ) 
+ (S) có tâm I, a qua A có vtpt IA 
uur
Þ pt (a ) 
e/. Cách tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của mpa
và (S) : 
§ (S) có tâm I , bán kính R , a có vtpt n 
v
§ ( ) 2/ 2 ,R R d I a= - é ùë û
§ Đường thẳng D qua I , D ^ a ® pt tham số D . 
§ I/ = aDÇ ® Toạ độ I/ 
Bài 1: Cho A (1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2) 
1/. Chứng minh : A ,B,C,D đồng phẳng . 
2/. Gọi A / là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , V iết pt mặt cầu (S) qua A / ,B,C,D 
Đáp số : A /(1,-1,0) ; ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0 
3/. V iết pt tie áp die än của (S) tại A /. 
Đáp số : a : 3x+4y+2z+1=0 
Bài 2: Cho 4 điểm : A ,B,C,D biết A (2,4,-1) , 4OB i j k= + -
uuuv v v v
 , C(2,4,3) , 2 2OD i j k= + -
uuuv uuv v v
1/. Chứng minh : ; ;AB AC AC AD AD AB^ ^ ^ . Tính thể tích khối tứ die än ABCD. 
Đáp số : V= 4/3 
2/. V iết pt tham số của đường vuông góc chung D của 2 đt AB và CD . Tính góc j giữa D
và (ABD). 
Đáp số : ( ), 0, 4,2a AB CDD é ù= = -ë û
uuv uuuv uuuv
 ; 1sin
5
j = 
3/. V iết pt mc (S) qua A , B, C, D . V iết pt tie áp die än a của (S) song song với (ABD) 
Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; a 1: z + 
21 
1
2
- =0 ; a 2: z - 
21 
1
2
- =0 
Bài 3: Cho mpa : x+y+z-1=0 và đt d : 1
1 1 1
x y z -
= =
-
1/. Tính thể tích khối tứ die än ABCD với A ,B,C là giao điểm của a với Ox ,Oy ,Oz và D = 
d ( )OxyÇ 
Đáp số : V = 1/6 
2/. V iết pt mc (S) qua A ,B,C,D , tìm toạ độ tâm I/ và bán kính R/ của đường tròn giao tuyến 
của (S) với mp (ACD). 
Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -x -y -z = 0 ; I/ /1 1 1 3, , ;
2 2 2 2
Rỉ ư =ç ÷
è ø
Bài 4: cho A (3,-2,-2) và mpa : x+2y+3z-7 = 0 
1/. V iết pt mc (S) tâm A và tie áp xúc với a , tìm toạ độ tie áp đie åm H của (S) và a . 
Đáp số : (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14 ; H(4,0,1) 
2/. Xét vị trí tương đối của (S) với mp(Oyz) . 
Đáp số : (S) cắt mp(Oyz) 
Bài 5: Cho mpa : 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0 
1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) . 
Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10 
Ôn tập TN THPT Môn Toán  NH 2010-2011
 24
2/. Chứng minh a cắt (S) , vie át pt đường tròn giao tuyến (C) của a và (S).Tìm toạ độ tâm I/ 
, bán kính R/ của ( C ) . 
Đáp số : R/ =8 ; I/ (-1,2,3) 
Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 và 2 đt 
d1: 
5 4 13
2 3 2
x y z+ - -
= =
-
 d2: 
1 3
1 2
4
x t
y t
z
= +ì
ï = - -í
ï =ỵ
Viết pt mp a tie áp xúc với (S) và a song song với d1 và d2. 
Đáp số : 
4 6 5 128 0
4 6 5 26 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + - =
 - VẤN ĐỀ 21: CA ÙCH VIE ÁT PT ĐƯỜNG 
VUÔNG GÓC CHUNG d 
CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHA U d1 , d2 
d1 có vtcp 
r
a ,d2 có vtcp 
r
b
· Lấy đie ám A Ỵ d1 Þ tọa độ đie åm A theo t1 
· Lấy đie ám B Ỵ d2 Þ tọa độ đie åm B theo t2 
· AB là đường vuông góc chung Û 
. 0
. 0
ì ì^ =ï ïÛí í
^ =ï ïỵ ỵ
uuur r uuur r
uuur r uuur rAB a AB a
AB b AB b
· Giải hệ tre ân ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B 
· Viết phương trình đường thẳng AB. 
Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d1: 
3
1 2 
2 2
x t
y t
z t
= -ì
ï = +í
ï = - +ỵ
 và d2 : 
2 4 1
3 1 2
x y z- - -
= =
- -
Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. 
Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d1: 1 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï =ỵ
 và d2 : 1 2
3
=ì
ï = -í
ï =ỵ
x t
y t
z t
1/. Chứng minh : 1 2d d ^ và d1 chéo d2. 
2/. V iết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. 
-----------------------------------------------