Bài giảng Giải thuật - Chương 9: Cây khung nhỏ nhất
ª Cây khung nhỏ nhất
ª Cho
– một đồ thị liên thông, vô hướng G = (V, E )
– một hàm trọng số
w : E R
ª Tìm một tập con không chứa chu trình T E nối tất cả các đỉnh sao cho tổng các trọng số
w(T) = (u, v) T w(u, v)
• là nhỏ nhất.
– Tập T là một cây, và được gọi là một cây khung nhỏ nhất.
ª Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất: bài toán tìm T.
14 2 4 7 6 11 8 S V S 13.11.2004 7 Ch. 9: Cay khung nho nhat Cạnh nhẹ (light edge) Các khái niệm quan trọng (tiếp) Một phép cắt bảo toàn tập các cạnh A ( respects A ) nếu không có cạnh nào của A xuyên qua phép cắt. Một cạnh là một cạnh nhẹ vượt qua phép cắt nếu trọng số của nó là nhỏ nhất trong mọi trọng số của các cạnh xuyên qua phép cắt. Ví dụ: cạnh ( c , d ). b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 S V S 13.11.2004 8 Ch. 9: Cay khung nho nhat Nhận ra một cạnh an toàn Định lý 24.1 Cho G = ( V , E ) là một đồ thị liên thông, vô hướng w là một hàm trọng số trên E A là một tập con của một cây khung nhỏ nhất cho G ( S , V S ) là một phép cắt bất kỳ của G bảo toàn A ( u , v ) là một cạnh nhẹ vượt qua ( S , V S ) cạnh ( u , v ) là an toàn cho A . Chứng minh 13.11.2004 9 Ch. 9: Cay khung nho nhat Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) S : tập các đỉnh đen, V S : tập các đỉnh trắng Các cạnh của một cây khung nhỏ nhất T được vẽ ra trong hình, còn các cạnh của G thì không A : tập các cạnh xám Cạnh ( u , v ) là cạnh nhẹ xuyên qua phép cắt ( S , V S ). p là đường đi duy nhất từ u đến v trong T . x u y v p 13.11.2004 10 Ch. 9: Cay khung nho nhat Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) Định nghĩa cây khung T’ = T - ( x , y ) ( u , v ) T’ là cây khung nhỏ nhất vì w ( T’ ) = w ( T ) - w ( x , y ) + w ( u , v ) w ( T ), vì w ( u , v ) w ( x , y ) ( u , v ) là an toàn cho A vì A ( u , v ) T’ . x u y v p 13.11.2004 11 Ch. 9: Cay khung nho nhat Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) Hệ luận 24.2 Cho G = ( V , E ) là một đồ thị liên thông, vô hướng với một hàm trọng số w trên E A là một tập con của E sao cho A nằm trong một cây khung nhỏ nhất cho G C = ( V C , E C ) là một thành phần liên thông (cây) trong rừng G A = ( V , A ). Thì, nếu ( u , v ) là một cạnh nhẹ nối C với một thành phần khác trong G A ( u , v ) là an toàn cho A . Chứng minh Phép cắt ( V C , V - V C ) bảo toàn A , do đó ( u , v ) là một cạnh nhẹ đối với phép cắt này. 13.11.2004 12 Ch. 9: Cay khung nho nhat Giải thuật của Kruskal Giải thuật của Kruskal dựa trên giải thuật G ENERIC -MST, mà A ban đầu là một rừng mà mỗi cây chỉ chứa một đỉnh của G . mỗi tập rời nhau chứa các đỉnh của một cây trong rừng hiện thời. MST-K RUSKAL ( G , w ) 1 A 2 for mỗi đỉnh v V [ G ] 3 do M AKE -S ET ( v ) 4 xếp các cạnh E theo thứ tự trọng số w không giảm 5 for mỗi cạnh ( u , v ) E, theo thứ tự trọng số không giảm 6 do if F IND -S ET ( u ) F IND -S ET ( v ) 7 then A A {( u , v )} 8 U NION ( u , v ) 9 return A 13.11.2004 13 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Kruskal b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (a) (b) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 Các cạnh được xếp theo thứ tự trọng số không giảm: 13.11.2004 14 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (d) (c) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 13.11.2004 15 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (e) (f) (h) (g) 13.11.2004 16 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (i) (j) (l) (k) 13.11.2004 17 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Kruskal (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (n) (m) 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14 13.11.2004 18 Ch. 9: Cay khung nho nhat Phân tích giải thuật của Kruskal Dùng cấu trúc dữ liệu các tập rời nhau (disjoint sets), chương 22, với các heuristics Hợp theo thứ hạng (union-by-rank) Nén đường dẫn (path-compression). Nhận xét (cần đến khi đánh giá thời gian chạy) Giải thuật gọi V lần M AKE -S ET và gọi tổng cộng O ( E ) lần các thao tác M AKE -S ET , U NION , F IND -S ET . Vì G liên thông nên | E | | V | - 1. 13.11.2004 19 Ch. 9: Cay khung nho nhat Phân tích giải thuật của Kruskal (tiếp) Thời gian chạy của MST-K RUSKAL gồm Khởi động: O ( V ) Sắp xếp ở dòng 4: O ( E lg E ) Dòng 5-8: O ( E ( E , V )) (xem nhận xét), = O ( E lg E ) vì ( E , V ) = O ( lg E ). Vậy thời gian chạy của MST-K RUSKAL là O ( E lg E ). 13.11.2004 20 Ch. 9: Cay khung nho nhat Giải thuật của Prim Giải thuật của Prim dựa trên giải thuật G ENERIC -MST, ở đây A là một cây duy nhất trong khi thực thi giải thuật A = {( v , p [ v ]) : v V - { r } - Q } khi giải thuật xong, Q = , nên A = {( v , p [ v ]) : v V - { r } } 13.11.2004 21 Ch. 9: Cay khung nho nhat Giải thuật của Prim (tiếp) Tập V - Q chứa các đỉnh của cây đang được nuôi lớn. MST-P RIM ( G , w , r ) 1 Q V [ G ] 2 for mỗi đỉnh u Q 3 do key [ u ] 4 key [ r ] 0 5 p [ r ] NIL 6 while Q 7 do u E XTRACT -M IN ( Q ) 8 for mỗi đỉnh v Adj [ u ] 9 do if v Q và w ( u , v ) < key [ v ] 10 then p [ v ] u 11 key [ v ] w ( u , v ) r : gốc của cây khung nhỏ nhất sẽ trả về Q : priority queue mà khóa là trường key [ v ] : đỉnh cha mẹ của v . 13.11.2004 22 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Prim b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 0 Sau khi khởi động: (các số bên mỗi đỉnh là trị của key của đỉnh) 13.11.2004 23 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (a) (b) 4 8 8 8 Sau lần lặp 1: Sau lần lặp 2: Các đỉnh còn trong Q màu trắng, các đỉnh đã được đưa ra khỏi Q màu đen 13.11.2004 24 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (c) (d) 2 7 4 8 7 6 7 4 Sau lần lặp 3: Sau lần lặp 4: 13.11.2004 25 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (e) (f) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (g) (h) Sau lần lặp 5: Sau lần lặp 6: Sau lần lặp 7: Sau lần lặp 8: 13.11.2004 26 Ch. 9: Cay khung nho nhat Thực thi giải thuật của Prim (tiếp) b f c d h g i a e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 (i) Sau lần lặp 9: 13.11.2004 27 Ch. 9: Cay khung nho nhat Phân tích giải thuật của Prim Thời gian chạy của MST-P RIM tùy thuộc vào cách hiện thực priority queue Q Trường hợp hiện thực Q là binary heap Khởi tạo trong dòng 1-4 dùng B UILD- H EAP tốn O ( V ) thời gian Vòng while được lặp V lần, mỗi E XTRACT -M IN tốn O (lg V ) thời gian. Như vậy các lần gọi E XTRACT -M IN tốn tất cả O ( V lg V ) thời gian. Vòng for được lặp O ( E ) lần, trong vòng lặp này dòng 11 (dùng H EAPIFY ) tốn O (lg V ) thời gian. Vậy thời gian chạy tổng cộng của MST-P RIM là O ( V lg V + E lg V ) = O ( E lg V ). 13.11.2004 28 Ch. 9: Cay khung nho nhat Phân tích giải thuật của Prim (tiếp) Trường hợp hiện thực Q là Fibonacci heap Khởi tạo trong dòng 1- 4 dùng M AKE -F IB -H EAP và F IB -H EAP -I NSERT tốn O ( V ) amortized time Mỗi F IB -H EAP -E XTRACT -M IN tốn O (lg V ) amortized time Mỗi thao tác F IB -H EAP -D ECREASE -K EY cần để hiện thực dòng 11 tốn O (1) amortized time Vậy thời gian chạy tổng cộng của MST-P RIM là O ( E + V lg V ). 13.11.2004 29 Ch. 9: Cay khung nho nhat
File đính kèm:
- bai_giang_giai_thuat_chuong_9_cay_khung_nho_nhat.ppt