Bài 16: Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa - Mỵ Vinh Quang

trận A chéo hóa được thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn qua quan hệ
đồng dạng) của ma trận A dẫn đến việc nghiên cứu các tính chất đó trên một ma trận
chéo và như vậy vấn đề sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều.
Muốn biết ma trận A có chéo hóa được hay không, ta có định lý sau:
• Định lý (Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông chéo hóa được)
Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến
tính, khi và chỉ khi
k∑
i=1
dimVλi = n, trong đó λ1, . . . , λk là tất cả các giá trị riêng của A.
3
2.3 Cách chéo hóa một ma trận
Cho A là ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A, ta làm như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Khi đó xảy ra một trong
hai khả năng sau:
1. Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n (tức là
k∑
i=1
dimVλi < n, trong
đó Vλi là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λi) thì kết luận ma trận A không chéo
hóa được, tức là không tồn tại ma trận T để T−1AT là ma trận chéo.
2. Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n (tức là
k∑
i=1
dimVλi = n thì ma
trận A chéo hóa được. Khi đó ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của nó chính là
các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột, và khi đó
T−1AT =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

là ma trận chéo, trong đó λi chính là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng là vectơ cột
thứ i của ma trận T .
2.4 Ví dụ
Chéo hóa ma trận
A =
 0 1 11 0 1
1 1 0

Giải
Trước hết tìm vectơ riêng, giá trị riêng của A.
Theo ví dụ b), mục 1, ma trận A có hai giá trị riêng là λ = −1, λ = 2 và A có ba vectơ
riêng độc lập tuyến tính là α1 = (−1, 1, 0), λ = (−1, 0, 1) ứng với giá trị riêng λ = −1 và
α3 = (1, 1, 1) ứng với giá trị riêng λ = 2.
Do đó, ta kết luận:
- Ma trận A chéo hóa được.
- Ma trận cần tìm là:
T =
 −1 −1 11 0 1
0 1 1

và
T−1AT =
 −1 0 00 −1 0
0 0 2

4
3 Vectơ riêng, giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính
3.1 Các khái niệm cơ bản
Cho V là không gian vectơ và f : V → V là phép biến đổi tuyến tính.
Nếu U là không gian vectơ con bất biến của V sao cho f(U) ⊂ U thì U gọi là không gian
con bất biến của V .
Giả sử U là không gian con bất biến 1 chiều và α là một vectơ khác không, thuộc U (do
đó α là cơ sở của U), khi đó vì f(U) ⊂ U nên f(α) ∈ U và f(α) = λα. Từ đó ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, f : V → V là phép biến đổi tuyến tính của V .
Nếu ta có f(α) = λα trong đó α ∈ V là vectơ khác không và λ ∈ R thì α gọi là vectơ riêng của
f ứng với giá trị riêng λ.
3.2 Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính
Các giá trị riêng, vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính có sự tương ứng chặt chẽ với các
giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận của nó. Ta sẽ thấy rõ điều đó qua phần trình bày dưới
đây.
Cho V là không gian vectơ n-chiều (dimV = n) và cho f : V → V là phép biến đổi tuyến
tính. Giả sử (U) : u1, . . . , un là cơ sở của V và A = Af/(U) là ma trận của f trong cơ sở (U).
Ta có biểu thức tọa độ của f như sau (xem bài 15):
[f(α)]/(U) = A.[α]/(U) (∗)
Nếu α là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ0 thì f(α) = λ0f . Thay vào vào (∗) ta có:
λ0.[α]/(U) = A.[α]/(U)
hay
[A− λ0I][α]/(U) = 0 (∗∗)
Vì vectơ α khác không nên hệ phương trình (∗∗) có nghiệm khác không⇔ det[A−λ0I] = 0
⇔ λ0 là giá trị riêng của A.
Như vậy, λ0 là giá trị riêng của f ⇔ λ0 là giá trị riêng của ma trận A = Af/(U) và α ∈ V
là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ0 ⇔ [α]/(U) là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng
λ0.
Từ đó ta có quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f : V → V
như sau:
1. Bước 1. Tìm ma trận của f trong một cơ sở (U) : u1, . . . , un nào đó của V , nghĩa là tìm
A = Af/(U) .
2. Bước 2. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A.
3. Bước 3. Kết luận
• Các giá trị riêng của A cũng chính là giá trị riêng của f .
• Nếu (a1, . . . , an) là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ0 thì a1u1 + · · · + anun
là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ0.
5
3.3 Vấn đề tìm cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở là ma trận
chéo
Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính f : V → V , ta có thể qui về việc nghiên cứu
ma trận của f . Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận
chéo (là ma trận khá đơn giản, dễ nghiên cứu). Sau đây là cách tìm cơ sở như vậy:
Đầu tiên ta tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính của f . Nếu f có ít hơn n vectơ riêng
độc lập tuyến tính (n = dimV ) thì không có cơ sở nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó
là ma trận chéo. Nếu f có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là (α) : α1, . . . , αn thì n vectơ riêng
độc lập tuyến tính đó làm thành cơ sở (α) của V và ma trận của f trong cơ sở (α) đó là ma
trận chéo. Cụ thể:
Af/(U) =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

trong đó λi là giá trị riêng ứng với vectơ riêng αi (các λi có thể bằng nhau).
3.4 Ví dụ
Trong R3 cho cơ sở:
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)
và cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi:
f(u1) = (4, 3, 2)
f(u2) = (4, 3, 1)
f(u3) = (1, 0, 0)
Tìm cơ sở để ma trận f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
Giải
Đầu tiên ta tìm vectơ riêng, giá trị riêng của f . Để tìm vectơ riêng, giá trị riêng của f , ta
tìm ma trận của f trong một cơ sở nào đó của R3. Trong bài toán cụ thể này, tìm ma trận của
f trong cơ sở (U) : u1, u2, u3 là dễ nhất. Vậy:
1. Bước 1. Tìm ma trận của f trong cơ sở (U)
Ta phải giải 3 hệ phương trình sau:
• Hệ 1 1 1 11 1 0
1 0 0
∣∣∣∣∣∣
4
3
2

a1 = 2,
a2 = 3− a1 = 1,
a3 = 4− a1 − a2 = 1
6
• Hệ 2 1 1 11 1 0
1 0 0
∣∣∣∣∣∣
4
3
1

b1 = 1,
b2 = 3− b1 = 2,
b3 = 4− b1 − b2 = 1
• Hệ 3 1 1 11 1 0
1 0 0
∣∣∣∣∣∣
1
0
0

c1 = 0,
c2 = −c1 = 0,
c3 = 1− c1 − c2 = 1
Vậy Af/(U) =
 2 1 01 2 0
1 1 1

2. Bước 2. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A và của f
PA(λ) =
∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 0
1 2− λ 0
1 1 1− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)
∣∣∣∣ 2− λ 11 2− λ
∣∣∣∣
PA(λ) = (1− λ)[(2− λ)2 − 1] = (1− λ)2(3− λ)
PA(λ) = 0⇔ λ = 1, λ = 3
Vậy A có hai giá trị riêng là λ = 1, λ = 3.
Suy ra f có hai giá trị riêng là λ = 1, λ = 3.
• Các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ = 1 là nghiệm của hệ 1 1 01 1 0
1 1 0
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
 −→
 1 1 00 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2, x3.
Nghiệm tổng quát của hệ là: x1 = −a, x2 = a, x3 = b.
Vectơ riêng của A, ứng với giá trị riêng λ = 1, là (−a, a, b), a2 + b2 6= 0.
Trong trường hợp này, A có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là α1 = (−1, 1, 0) và
α2 = (0, 0, 1).
Do đó, ứng với giá trị riêng λ = 1, vectơ riêng của f là các vectơ có dạng
−au1 + au2 + bu3 = (b, 0,−a)
với a2 + b2 6= 0.
Trong trường hợp này, f có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là:
β1 = −u1 + u2 + 0u3 = (0, 0,−1)
β2 = 0u1 + 0u2 + u3 = (1, 0, 0)
7
• Các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ = 3 là nghiệm của hệ −1 1 01 −1 0
1 1 −2
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
 −→
 −1 1 00 0 −2
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số x2.
Ta có: x2 = a, x3 = 0, x1 = a
Nghiệm tổng quát của hệ là: x1 = a, x2 = a, x3 = 0.
Vectơ riêng của A, ứng với giá trị riêng λ = 3, là (a, a, 0), a 6= 0.
Trong trường hợp này, A có một vectơ riêng độc lập tuyến tính là α3 = (1, 1, 0).
Do đó, ứng với giá trị riêng λ = 3, vectơ riêng của f là các vectơ có dạng
au1 + au2 + 0u3 = (2a, 2a, a), a 6= 0
Trong trường hợp này, f có một vectơ riêng độc lập tuyến tính là:
β3 = 1u1 + 1u2 + 0u3 = (2, 2, 1)
3. Bước 3. Kết luận
f có ba vectơ riêng độc lập tuyến tính là các vectơ β1, β2 (ứng với λ = 1) và β3 (ứng với
λ = 3). Do đó, β1, β2, β3 làm thành cơ sở của R3 mà ma trận của f trong cơ sở β1, β2,
β3 là ma trận chéo. Cụ thể:
Af/(β) =
 1 0 00 1 0
0 0 3

8
Bài tập
1. (a) Cho f : Rn → R. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính⇔ tồn tại các số a1, . . . , an ∈ R
để f(x1, x2, . . . , xn) = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.
(b) Cho f : Rn → Rm. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính ⇔ tồn tại các số aij ∈ R để
f(x1, x2, . . . , xn) = (a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn, . . . , am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn).
2. Tìm công thức của ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 (tìm f(x1, x2, x3)) biết:
(a) f(1, 1, 2) = (1, 0, 0)
f(2, 1, 1) = (0, 1, 1)
f(2, 2, 3) = (0,−1, 0)
(b) f(1, 2, 3) = (−1, 0, 1)
f(−1, 1, 1) = (0, 1, 0)
f(1, 3, 4) = (1, 0, 2)
3. Trong R3 cho 2 cơ sở
u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (U)
v1 = (1,−1, 0), v2 = (0, 1,−1), v3 = (1, 0, 1) (V )
và cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, f(ui) = vi, i = 1, 2, 3.
(a) Tìm công thức của f .
(b) Tìm các ma trận sau: Af/(U) , Af/(U),(V ) , Af/(V ) , Af/(V ),(U) , Af/(ε3)
4. Cho ánh xạ tuyến tính Θ : Rn[x]→ Rn[x], p(x) 7→ p′(x).
Tìm ma trận của Θ trong cơ sở:
(a) 1, x, x2, . . . , xn
(b) 1, (x− a), (x− a)
2
2!
, . . . ,
(x− a)n
n!
5. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3
f(x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2 + x3, 2x1 + x4, 2x2 + x3 + x4)
Tìm cơ sở, số chiều của Ker f , Im f .
6. Tìm vectơ riêng, giá trị riêng chéo hóa các ma trận sau:
(a)
 1 0 10 0 0
1 0 1

(b)
 5 −1 1−1 2 −2
1 −2 2

9
(c)
 1 2 12 4 2
1 2 1

(d)

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1

(e)

1 3 1 2
0 −1 1 3
0 0 2 5
0 0 0 −2

7. Trong R3 cho cơ sở:
u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2)
và cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f(u1) = (0, 5, 3)
f(u2) = (2, 4, 3)
f(u3) = (0, 3, 2)
Tìm một cơ sở để ma trận f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
8. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V thỏa ϕ2 = ϕ. Chứng minh:
Imϕ+Kerϕ = V
Imϕ ∩Kerϕ = {0}
9. Cho f : V → V là phép biến đổi tuyến tính, L là không gian vectơ con của V . Chứng
minh:
(a) dimL− dimKer f ≤ dim f(L) ≤ dimL
(b) dimL ≤ dim f−1(L) ≤ dimL+ dimKer f
10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh:
(a) rank(ψϕ) ≤ min{rankψ, rankϕ}
(b) rank(ψϕ) = rankϕ− dim(Kerψ ∩ Imϕ)
(c) rank(ψϕ) ≥ rankϕ+ rankψ − dimW
10