Bài giảng Đại số Lớp 8 - Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung - Nguyễn Thị Điểu

Trường THCS Phan Bội Châu 
Tổ Toán Lý 
Các em học sinh lớp 8A tham gia minh họa 
CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ ĐẾN DỰ CHUYÊN ĐỀ TỔ TOÁN LÝ 
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử   
 1 . Phân tích đa thức thành nhân tử(hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành 1 tích của những đa thức 
 2. Quy tắc đổi dấu : A = - ( - A ) 
 3. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 
 ( A + B ) 2 = A 2 +2AB + B 2 
 ( A - B ) 2 = A 2 -2AB + B 2 
 ( A - B ) ( A+B ) = A 2 – B 2 
 ( A + B ) 3 = A 3 +3A 2 B + 3AB 2 + B 3 
 ( A - B ) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 
 ( A + B )( A 2 – AB + B 2 ) = A 3 + B 3 
 ( A - B )( A 2 + AB + B 2 ) = A 3 - B 3 
Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? 
Quy tắc đổi dấu ? 
Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 
GV trình bày : Nguyễn T hị Điểu 
KIỂM TRA BÀI CŨ 
I - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 1 - Phương pháp đặt nhân tử chung 
Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên 
 + Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử 
 + Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó 
 Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) 12x 2 y – 18xy 2 – 30y 2 
 = 6y ( 2x 2 – 3xy – 5y ) 
 b) y (x – z ) + 7 ( z – x ) 
 = y (x – z ) - 7 ( x – z ) 
 = ( x – z ) ( y – 7 ) 
2 - Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
 Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) 36 – 12x + x 2 
 = 6 2 - 2 . 6x + x 2 
 = ( 6 – x ) 2 
b) ( x – 5 ) 2 – 16 
= ( x – 5 ) 2 - 4 2 
= ( x – 5 – 4 ) ( x – 5 + 4 ) 
 = ( x – 9 ) ( x – 1 ) 
 3 - Phương pháp nhóm hạng tử 
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) 3xy + x + 15y +5 
 Cách 1 : Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai , hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư , ta có 
 3xy + x + 15y + 5 = ( 3xy + x ) + ( 15y + 5 ) 
 = x ( 3y + 1 ) + 5( 3y + 1 ) 
 = ( 3y + 1 ) ( x + 5 ) 
 Cách 2  : Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba , hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư , ta có 
 3xy + x + 15y +5 = ( 3xy + 15y ) + ( x + 5 ) 
 = 3y ( x + 5 ) + ( x + 5 ) 
 = ( x + 5 ) ( 3y + 1 ) 
 Nhận xét  : Trong ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm các các hạng tử thích hợp 
3 - Phương pháp nhóm hạng tử 
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) 3xy + x + 15y +5 
 b) 9 – x 2 + 2xy – y 2 
9 – x 2 + 2xy – y 2 = 9 – ( x 2 - 2xy + y 2 ) = 3 2 – ( x – y ) 2 
 = ( 3 – x + y ) ( 3 + x – y ) 
Nhận xét  : Trong cách giải trên ta đã nhóm ba hạng tử cuối của đa thức và đưa vào trong dấu ngoặc đằng trước có dấu ʺ - ʺ để phân tích đa thức bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 
Chú ý  : Phương pháp nhóm hạng tử không đi đến kết quả ta phải sử dụng tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếp 
 4 - Phối hợp nhiều phương pháp 
Ví dụ 4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 x 5 – x 4 + x 3 – x 2 
 x 5 – x 4 + x 3 – x 2 = x 2 ( x 3 – x 2 + x – 1 ) 
 = x 2 [( x 3 – x 2 ) + ( x – 1 )] 
 = x 2 [ x 2 ( x – 1 ) + ( x – 1 )] 
 = x 2 (x – 1 ) ( x 2 + 1 ) 
Chú ý  : Khi phối hợp các phương pháp, ta thường làm theo trình tự : 
_ Đặt nhân tử chung ( nếu có ) 
_ Dùng hằng đẳng thức ( nếu có ) 
_ Nhóm hạng tử 
 5 - Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
Ví dụ 5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 3x 2 - 8x + 4 
 Giải : Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn. 
Cách 1  : ( Tách hạng tử thứ hai ) 
 3x 2 - 8 x + 4 = 3x 2 - 6 x – 2 x + 4 
 = 3x (x – 2 ) – 2 ( x – 2 ) 
 = ( x – 2 ) ( 3x – 2 ) 
Cách 2  : ( Tách hạng tử thứ nhất ) 
 3 x 2 - 8x + 4 = 4 x 2 – 8x + 4 – x 2 
 = ( 2x - 2 ) 2 – x 2 = ( 2x - 2 + x ) ( 2x - 2 - x ) 
 = ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) 
Nhận xét  : Trong cách 1, hạng tử - 8x được tách thành hai hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x 2 – 6x – 2x + 4 , hệ số của các hạng tử là 3, - 6 , - 2, 4 . Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp – 2 lần hệ số liền trước , nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2 . 
 Một cách tổng quát , để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử , ta tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho 
 ax 2 + bx + c = ax 2 + b 1 x + b 2 x + c 
 Trong đó b 1 + b 2 = b 
 b 1 . b 2 = ac 
 Trong thực hành ta làm như sau : 
 Bước 1 : Tìm tích ac 
 Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách 
 Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b 
 Trong ví dụ trên , đa thức 3x 2 – 8x +4 có a = 3 , b = - 8 , c = 4 . Tích ac = 3 . 4 = 12. Phân tích 12 ra tích của hai thừa số , hai thừa số này cùng dấu ( vì tích của chúng bằng 12 ), và cùng âm ( để tổng của chúng bằng – 8 ) : ( -1 )( 12 ), ( - 2 )( - 6 ), ( - 3 )( - 4 ). Chọn hai thừa số mà tổng bằng – 8 , đó là – 2 và – 6 
Trong thực hành ta làm như sau : 
 Bước 1 : Tìm tích ac 
 Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách 
 Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b 
HOẠT ĐỘNG NHÓM 
Ví dụ 6 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 4x 2 - 4x – 3 
Giải  : Cách 1  : ( Tách hạng tử thứ hai ) 
 4x 2 - 4 x – 3 = 4x 2 + 2 x - 6 x – 3 
= 2x ( 2x + 1 ) – 3 ( 2x + 1 ) = ( 2x + 1 ) ( 2x – 3 ) 
 Chú ý rằng hệ số - 4 được tách thành 2 và – 6 có tích bằng – 12, bằng tích của 4 ( - 3 ) 
 Cách 2 : ( Tách hạng tử thứ ba ) 
 4x 2 - 4x – 3 = 4x 2 - 4x + 1 – 4 
 = ( 2x – 1 ) 2 – 2 2 = ( 2x + 1 ) ( 2x - 3 ) 
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên , ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích : 
Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ , nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung ( cách 1 ) 
Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2 ) 
Ví dụ 7 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 f(x ) = x 3 – x 2 – 4 
Giải : lần lượt kiểm tra với x = ±1, ±2, ±4, ta thấy f(2) = 2 3 – 2 2 – 4 = 0 . Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x – 2 
 Ta tách các hạng tử như sau 
Cách 1 .x 3 – x 2 – 4 = x 3 – 2x 2 + x 2 – 2x + 2x – 4 
 = x 2 ( x – 2 ) + x ( x – 2 ) + 2 ( x – 2 ) 
 = ( x – 2 ) (x 2 + x + 2 ) 
 Cách 2 . x 3 – x 2 – 4 = x 3 – 8 - x 2 + 4 
 = ( x – 2 ) ( x 2 + 2x + 4 ) – ( x + 2 ) ( x – 2 ) 
 = ( x – 2 ) ( x 2 + 2x + 4 – x – 2 ) 
 = ( x – 2 ) ( x 2 + x + 2 ) 
 6 - Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 
a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương 
 Ví dụ 8 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 4x 4 + 81 
 Giải : Thêm và bớt 36x 2 
 4x 4 + 81 = 4x 4 + 36x 2 + 81 – 36x 2 
 = ( 2x 2 + 9 ) 2 – ( 6x ) 2 
 = ( 2x 2 + 9 + 6x ) ( 2x 2 + 9 – 6x ) 
Ví dụ 9 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 64x 4 + y 4 
 Giải : Thêm và bớt 16x 2 y 2 
 64x 4 + y 4 = 64x 4 + 16x 2 y 2 + y 4 – 16x 2 y 2 
 = ( 8x 2 + y 2 ) 2 – ( 4xy ) 2 
 = (8x 2 + y 2 + 4xy ) (8x 2 + y 2 – 4xy ) 
 b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung 
 Ví dụ 10 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 x 5 + x – 1 
 Giải : Thêm và bớt x 2 
 x 5 + x – 1 = x 5 + x 2 – x 2 + x – 1 
 = (x 5 + x 2 ) – ( x 2 – x +1 ) 
 = x 2 ( x 3 + 1)– ( x 2 – x +1 ) 
 = x 2 (x + 1) (x 2 – x +1) – ( x 2 – x +1 ) 
 = ( x 2 – x +1 ) [ x 2 ( x + 1 ) – 1 ] 
 = ( x 2 – x +1 ) ( x 3 + x 2 – 1 ) 
Trên đây là những phương pháp thường gặp. Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như: 
 Phương pháp đổi biến 
 Phương pháp hệ số bất định 
 Bài tập về nhà 
 Bài 35, 36 trang 7 SBT 
 Bài 57 trang 9 SBT 
Chân thành cảm ơn quý thầy cô đến dự chuyên đề 
 7 - Phương pháp đổi biến 
Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 x ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) + 128 
 Giải : 
 x ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) + 128 
 = ( x 2 + 10x ) (x 2 + 10x +24 ) + 128 
 Đặt x 2 +10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : 
 ( y – 12 ) ( y + 12 ) + 128 
 = y 2 – 16 = ( y + 4 ) ( y – 4 ) 
 = ( x 2 + 10x + 16 ) ( x 2 + 10x + 8 ) 
 = ( x + 2 ) ( x + 8 ) ( x 2 + 10x + 8 ) 
 Nhận xét  : Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với x thành đa thức bậc hai đối với y 
 8. Phương pháp hệ số bất định 
Ví dụ 12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 3 
 Giải : Các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng ( x 2 + ax + b ) ( x 2 + cx + d ). Phép nhân này cho kết quả x 4 + ( a + c )x 3 + ( ac + b + d )x 2 + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện : 
 a + c = - 6 
 ac +b + d = 12 
 ad + bc = - 14 
 bd = 3 
 xét bd = 3 với b , d Z, b {1, 3 }. Với b = 3 thì d = 1 , hệ điều kiện trên trở thành 
 a + c = - 6 
 ac = 8 
 a + 3c = - 14 
 Suy ra 2c = - 14 – ( - 6 ) = - 8. Do đó c = - 4, a = - 2 
Vậy đa thức đã cho phân tích thành ( x 2 – 2x + 3 ) ( x 2 – 4x + 1 ) 
Chú ý : Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau ; 
x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 3 
= x 4 - 4x 3 + x 2 – 2x 3 + 8x 2 – 2x + 3x 2 – 12x + 3 
= x 2 ( x 2 – 4x + 1 ) – 2x ( x 2 – 4x + 1 ) + 3 ( x 2 – 4x + 1 ) 
= ( x 2 – 4x + 1 ) ( x 2 – 2x + 3 )