Bài 1: Nguyên hàm

 Nguyên hàmTích phân Ứng dụng§1.§2.§3. CHƯƠNG III Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng BÀI GIẢNG : Nguyên Hàm§1.I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm:2.Tính chất của nguyên hàm :3.Sự tồn tại nguyên hàm:4.Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phương pháp đổi biến số:Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm:Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng của R. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên K .Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K.Ví dụ 1:Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số Vì Nêu thêm một số ví dụ khác: c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :Định lý 1:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .Hãy tự chứng minh định lý này. Định lý 2:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số .Chứng minh: Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó : (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K. Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K . Ta có : G(x) – F(x) = C Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x  K .F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu : Ví dụ 2 : Chú ý : Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx a) Với x  (-  ; +  ) , b) Với x  ( 0 ; +  ) , c) Với x  ( -  ; +  ) , 2.Tính chất của nguyên hàm :Tính chất 1:Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm . Ví dụ 3:Tính chất 2:Chứng minh: Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ 0 nênTheo t/c 1 ta có :Tính chất 3:Tự chứng minh t/c này. Ví dụ 4:Tìm nguyên hàm của hàm số: Giải: Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có : 3.Sự tồn tại của nguyên hàm:Định lý 3:Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .Công nhận định lý này . Ví dụ 5:a) Hàm số Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  ) b) Hàm số Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :Ví dụ 6:Tính: Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phương pháp đổi biến số :a) Cho : Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du b) Cho : Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt Định lý 1:Nếu và u = u(x) là hàm số Chứng minh: Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))  (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) có đạo hàm liên tục thì :Hệ quả:Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có Ví dụ 7:Tính: Giải: Vìnên theo hệ quả ta có : Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .Ví dụ 8:Tính : Giải: Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và Khi đó : Thay u = x + 1 vào kết quả , có : 2.Phương pháp tính nguyên hàm từng phầnTa có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :Từ đó tính :Định lý 2:Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của tích , ta có : (u.v)’ = u’.v + v’.uHay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : Vậy: Chú ý : Công thức trên còn được viết dưới dạng :b) Đặt u = x và dv = cos x .dx c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì và v = x . Do đó: a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có : Giải: Tính: Ví dụ 9 :thì du = dx và v = sin x nên có : Bài củng cố: Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần . P(x) ????? P(x) ????? cosx.dx ????? lnx.dx ????? Bài tập về nhà:Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 .