29 Bài Toán - Tin Tiểu học và THCS

y cách chọn này không thỏa mãn. Các trường hợp còn lại xét tương tự.
Do đó, với trường hợp này không thể có cách chọn nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Bài 18. Tìm số dư của phép chia.
Một số nguyên khi chia cho 1976 và 1977 đều dư 76. Hỏi số đó khi chia cho 39 dư bao nhiêu? 
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Vì 1976 và 1977 là 2 số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau, do đó số thoả mãn điều kiện của bài toán phải có dạng: 
 n = 1976*1977*k +76 (k là số nguyên)
nhưng 1976*1977 lại chia hết cho 39 nên phần dư của n khi chia cho 39 sẽ là 37 (= 76 - 39). 
Bài 19. Tìm số nhỏ nhất.
Hãy viết ra số nhỏ nhất bao gồm tất cả các chữ số 0, 1, 2, 3, ... 9 mà nó: 
a. Chia hết cho 9
b. Chia hết cho 5 
c. Chia hết cho 20 
Có giải thích cho từng trường hợp?
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
a. Số đó chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9. Ta thấy tổng 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 chia hết cho 9. Vậy số nhỏ nhất bao gồm tất cả các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 mà chia hết cho 9 là: 1023456789.
b. Số này chia hết cho 5 nên tận cùng phải là 0 hoặc 5. Nếu tận cùng là 5 thì số nhỏ nhất sẽ là 1023467895 còn nếu số đó tận cùng là 0 thì số nhỏ nhất sẽ là123457890. 
So sánh hai số trên, suy ra số nhỏ nhất phải tìm là: 1023467895 
c. Một số chia hết cho 20, do đó phải chia hết cho 10. Suy ra số đó phải là số nhỏ nhất tận cùng là 0. Mặt khác, chữ số hàng chục của số đó phải là một số chẵn. Vì vậy ta tìm được số phải tìm là 1234567980. 
Bài 20. Bảng số 9 x 9.
Hãy xếp các số 1, 2, 3, ..., 81 vào bảng 9 x 9 sao cho: 
a) Trên mỗi hàng các số được xếp theo thứ tự tăng dần (từ trái qua phải). 
b) Tổng các số ở cột 5 là lớn nhất. 
Yêu cầu:
+ Đối với các bạn học sinh khối Tiểu học chỉ cần viết ra bảng số thoả mãn tính chất trên. 
+ Các bạn học sinh khối THCS thì phải lập trình hiển thị kết quả ra màn hình.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Ta sẽ điền vào các ô ở cột thứ năm các số lớn nhất có thể được. Nếu số lớn nhất trong các cột còn lại (chưa điền vào bảng) là a, thì số lớn nhất có thể điền vào cột thứ năm là a- 4 vì các số phải điền theo thứ tự tăng dần theo hàng mà sau cột thứ 5 còn có 4 cột nữa. Ta thực hiện điền các số giảm dần từ 81 vào nửa phải của bảng trước, sau đó dễ dàng điền vào nửa còn lại với nhiều cách khác nhau: 
1
2
3
4
77
78
79
80
81
5
6
7
8
72
73
74
75
76
9
10
11
12
67
68
69
70
71
13
14
15
16
62
63
64
65
66
17
18
19
20
57
58
59
60
61
21
22
23
24
52
53
54
55
56
25
26
27
28
47
48
49
50
51
29
30
31
32
42
43
44
45
46
33
34
35
36
37
38
39
40
41
 Program bai20;
 Uses ctr;
 Var i,j : integer;
 Begin 
 Clsscr;
 for i:= 1 to do 
 begin 
 for j:= 1to 4 do write (4*(i-1) + j :3);	 
 for j:= 0 to 4 do write (81-4*i-(i-1)+j :3) ;
 Writeln;
 end ;
 Write (‘tong cac so o cot 5: ‘,(37+77)*9div2);
 Readln 
 End.	
(Lời giải của bạn Nguyễn Chí Thức - Lớp 11A1 - Khối PTCTT - ĐHSPHN - Thôn Đại Đồng - xã Thuỵ Phương - Từ Liêm - Hà Nội)
Bài 21. Bội của 36.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 36 mà trong dạng viết thập phân của nó có chứa tất cả các chữ số từ 1 tới 9. 
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Một số đồng thời chia hết cho 4 và 9 thì sẽ chia hết cho 36 (vì 4 và 9 nguyên tố cùng nhau: (4, 9) = 1). 
Ta thấy, tổng của tất cả các số từ 1 đến 9 = 1 + 2 + ... + 9 = 45 chia hết cho 9.
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 4. Mà ta cần tìm số nhỏ nhất chia hết cho 36, do đó số đó phải là số nhỏ nhất có đầy đủ các chữ số từ 1 đến 9 và hai số cuối cùng của nó phải là một số chia hết cho 4. Vậy số phải tìm là: 123457896
Bài 22. Bài toán chuỗi số.
Cho một chuỗi số có quy luật. Bạn có thể tìm được hai số cuối của dãy không, thay thế chúng trong dấu hỏi chấm (?). Bài toán không dễ dàng lắm đâu, vì chúng được tạo ra bởi một quy luật rất phức tạp. Bạn thử sức xem?
5 8 11 14 17 23 27 32 35 41 49 52 ? ?
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Hai số cuối là 59 và 65.
Giải thích: Chuỗi số được tạo ra từ việc cộng các số nguyên tố (ở hàng trên) với các số không phải là nguyên tố (hàng dưới), cụ thể như sau:
Bài 23. Xoá số trên bảng.
Trên bảng đen cô giáo ghi lên 23 số tự nhiên: 1, 2, 3, ..., 23
Các bạn được phép xoá đi 2 số bất kỳ trên bảng và thay vào đó một số mới là hiệu của chúng.
1. Hỏi có thể thực hiện sau một số bước trên bảng còn lại toàn số 0 hay không? Nếu được hãy chỉ ra một cách làm cụ thể.
2. Bài toán còn đúng không nếu thay số 23 bằng 25.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
1. Có thể thực hiện được. 
Sau đây là một cách làm cụ thể: ta lần lượt xoá từng nhóm hai số một từ cuối lên: (23 - 22); (21 - 20); ....; (5 - 4); (3 - 2). Như vậy, sau 11 bước này trên bảng sẽ còn lại 12 số 1. Do đó, ta chỉ việc nhóm 12 số 1 này thành 6 nhóm có hiệu bằng 0. Khi đó, trên bảng sẽ chỉ còn lại toàn số 0. 
2. Nếu thay 23 số bằng 25 số thì bài toán trên sẽ không thực hiện được. 
Giải thích:
Ta có tổng các số từ 1 đến 25 = (1 + 25) x 25 : 2 sẽ là một số lẻ. 
Giả sử, khi xoá đi hai số bất kỳ thì tổng các số trên bảng sẽ giảm đi là: (a + b) - (a - b) = 2b = một số chẵn.
Như vậy, sau một số bước xoá hai số bất kỳ thì tổng các số trên bảng vẫn còn lại là một số lẻ (số lẻ - số chẵn = số lẻ) và do đó trên bảng sẽ không phải là còn toàn số 0.
Bài 24. Cà rốt và những chú thỏ.
Các số ở mỗi ô trong hình thoi dưới đây biểu thị số lượng củ cà rốt. Chú thỏ đi từ góc dưới với 14 củ cà rốt và đi lên đỉnh trên với 13 củ cà rốt, chỉ được đi theo đường chéo, đi đến đâu ăn hết tổng số cà rốt trong ô đó. Hỏi rằng chú thỏ có thể ăn được nhiều nhất bao nhiêu củ cà rốt?
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Chú thỏ có thể ăn được nhiều nhất 120 củ cà rốt. Đường đi của chú thỏ như sau:
	14->12->13->14->13->16->15->10->13
Do đó, số củ cà rốt chú thỏ ăn được khi đi theo đường này là: 
	14 + 12 + 13 + 14 + 13 + 16 + 15 + 10 + 13 = 120 (củ)
Bài 25. Các đường tròn đồng tâm.
Ba đường tròn đồng tâm, mỗi hình được chia thành 8 phần (như hình dưới). 
Hãy đặt các số trong danh sách dưới đây vào các phần trong các hình tròn sao cho: mỗi đường tròn gồm 8 số trong tám phần có tổng bằng 80, mỗi phần của hình tròn ngoài gồm 3 số (mỗi phần của hình tròn ngoài chứa cả phần của hai hình tròn trong) có tổng bằng 30. 
Các số bạn được sử dụng là: 
14, 11, 10, 12, 7, 9, 9, 8, 9, 9, 11, 11, 10, 10, 10, 10, 14, 9, 7, 11, 10, 8, 12, 9.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Các số được điền như sau:
Bài 26. Dãy số tự nhiên logic.
Đây là một chuỗi các số tự nhiên được sắp xếp theo một logic nào đó. Hãy tìm con số đầu tiên và cuối cùng của dãy số để thay thế cho dấu ?
? 12 14 15 16 18 20 21 22 ? 
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Số đầu và số cuối cần tìm của dãy số logic đã cho là: 10 và 24.
Giải thích: dãy số đó là dãy các số tự nhiên liên tiếp không nguyên tố.
Bài 27. Thay số trong bảng 9 ô.
Cho một bảng vuông gồm 9 ô. Đầu tiên các ô được điền bởi các chữ cái I, S, M. Bạn hãy thay những số thích hợp vào các ô sao cho tổng các số trong các ô điền cùng chữ cái ban đầu là bằng nhau và là một số chia hết cho 4. 
Chú ý: các ô cùng chữ cái phải thay bởi những số như nhau. 
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Do tổng các số trong các ô điền cùng chữ cái ban đầu là bằng nhau nên ta suy ra: 2M = 3I = 4S. Vì 4S chia hết cho 4, do đó 2M và 3I cũng chia hết cho 4.
Suy ra: I chia hết cho 4; M = 2S; 3I = 4S.
Đặt I = 4k (k = 1, 2,...), ta suy ra tương ứng: S = 3k, và M = 6k.
Ví dụ, với k = 1 ta có đáp số sau: I = 4, S = 3, M = 6; 
Với k = 2, ta có: I = 8, S = 6, M = 12; ...
Bài 28. Trò chơi bắn bi.
Cho bảng bắn bi sau:
Bạn có thể bắn bi vào từ một trong số các đỉnh ở ngoài cùng. Khi được bắn vào trong, hòn bi chỉ có thể tiếp tục đi vào trong ở đỉnh gần đó nhất hoặc lăn theo nhiều nhất là một cạnh để đi vào ở đỉnh kề đó. Biết rằng khi đến hình chữ nhật trong cùng, hòn bi không đợc lăn trên một cạnh nào mà phải đi thẳng vào tâm.
Hãy tìm đường đi sao cho tổng số điểm mà nó đi qua là lớn nhất và có bao nhiêu đường đi để có được số điểm đó.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
Có 3 đường đi đạt số điểm lớn nhất là: 32. 
Bài 29. Thay số trong bảng.
Bảng dưới gồm 9 ô, ban đầu được điền bởi các chữ cái. Bạn hãy thay các chữ cái bởi các chữ số từ 0 đến 8 vào ô sao cho tất cả các số theo hàng ngang, hàng dọc đều là số có 3 chữ số (chữ số hàng trăm phải khác 0) và thoả mãn:
4
5
6
 1 2 3
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Ngang
4 - Bội số nguyên của 8;
5 - Tích của các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên; 
6 - Tích các số nguyên tố kề nhau
Dọc
1 - Bội nguyên của 11;
2 - Tích của nhiều thừa số 2;
3 - Bội số nguyên của 11.
(Đề ra của bạn Đào Tuấn Anh - Lớp 10A Trường THPT Năng Khiếu Ngô Sĩ Liên - thị xã Bắc Giang)
4
5
6
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ:
 1 2 3
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Ngang
4 - Bội số nguyên của 8;
5 - Tích của các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên; 
6 - Tích các số nguyên tố kề nhau
Dọc
1 - Bội nguyên của 11;
2 - Tích của nhiều thừa số 2;
3 - Bội số nguyên của 11.
Giải:
Từ (5) - Tích của các số tự nhiên đầu tiên cho kết quả là một số có 3 chữ số chỉ có thể là 120 hoặc 720 (1x2x3x4x5 = 120; 1x2x3x4x5x6 = 720).
Do đó, (5) có thể là 120 hoặc 720. Suy ra: f = 0; e = 2; d = 1 hoặc d = 7.
Tương tự, ta tìm được (6) có thể là 105 hoặc 385 (3x5x7 = 105; 5x7x11 = 385). Suy ra: i = 5; h = 0 hoặc h = 8; g = 1 hoặc g = 3.
Từ (4) suy ra c chỉ có thể là số chẵn. Do f = 0, i = 5, từ (3) ta tìm được c = 6.
Từ (2) - tích của nhiều thừa số 2 cho kết quả là một số có 3 chữ số chỉ có thể là một trong các số: 128, 256, 512. Mà theo trên e = 2 nên ta tìm được (2) là 128. Vậy b = 1, h = 8, g = 3.
Từ (4) - Bội số nguyên của 8, do đó ta có thể tìm được (4) có thể là một trong các số: 216, 416, 616, 816. 
Tức là, a có thể bằng 2, 4, 6, hoặc 8. Kết hợp với (1), giả sử d = 1, như vậy ta không thể tìm được số nào thoả mãn (1).
Với d = 7, ta tìm được a = 4 thoả mãn (1). 
Vậy a = 4, b = 1, c = 6, d = 7, e = 2, f = 0, g = 3, h = 8, i = 5.
Và ta có kết quả như sau:
4
1
6
7
2
0
3
8
5