Bài giảng Bài 4: Vô Cùng Bé – Vô Cùng Lớn, Liên Tục

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1 HK1 0708BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN)TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007) VÔ CÙNG BÉ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x  x0: VCB cơ bản (x  0): Lượng giácMũ, ln:Lũy thừa:x0: Không quan trọng. VCB x  :VCB x  1: sin(x–1) VD: (x), (x) – VCB khi x  x0  (x)  (x) , (x)(x): VCB  C(x)(x): VCB(x) VCB, C(x) bị chặnBT: SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(x), (x) – VCB, x  x0 và  So sánh đượcVD: So sánh VCB: 1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x))2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) = o((x))3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấpCách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơnVCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé xm , xn (m, n > 0) khi x  0 VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(x), (x) – VCB tương đương khi x  x0  VD: Tìm hằng số C và  để:VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VCB lượng giác:VCB mũ, ln:VCB lũy thừa (căn):VD:DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ~ & 1 ~ 1 khi x  x0    1 ~   1 VD: Tìm x có thể  x0 bất kỳ. VD: Tìm Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạnTìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp  lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) VD: Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 : Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính limSo sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x  x0 và  giới hạn f/gVD:c  0, : f(x), g(x) – VCL cùng cấpc = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ gc = : f – VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> gKẾT LUẬN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 ): Dạng tích (thương)  Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơnvới f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x)  Dạng tổng VCB khác cấp  Thay bằng VCB cấp thấp 1 Dạng tổng VCB tổng quát fi(x)  Thay mỗi fi(x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa:Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / ): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhấtHÀM LIÊN TỤC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục  xác địnhVD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0: f(x) xác định tại x0 Hàm f(x) liên tục tại x0:Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liềnGián đoạn!VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:: Không sơ cấp!LIÊN TỤC MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm f(x) liên tục tại x0  Liên tục trái & liên tục phải tại x0f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 vàf(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 vàTương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt   Khảo sátVD: Khảo sát tính liên tục:Chú ý:PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm f xác định & gián đoạn tại x0  Không có Hoặc  lim f  f(x0), hoặc lim–  lim+, hoặc  lim f: 3 trường hợp! Loại 1: Điểm khử được: Điểm nhảy:Bước nhảy:Loại 2:(Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía)f(x) gián đoạn tại x0VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loạiVÍ DỤ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loạiVÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo aTÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f bị chặn trên [a, b]:  m, M& m  f(x)  M  x  [a, b]f đạt GTLN, BN trên [a, b]: x0, x1  [a, b]: f(x0) = m, f nhận mọi giá trị trung gian:  k & GTBN  k  GTLN   c  [a, b]: f(c) = k(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0   c  (a, b) : f(c) = 0Chú ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng!Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b]VÍ DỤ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm1/ Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên Rf liên tục tại 0 & 1a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f2(x) = 1  x  Rb/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f2(x) = 1  x  R f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b):a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2)