Bài 5: Giải bài tập hạng của ma trận - Mỵ Vinh Quang

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
GIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬN
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Ngày 3 tháng 12 năm 2004
13) Tìm hạng của ma trận:
A =

4 3 −5 2 3
8 6 −7 4 2
4 3 −8 2 7
8 6 −1 4 −6

Giải:
A
d2→(−2)d1+d2−−−−−−−−→
d3→−d1+d3
d4→(−2)d1+d4

4 3 −5 2 3
0 0 3 0 −4
0 0 −3 0 4
0 0 9 0 −12
 d3→−d2+d3−−−−−−−→d4→(−3)d2+d4

4 3 −5 2 3
0 0 3 0 −4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Vậy rank A = 3 .
14) Tìm hạng của ma trận:
A =

3 −1 3 2 5
5 −3 2 3 4
1 −3 5 0 7
7 −5 1 4 1

Giải:
A
đổi dòng−−−−−→

1 −3 5 0 7
3 −1 3 2 5
5 −3 2 3 4
7 −5 1 4 1
 d2→ - 3d1 + d2−−−−−−−−−→d3→−5d1+d3
d4→−2d1+d4

1 −3 5 0 7
0 8 −12 2 −16
0 12 −23 3 −31
0 16 −34 4 −48

d3→−3
2
d2 + d3−−−−−−−−−→
d4→−7d1+d4

1 −3 5 0 7
0 8 −12 2 −16
0 0 −5 0 −7
0 0 −10 0 −16
 d4→−2d3+d4−−−−−−−→

1 −3 5 0 7
0 8 −12 2 −16
0 0 −5 0 −7
0 16 0 0 −2

Vậy rank A = 4 .
1
15) Tìm hạng của ma trận:
A =

2 1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
5 5 6 7 5 5

Giải
A
d1↔d2−−−−→

1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
3 4 3 4 3 4
5 5 6 7 5 5
 d2→−2d1+d2−−−−−−−→d3→−3d1+d3
d4→−5d1+d4

1 2 1 2 1 2
0 −3 0 −3 0 −3
0 −2 0 −2 0 −2
0 −5 1 −3 0 −5

d2↔− 1
3
d2−−−−−→

1 2 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
0 −2 0 −2 0 −2
0 −5 1 −3 0 −5
 d3→2d2+d3−−−−−−→d4→5d2+d4

1 2 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0

d3↔d4−−−−→

1 2 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
0 0 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0

Vậy rank A = 3 .
16) Tìm hạng của ma trận:
A =

2 1 1 1
1 3 1 1
1 1 4 1
1 1 1 5
1 2 3 4
1 1 1 1

Giải:
A
đổi dòng−−−−−→

1 1 1 1
2 1 1 1
1 3 1 1
1 1 4 1
1 1 1 5
1 2 3 4

d2→−2d1+d2
d3→−d1+d4−−−−−−−→
d4→−d1+d4
d5→−d1+d5
d6→−d1+d6

1 1 1 1
0 −1 −1 −1
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
0 1 2 3

d3→2d2+d3−−−−−−→
d6→d2+d6

1 1 1 1
0 −1 −1 −1
0 0 −2 −2
0 0 3 0
0 0 0 4
0 0 1 2

d3↔d6−−−−→

1 1 1 1
0 −1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 3 0
0 0 0 4
0 0 −2 −2

2
d4→−3d3+d4−−−−−−−→
d6→2d3+d6

1 1 1 1
0 −1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 0 −6
0 0 0 4
0 0 0 2

d5→ 2
3
d4+d5−−−−−−−→
d6→ 1
3
d4+d6

1 1 1 1
0 −1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 0 −6
0 0 0 0
0 0 0 0

Vậy rank A = 4 .
17) Tìm hạng của ma trận :
A =

3 1 1 4
a 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3

Giải:
A
đổi cột−−−−→

1 1 4 3
4 10 1 a
7 17 3 1
2 4 3 2
 d2→−4d1+d2−−−−−−−→d3→−7d1+d3
d4→−2d1+d4

1 1 4 3
0 6 0 a− 12
0 10 −25 −20
0 2 −5 −4

đổi dòng−−−−−→

1 1 4 3
0 2 −5 −4
0 6 0 a− 12
0 10 −15 −20
 d3→−3d2+d3−−−−−−−→d4→−5d2+d4

1 1 4 3
0 2 −5 −4
0 0 15 a
0 0 0 0

Vậy rank A = 3. Với mọi a.
18) Tìm hạng của ma trận:
A =

−1 2 1 −1 1
a −1 1 −1 −1
1 a 0 1 1
1 2 2 −1 1

Giải:
A
đổi cột−−−−→

1 −1 1 −1 2
−1 −1 1 a −1
1 1 0 1 a
1 −1 2 1 2
 d2→d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→d4→−d1+d4

1 −1 1 −1 2
0 −2 2 a− 1 1
0 2 −1 2 a− 2
0 0 1 2 0

d3→d2+d3−−−−−−→

1 −1 1 −1 2
0 −2 2 a− 1 1
0 0 1 a+ 1 a− 1
0 0 1 2 0
 d4→−d3+d4−−−−−−−→

1 −1 1 −1 2
0 −2 2 a− 1 1
0 0 1 a+ 1 a− 1
0 0 0 a− 1 1− a

Vậy : nếu a 6= 1 thì rank A = 4 .
3
. nếu a = 1 thì rank A = 3 .
19) Tìm hạng của ma trận:
A =

1 + a a . . . a
a 1 + a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . 1 + a

Giải:
A
c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→

1 + na a . . . a
1 + na 1 + a . . . a
. . . . . . . . . . . .
1 + na a . . . 1 + a
 d2→−d1+d2−−−−−−−→.....................
dn→−d1+dn

1 + na a . . . a
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1

Nếu a 6= − 1
n
. Khi đó 1 + na 6= 0 và rank A = n .
Nếu a = − 1
n
. Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n− 1 vì có định thức con cấp n− 1 gồm n− 1
dòng cuối, cột cuối .
Dn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 . . . 0
1 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0
Còn định thức cấp n bằng 0 .
20) Tìm hạng của ma trận (n ≥ 2 )
A =

0 1 1 . . . 1
1 0 x . . . x
1 x 0 . . . x
. . . . . . . . . . . . . . .
1 x x . . . 0

Giải:
Nếu x 6= 0 :
A
c1→xc1−−−−→
d1→xd1

0 x x . . . x
x 0 x . . . x
x x 0 . . . x
. . . . . . . . . . . . . . .
x x x . . . 0
 c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→

(n− 1)x x x . . . x
(n− 1)x 0 x . . . x
(n− 1)x x 0 . . . x
. . . . . . . . . . . . . . .
(n− 1)x x x . . . 0

d2→−d1+d2−−−−−−−→
d3→−d1+d3
.....................
dn→−d1+dn

(n− 1)x x x . . . x
0 −x 0 . . . 0
0 0 −x . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . −x

Vậy rank A = n
4
Nếu x = 0
A =

0 1 1 . . . 1
1 0 0 . . . 0
1 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . 0
 d3→−d2+d3−−−−−−−→...................dn→−d2+dn

0 1 1 . . . 1
1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0

rankA = 2.
Vậy
rankA = n nếu x 6= 0
rankA = 2 nếu x = 0
21) Tìm hạng của ma trận vuông cấp n:
A =

a b b . . . b
b a b . . . b
b b a . . . b
. . . . . . . . . . . . . . .
b b b . . . a

Giải:
A
c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→

a+ (n− 1)b b b . . . b
a+ (n− 1)b a b . . . b
. . . . . . . . . . . . . . .
a+ (n− 1)b b b . . . a
 d2→−d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→.....................
dn→−d1+dn

a+ (n− 1)b b b . . . b
0 a− b 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0

1. Nếu a 6= (1− n)b, a 6= b thì rankA = n
2. a = b 6= 0 thì rankA = 1
a = b = 0 thì rankA = 0
3. a = (n− 1)b = 0 thì rankA = n− 1
Vì có định thức con cấp n− 1 (bỏ dòng đầu, cột đầu)∣∣∣∣∣∣∣∣
a− b 0 . . . 0
0 a− b . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a− b)
n−1 6= 0
Còn định thức cấp n bằng 0.
5