Bài giảng Các bài toán liên quan đến hàm số điểm thuộc đường - Đường đi qua điểm

ị :
 x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-2
-
0
-
-2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P)
 l à : - x2 = 2x + m x2 + 4x + 2m = 0 (1) 
Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 4 – 2m > 0 m < 2 
Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình :
 (D) : y = k(x -1)
 (P) : y = x2- 3 x + 2
a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung 
b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm.
Giải:
a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:
 x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0 (1)
Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1
 = (k + 1)2 0 với mọi k 
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung
b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2 = 0 
 k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = = = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0
Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 )
Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1)
Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ.
Giải:
Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2 
Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2 có nghiệm kép
 x2 – (m -1)x + (m-1) = 0 có nghiệm kép
 = 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0
*)Với m = 1 => x = = = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là:
 y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox
*) Với m = 5 => x = = = 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là: 
 y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4)
b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 . 
 Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành
 Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4
 Có đồ thị như sau :
Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m
Vẽ P.
Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)
(Hướng dẫn : xem bài 11)
Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số :
 y = - và y = x + 1
a) Vẽ (P) và (D) 
b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2 + 4x + 4 = 0
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4
Giải:
a) Vẽ (P) và (D):
Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1) - x2 = 4x + 4 - = x + 1
Đặt y = - => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b
Vì (d) // (D) => a = 1
Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có :
 - 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8.
Bài 14: Cho hàm số : y = x2 và y = x + m 
Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B
Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2  = x + m x2 – x – m = 0 (1)
 (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > - 
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b
Vì (d ) (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b
Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x - b = 0 (2)
Phương trình (2) có : = 1 + 4b 
(d) tiếp xúc (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = - 
 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - 
Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ)
 Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng .Khoảng cách giữa hai điểm 
 yA , yB trên trục Oy bằng 
Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2 + BC2 
 = ( xB – xA)2 + (yB – yA )2
 => AB = 
 Theo câu a) ta có : Với m > - phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:
 x1 = ; x2 = 
Với x1 = => y1 = 
 x2 = => y2 = 
Gọi A( ; ) và B( ; )
Áp dụng công thức trên ta có : 
 AB = 
 = = = 
 AB = 3 = 3 2+ 8m = 18 m = 2 
 Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = x2 , 
 (D) là đồ thị hàm số :y = x + 2 
a) Vẽ (D) và (P)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán
Giải:
a)Vẽ (D) và (P)
b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4)
Kiểm tra bằng phép tính :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2 = x + 2 x2 – 2x – 8 = 0 (1)
Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt : 
 x1 = 1 – 3 = - 2 ; x2 = 1 + 3 = 4
Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4
Với x1 = - 2 => y1 = (-2)2 = 1 => M(-2 ; 1)
Với x2 = 4 => y2 = . 42 = 4 => N( 4 ; 4)
Bài 16: Cho parabol (P) : y = - và điểm M (1 ; -2)
Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m
Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi
Giải :
Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b 
Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2
Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2
b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :
 - = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1)
Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7 
 = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m
Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.
Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1
Vẽ (P)
Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) 
Giải :
Tự vẽ
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - x2 = mx – 2m – 1 
 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1) 
 (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 
 4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1
Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)
Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua
Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m – 1 có nghiệm với mọi m
 (x0 – 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m
Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - . 22 = - 1
Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P)
Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = x – 1
Vẽ (P) và (D)
Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này.
Bài 20 : Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm 
 I( ; -1) có hệ số góc m
Vẽ (P) và viết phương trình của (D) 
Tìm M sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Tìm m sao cho (D) và (P) có 2 điểm chung phân biệt
Bài 21 : Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng y = x + 3
Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng
Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 22 : Cho hàm số : y = x2  (P) 
Vẽ đồ thị hàm số trên
Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m- 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2 .Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A 
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Gọi y1 ; y2 là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) . Tìm m để y1 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2  = (m- 4)x + m + 1
 x2 – 2 (m – 4)x – 2m – 2 = 0 (*)
Vì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 nên là nghiệm của phương trình (*) => 4- 2(m -4).2 – 2m – 2 = 0 4 – 4m +16 – 2m – 2 = 0 - 6m + 18 = 0
 m = 3
Vậy với m= 3 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2
Hoành độ giao điểm thứ 2 khác A là nghiệm thứ 2 của phương trình (*)
Theo Vi-et : x1.x2 = = -2m – 2 = -2.3 – 2 = -8. Mà x1= 2 => 2.x2 = - 8 => x2= - 4
Tung độ của điểm thứ hai là : y = .(-4)2 = 8
Vậy toạ độ giao điểm thứ hai khác A là (- 4 ; 8)
Phương trình (*) có : = (m – 4)2 + 2m + 2 = m2 – 6m + 18
 = (m – 3)2 +9 > 0 với mọi m
Suy ra điều phải chứng minh
Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) tương ứng với tung độ y1 ; y2 
y1 = (m -4)x1 + m + 1
y2 = ( m- 4)x2 + m + 1
 => y1 + y2 = ( m -4) (x1 + x2) + 2 m + 2 = (m – 4). 2(m – 4) + 2m + 2 = 2m2 – 14m + 34
 = 2(m2 – 7m + 17) = 2( m2  - 2.m + + ) = 2(m -)2 + 
 Suy ra : Min (y1 + y2 ) = khi m = 
Bài 23 :Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x2
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB 
Giải :
Xét phương trình : 2x2 = 4x + m 2x2 – 4x – m = 0 (1)
(d) cắt (P) tại 2 điểm A và B phương trình (1) có 2 nghiệm 
 = 4 + 2m 0
 m -2
Hai giao điểm là : A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) (ở đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) )
Theo Vi-et ta có : 
Theo giả thiết (d) trục Oy tại M sao cho MA = 3MB = 3. 
Với x2 = 3x1 => x1 + 3x1 = 2 => x1 = => x2 = 
=> x1x2 = . = => m = - (Không thoả mãn điều kiện m -2 )
Với x2 = - 3x1 => x1 – 3x1 = 2 => x1 = - 1 => x2 = 3
=> = x1.x2 = (-1) . 3 = -3 => m = 6 (Thoả mãn điều kiện m -2 )
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm
ChØ cã sù nç lùc cña chÝnh b¹n míi ®em l¹i thµnh c«ng