Bài 18: Không gian vectơ Euclide - Mỵ Vinh Quang

β2 = α2 − 〈α2, β1〉〈β1, β1〉β1
...
βm = αm −
m−1∑
i=1
〈αm, βi〉
〈βi, βi〉 βi
là hệ vectơ trực giao, độc lập tuyến tính trong E, và 〈α1, . . . , αm〉 = 〈β1, . . . , βm〉
Phép chuyển từ hệ vectơ α1, . . . , αm sang hệ vectơ trực giao β1, . . . , βm như trên gọi là
phép trực giao hóa hệ vectơ α1, . . . , αm.
• Chú ý
4
– Nếu α1, . . . , αm là cơ sở của không gian vectơ con U của không gian vectơ Euclide
E, (U = 〈α1, . . . , αm〉), trực giao hóa hệ vectơ α1, . . . , αm ta được hệ vectơ trực giao
β1, . . . , βm và U = 〈α1, . . . , αm〉 = 〈β1, . . . , βm〉.
Do đó, β1, . . . , βm chính là cơ sở trực giao của U .
– Từ chú ý trên, một không gian Euclide E luôn có cơ sở trực chuẩn.
Thật vậy, để tìm cơ sở trực chuẩn của E, đầu tiên ta tìm một cơ sở α1, . . . , αm bất
kỳ của E, sau đó trực giao hóa cơ sở trên ta được cơ sở trực giao β1, . . . , βm của E.
Cuối cùng, trực chuẩn hóa cơ sở trực giao β1, . . . , βm, ta sẽ được cơ sở trực chuẩn
u1, . . . , um của E.
Cũng lưu ý bạn đọc rằng, trong quá trình trực giao hóa hệ vectơ α1, . . . , αm, để đơn giản
cho quá trình tính toán, ta có thể thay vectơ βi bởi một vectơ tỷ lệ với βi. Sau đây là
một ví dụ:
• Ví dụ
Trong không gian vetơ Euclide R4, cho không gian vectơ con U sinh bởi các vectơ:
α1 = (0, 1, 0, 1)
α2 = (0, 1, 1, 0)
α3 = (1, 1, 1, 1)
α4 = (1, 2, 1, 2)
(U = 〈α1, α2, α3, α4〉)
Tìm một cơ sở trực chuẩn của U .
Giải
Để tìm cơ sở trực chuẩn của U , đầu tiên ta tìm một cơ sở của U . Hệ con độc lập tuyến
tính tối đại của α1, α2, α3, α4 là một cơ sở của U . Từ đó ta có α1, α2, α3 là một cơ sở của
U .
Tiếp theo, trực giao hóa hệ vectơ α1, α2, α3 để được một cơ sở trực giao của U .
Ta có:
β1 = α1 = (0, 1, 0, 1)
β2 = α2 − 〈α2, β1〉〈β1, β1〉β1 = (0, 1, 1, 0)−
1
2
(0, 1, 0, 1) =
(
0,
1
2
, 1,−1
2
)
Để phép tính tiếp theo đơn giản hơn, ta có thể chọn β2 = (0, 1, 2,−1).
β3 = α3− 〈α3, β1〉〈β1, β1〉β1
〈α3, β2〉
〈β2, β2〉β2 = (1, 1, 1, 1)−
2
2
(0, 1, 0, 1)− 2
6
(0, 1, 2,−1) =
(
1,−1
3
,
1
3
,
1
3
)
Để đơn giản, ta có thể chọn β3 = (3,−1, 1, 1).
Vậy cơ sở trực giao của U là:
β1 = (0, 1, 0, 1)
β2 = (0, 1, 2,−1)
β3 = (3,−1, 1, 1)
Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao β1, β2, β3, ta được cơ sở trực chuẩn của U là:
5
e1 =
(
0,
1√
2
, 0,
1√
2
)
e2 =
(
0,
1√
6
,
2√
6
,
−1√
6
)
e3 =
(
3
2
√
3
,
−1
2
√
3
,
1
2
√
3
,
1
2
√
3
)
3 Hình chiếu trực giao và đường trực giao
3.1 Định lý - Định nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide, và U là không gian vectơ con của E. Khi đó mỗi vectơ
α ∈ E đều viết được duy nhất dưới dạng:
α = α′ + β
trong đó α′ ∈ U và β ⊥ U .
Vectơ α′ gọi là hình chiếu trực giao của vectơ α lên U , còn β = α − α′ là đường trực giao
hạ từ α xuống U .
Chứng minh
Giả sử e1, . . . , ek là một cơ sở trực chuẩn của U . Vì α
′ ∈ U nên α′ có dạng:
α′ = x1e1 + · · ·+ xkek
Ta cần tìm x1, . . . , xk để β = α− α′ ⊥ U .
β = α− α′ ⊥ U ⇔ α− α′ ⊥ ej, ∀j = 1, 2, . . . , k
⇔ 〈α− α′, ej〉 = 0
⇔ 〈α, ej〉 − 〈α′, ej〉 = 0
⇔ 〈α, ej〉 −
〈 k∑
i=1
xiei, ej
〉
= 0
⇔ 〈α, ej〉 − xj = 0
⇔ xj = 〈α, ej〉
Vậy vectơ α′ xác định duy nhất bởi
α′ =
k∑
j=1
〈α, ej〉.ej
trong đó e1, . . . , ek là một cơ sở trực chuẩn của U , còn vectơ β xác định bởi β = α− α′.
3.2 Cách tìm hình chiếu trực giao
Cho không gian vectơ Euclide E, và U là không gian vectơ con của E. Cho vectơ α ∈ E.
Để tìm hình chiếu trực giao của vectơ α lên U , ta có thể tìm bằng hai cách sau:
6
1. Cách 1. Tìm một cơ sở trực chuẩn e1, e2, . . . , ek của U . Khi đó hình chiếu trực giao α
′ của
vectơ α xác định bởi công thức:
α′ = 〈α, e1〉.e1 + 〈α, e2〉.e2 ++ · · ·+ 〈α, ek〉.ek
2. Giả sử u1, . . . , uk là cơ sở bất kỳ của U . Vì α
′ ∈ U nên α′ = x1u1 + · · · + xkuk. Ta cần
tìm x1, . . . , xk để vectơ α− α′ ⊥ U .
α− α′ ⊥ U
⇔ α− α′ ⊥ uj với j = 1, 2, . . . , k
⇔ 〈α′, uj〉 = 〈α, uj〉
⇔ x1〈u1, uj〉+ x2〈u2, uj〉+ · · ·+ xk〈uk, uj〉 = 〈α, uj〉
Lần lượt cho j = 1, 2, . . . , k, ta có x1, . . . , xk là nghiệm của hệ phương trình sau:
〈u1, u1〉x1 + 〈u2, u1〉x2 + · · ·+ 〈uk, u1〉xk = 〈α, u1〉
〈u1, u2〉x1 + 〈u2, u2〉x2 + · · ·+ 〈uk, u2〉xk = 〈α, u2〉
...
〈u1, u1〉xk + 〈u2, uk〉x2 + · · ·+ 〈uk, uk〉xk = 〈α, uk〉
(∗)
Như vậy, để tìm hình chiếu α′ của α lên U , ta cần tìm một cơ sở u1, . . . , uk của U , sau
đó lập hệ phương trình (∗). Giải hệ (∗) ta sẽ có nghiệm duy nhất (x1, . . . , xk). Khi đó:
α′ = x1u1 + · · ·+ xkuk.
Ví dụ
Trong không gian Euclide R4 cho không gian vectơ con U sinh bởi các vectơ:
α1 = (0, 1, 0, 1)
α2 = (0, 1, 1, 0)
α3 = (1, 1, 1, 1)
α4 = (1, 2, 1, 2)
(U = 〈α1, α2, α3, α4〉)
Tìm hình chiếu trực giao của vectơ x = (1, 1, 0, 0) lên U .
Giải
Cách 1 :
Đầu tiên ta tìm một cơ sở trực chuẩn của U . Ở ví dụ trước ta đã tìm được một cơ sở trực
chuẩn của U là:
e1 =
(
0,
1√
2
, 0,
1√
2
)
e2 =
(
0,
1√
6
,
2√
6
,
−1√
6
)
e3 =
(
3
2
√
3
,
−1
2
√
3
,
1
2
√
3
,
1
2
√
3
)
Do đó, hình chiếu trực giao của x là:
x′ = 〈x, e1〉e1 + 〈x, e2〉e2 + 〈x, e3〉e3
=
1√
2
e1 +
1√
6
e2 +
1√
3
e3
7
=(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
Cách 2 :
Đầu tiên tìm một cơ sở của U . Dễ thấy α1, α2, α3 là một cơ sở của U . Sau đó lập hệ phương
trình dạng (∗).
Ta có:
〈α1, α1〉 = 2
〈α2, α1〉 = 1
〈α3, α1〉 = 2
〈x, α1〉 = 1
〈α2, α2〉 = 2
〈α3, α2〉 = 2
〈x, α2〉 = 1
〈α3, α3〉 = 4
〈x, α3〉 = 2
Do đó, hệ phương trình (∗) trong trường hợp này có dạng:
2x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 2x2 + 4x3 = 2
Đây là hệ Cramer, giải hệ này ta có x1 = 0, x2 = 0, x3 =
1
2
. Do đó, hình chiếu trực giao
của vectơ x là:
x′ = 0α1 + 0α2 +
1
2
α3 =
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
3.3 Định nghĩa
Cho U là không gian vectơ con của không gian Euclide E và α là vectơ thuộc E. Khi đó
góc giữa hai vectơ α và hình chiếu trực giao α′ cũng được gọi là góc giữa vectơ α và không gian
con U .
Độ dài của đường thẳng trực giao β = α − α′ từ α đến U gọi là khoảng cách từ vectơ α
đến U .
4 Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng
4.1 Hai không gian Euclide đẳng cấu
Cho hai không gian vectơ Euclide E1 với tích vô hướng 〈 , 〉1 và E2 với tích vô hướng 〈 , 〉2.
Ta nói E1 đẳng cấu với E2, ký hiệu E1 ∼= E2 nếu tồn tại đẳng cấu giữa hai không gian vectơ
f : E1 → E2 thỏa:
∀α, β ∈ E1, 〈α, β〉1 = 〈f(α), f(β)〉2
Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương và ta có kết quả sau:
Định lý. Hai không gian Euclide đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều.
8
Chứng minh
Nếu E1 ∼= E2 thì theo định nghĩa E1, E2 là các không gian vectơ đẳng cấu nên
dimE1 = dimE2.
Ngược lại, giả sử dimE1 = dimE2 = n và α1, . . . , αn (α), β1, . . . , βn (β) lần lượt là cơ
sở trực chuẩn của E1 và E2. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính f : E1 → E2, f(αi) = βi,
i = 1, 2, . . . , n. Vì f biến cơ sở thành cơ sở nên f là đẳng cấu không gian vectơ. Ta chứng minh
〈x, y〉1 = 〈f(x), f(y)〉2.
Thật vậy, ∀x, y ∈ E1, ta có:
x =
n∑
i=1
xiαi
y =
n∑
j=1
yiαj
Khi đó:
〈x, y〉1 =
〈∑
xiαi,
∑
yjαj
〉
1
=
∑
i,j
xiyj〈αi, αj〉1
=
n∑
i=1
xiyi
〈f(x), f(y)〉2 =
〈
f(
∑
xi, αi), f(
∑
yjαj)
〉
2
=
〈∑
xif(αi),
∑
yjf(αj)
〉
2
=
〈∑
xiβi),
∑
yjβj
〉
2
=
∑
xiyj〈βi, βj〉2
=
n∑
i=1
xiyi
Vậy 〈x, y〉1 = 〈f(x), f(y)〉2 và E1 ∼= E2.
4.2 Phép biến đổi trực giao
4.2.1 Ma trận trực giao
Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A−1 = At (At: ma trận chuyển vị của A).
4.2.2 Định nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide. Một phép biến đổi tuyến tính f của E gọi là phép biến
đổi trực giao của E nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là:
∀α, β ∈ E, 〈α, β〉 = 〈f(α), f(β)〉
Dễ thấy, phép biến đổi trực giao là một song ánh vì:
f(α) = 0⇔ 〈f(α), f(α)〉 = 0⇔ 〈α, α〉 = 0⇔ α = 0
Tính chất cơ bản nhất của phép biến đổi trực giao được cho trong định lý sau.
9
4.2.3 Định lý
Cho f là phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ Euclide E. Khi đó các khẳng định
sau tương đương:
1. f là phép biến đổi trực giao.
2. f biến cơ sở trực chuẩn của E thành cơ sở trực chuẩn của E.
3. Ma trận của f trong một cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao.
Chứng minh
1)⇒ 2) Giả sử e1, . . . , en là cơ sở trực chuẩn của E. Khi đó:
〈ei, ej〉 = δij =
{
1 nếu i = j
0 nếu i 6= j
Vì f là phép biến đổi trực giao, nên:
〈f(ei), f(ej)〉 = 〈ei, ej〉 = δij =
{
1 nếu i = j
0 nếu i 6= j
Do đó, f(e1), . . . , f(en) là cơ sở trực chuẩn.
2)⇒ 3) Ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn e1, . . . , en theo định nghĩa chính là ma trận đổi
cơ sở từ e1, . . . , en sang cơ sở trực chuẩn f(e1), . . . , f(en). Vì ma trận đổi cơ sở giữa hai
cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao (xem bài tập 10) nên ma trận của f trong cơ sở
trực chuẩn là ma trận trực giao.
3)⇒ 1) Giả sử e1, . . . , en (e) là cơ sở trực chuẩn của E và A = Af/(e) là ma trận trực giao
(At = A−1).
Với α, β ∈ E, α = a1e1 + · · ·+ anen, β = b1e1 + · · ·+ bnen
Khi đó,
〈α, β〉 = [α]t/(e) [β]/(e)
= [α]t/(e)I[β]/(e)
= [α]t/(e)A
−1A[β]/(e)
= [α]t/(e)A
tA[β]/(e)
= (A[α]/(e))
t (A[β]/(e))
= [f(α)]t/(e) .[f(β)]/(e)
= 〈f(α), f(β)〉
4.3 Phép biến đổi đối xứng
4.3.1 Định nghĩa
Cho E là không gian vectơ Euclide. Phép biến đổi tuyến tính f của E gọi là phép biến đổi
đối xứng nếu ∀α, β ∈ E : 〈f(α), β〉 = 〈α, f(β)〉.
10
4.3.2 Định lý
Một phép biến đổi tuyến tính của E là phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi ma trận của
f trong một cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng.
Chứng minh
Giả sử f : E → E là phép biến đổi tuyến tính, ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn
e1, . . . , en là A = [aij]. Khi đó:
f(ei) =
n∑
k=1
akiek
Với mọi i, j ta có:
〈f(ei), ej〉 =
〈 n∑
k=1
akiek, ej
〉
=
n∑
k=1
aki〈ek, ej〉 = aji
〈ei, f(ej)〉 =
〈
ei,
n∑
k=1
akjek
〉
=
n∑
k=1
akj〈ei, ek〉 = aij
• Nếu f là phép biến đổi đối xứng, thì 〈f(ei), ej〉 = 〈ei, f(ej)〉. Do đó, aji = aij. Vậy ma
trận A là ma trận đối xứng.
• Nếu ma trận A đối xứng, tức là aji = aij thì 〈f(ei), ej〉 = 〈ei, f(ej)〉 ∀i, j.
Nếu α =
n∑
i=1
xiei, β =
n∑
j=1
yjej của E thì:
〈f(α), β〉 = 〈∑ xif(ei),∑ yjej〉 =∑
i,j
xiyj〈f(ei), ej〉 =
∑
i,j
xiyj〈ei, f(ej)〉
=
〈∑
xiei,
∑
yjf(ej)
〉
= 〈α, f(β)〉
Vậy f là phép biến đổi đối xứng.
11