Bài giảng giải tích - Nguyễn Văn Đắc
+ Phổbiến đềcương và thông báo các quy định của Bộmôn vềmôn học.
+ Hàm số: các hàm cơbản và cách thiết lập hàm mới từcác hàm đã biết.
+ Một sốhàm trong kinh tế.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng giải tích - Nguyễn Văn Đắc, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút TẢI VỀ ở trên
&0 nếu , t $0; 1& O $0; &S và $0; 1& O $0; &.
(c) , ! B nếu , th ỏa mãn ' # 40 nếu , thỏ a mãn ' @ 4S
và là hình tròn ' # 4.
4. Dùng tích phân hai lớp để tính thể tích của khối
(a) Nằm dưới mặt phẳng ' 2 ! § 0 và phía trên miền giới hạn bởi ; trong
mặt Oxy.
(b) Nằm dưới mặt có phương trình § 2 ' và phía trên miền giới hạn bởi ; r
trong mặt Oxy.
Nằm dưới mặt có phương trình § và phía trên miền tam giác có ba đỉnh (1, 1) (4, 1) và (1, 2)
trong mặt Oxy.
B. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1. Kiểm tra xem mỗi hàm số có là nghiệm của phương trình vi phân đã cho hay không
(a) 2 2
1
' 2 0;
1
y xy y
x
+ = =
+
(b) 2 21 2'' 4 ' 4 0; ,x xy y y y e y xe− −+ + = = =
(c) 1 2'' 2 ' 2 0; cos , sinx xy y y y e x y e x− + = = =
2. Hãy tìm hàm y = f(x) thoả mãn phương trình vi phân đã cho và điều kiện ban đầu kèm theo:
(a) ;12 += x
dx
dy
y(0) = 3. (b)
2
1
+
=
xdx
dy
; y(2) = −1.
184
(c)
1
10
2 +
=
xdx
dy
; y(0) = 0. (d) 21
1
xdx
dy
−
= ; y(0) = 0.
3. Phương trình phân li biến số
(a) 22 0dy xy
dx
+ = (b) 22 1xdy y
dx
= −
(c) (x2 + 1)(tany)y’ = x (d) y’ = 1 + x + y + xy (HD: VP thành tích)
(e) x2y’ = 1 – x2 + y2 – x2 y 2 . (f) ! 3 ´ ! 4 ´ 0
(g) 22 cos ,dyx y
dx
= (4)
4
y pi= (l)
2 16
dy x
dx x
=
−
(h) 2)3( ++= yx
dx
dy
(i) ′ 8 ' 2 ' 1
4. Phương trình thuần nhất
(a) 2xyy' = x2 + 2y2 (b) x2y' = xy + x2ey/x
(c) x2y' = xy + y2 (d) xyy' = x2 + 3y2
(e) xy' = y + 22 yx + (f) ′ =.rE.rýE,ý,=
(g) 1
2 1
x yy
x y
+ −
′ =
− +
(h) 1 3 3
1
x yy
x y
− −
′ =
+ +
5. Phương trình vi phân tuyến tính
(a) ,2' =+ yy y(0)=0. (b) ,32' 2xeyy =−
(c) 22' xexyy =− (d) ,75'
2xyxy =+ y(2) = 3.
(e) ,cos)1(' xyy −= y(pi )=2. (f) xxyy coscot' =+ .
(g) ,3')4( 2 xxyyx =++ y(0)=1. (h) .)41( 32 y
dx
dy
xy =− (HD: Coi x là hàm của y)
(i) .1)( =+
dx
dyyex y (HD: Coi x là hàm của y)
6. Phương trình Bernoulli
(a) x2y' + 2xy = 5y3 (b) y2y' + 2xy3 = 6x
(c) y' = y + y3 (d) x2y' + 2xy = 5y4
(e) xy' + 6y = 3xy4/3 (f) 2xy' + y3e-2x = 2xy
C. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
1. Phương trình cấp hai giảm cấp được
(a) xy'' = y' (b) yy'' + (y')2 = 0 (c) y'' + 4y = 0
(d) xy'' + y' = 4x (e) y'' = (y')2 (f) x2y'' + 3xy' = 2
(g) yy'' + (y')2 = yy' (h) y'' = (x + y')2 (i) y'' = 2y(y')3
(k) y3y'' = 1 (l) y'' = 2yy' (m) yy'' = 3(y')2
2. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 với hệ số hằng
(a) " 3 ' 2 0y y y− + =
(b) " 2 ' 15 0y y y+ − =
(c) " 5 ' 0y y+ =
(d) 2 " 3 ' 0y y+ =
(e) 2 " ' 0y y y− − = (f) 4 " 8 ' 3 0y y y+ + =
185
(g) 4 " 4 ' 0y y y+ + = (h) 9 " 12 ' 4 0y y y− + =
(i) " 6 ' 13 0y y y− + =
(k) " 8 ' 25 0y y y+ + = (l) " 6 ' 25 0; (0) 3, '(0) 1y y y y y− + = = =
3. Phương trình cấp 2 hệ số hằng với vế phải đặc biệt
(a) ÒÒ ! 2 Ò ! 3 6; 0 3, Ò0 11.
(c) 2 3 4y y y x′′ ′− − = +
(b) 316 xy y e′′ + =
(e) 4 4 3 xy y y xe′′ ′+ + =
(d) 6 2sin 3y y y x′′ ′− − = (g) 22 4 7y y y x′′ ′+ + =
(f) 2siny y y x′′ ′+ + = (i) 9 2cos3 3sin 3y y x x′′ + = +
(l) ( ) ( )3 2 ; 0 0, 0 3xy y y e y y′′ ′ ′+ + = = =
(h) 2 3 1 xy y y xe′′ ′+ − = +
(m) ( ) ( )9 sin 2 ; 0 0, 0 0y y x y y′′ ′+ = = = (k) sin cosy y x x x′′ + = +
4. Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
(a) 3 2 4
xy y y e′′ ′+ + = (b)
22 8 3 xy y y e−′′ ′− − =
(c)
24 4 2 xy y y e′′ ′− + = (d) 4 cos3y y x′′ + =
(e) 9 sin 3y y x′′ + = (f)
24 siny y x′′ + =
(g) 4
xy y xe′′ − =
$7. CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM.
CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI
(1) Nếu chuỗi có dạng ∑1/Qô, thì là p – chuỗi, p > 1 thì hội tụ còn p ≤ 1 thì phân kỳ.
(2) Nếu chuỗi có dạng ∑/W hoặc ∑/W.=, là chuỗi hình học, nếu | r | < 1 thì hội tụ , ngược
lại thì phân kỳ.
Đôi khi ta phải biến đổi để đưa về hai dạng trên.
(3) Nếu chuỗi có dạng tương tự như hai dạng trên, thì có thể dùng dấu hiệu so sánh.
(4) Nếu /W Q , với * ´,+ hội tụ, thì dùng dấu hiệu tích phân.
(5) Nếu thấy rằng limW, /W ) 0, thì chuỗi phân kỳ.
A. BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ DƯƠNG
1. Nói rằng ∑ /WW= 5, thì có nghĩa là gì?
2. (a) Biết tổng riêng thứ n của chuỗi ∑ /WW= là òW W.=W,=. Hãy tìm /W và tìm ∑ /WW= .
(b) Biết tổng riêng thứ n của chuỗi ∑ /WW= là òW 3 ! Q2.W. Hãy tìm /W và tìm ∑ /WW= .
3. Dùng định nghĩa để xét tính hội tụ hoặc phân kỳ của mỗi chuỗi sau
/ ù 1QQ ' 2
W= Z ù
14Q ! 1
W= [ ù
1½W
W=
´ ù Q ' 3Q ' 1Q ' Q
W=
186
4. Tính tổng của mỗi chuỗi sau / 1 ! 32 ' 94 ! 278 'X Z ù !3 W.=4W
W= [ ù k
12W.= ' 23W.=l
W=
´ ù 3W ' 2W6W
W=
½ ù$20,1 W ' 0,2 W&W=
5. Hãy xác định xem mỗi chuỗi sau đây hội tụ hay phân kỳ, nếu hội tụ hãy tính tổng. / 4 ' 85 ' 1625 ' 32125 'X Z ù 3.W. 8W,=W=
[ ù 4W,=5W
W?
´ ù Q3Q ' 1 Q ' 2
W= ½ ù
Q√Q ' 1
W=
ù 15 ' 2.W
W= D ùarctanQ
W=
6. Hãy biểu diễn mỗi số sau dưới dạng phân số. / 0, 5~ 0,5555… Z 0, 15~~~~ 0,151515…
7. Hãy tìm x sao cho mỗi chuỗi sau hội tụ. Hãy tìm tổng với x tìm được.
/ ù ! 3 WW? Z ù 3W
W? W [ ù
1W
W?
8. Dùng dấu hiệu tích phân để xét sự hội tụ của mỗi chuỗi sau:
/ ù k 2Q√Q ' 3Qrl
W= Z ù
1Q ' 1
W= [ ù
QQ ' 1
W=
´ ù Q½.W:W= ½ ù
lnQQ
W= ù
1Q lnQ
W=
D ù sin1Q Q
W=
d ùarctanQ1 ' Q
W=
9. Giả sử ∑ /WW= và ∑ ZWW= là những chuỗi với mỗi số hạng đều dương và ta biết rằng chuỗi ∑ ZWW= là hội tụ.
(a) Nếu /W @ ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /WW= hay không? Tại sao?
(b) Nếu /W O ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /WW= hay không? Tại sao?
10. Giả sử ∑ /WW= và ∑ ZWW= là những chuỗi với mỗi số hạng đều dương và ta biết rằng chuỗi ∑ ZWW= là phân kỳ.
(a) Nếu /W @ ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /WW= hay không? Tại sao?
(b) Nếu /W O ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /WW= hay không? Tại sao?
11. Cho hai chuỗi ∑ Q¹W= và ∑ ZWW= .Tên gọi của chuỗi thứ nhất là gì? Tên gọi cho chuỗi thứ hai
là gì? Với giá trị nào của b thì chuỗi thứ nhất hội tụ? Với giá trị nào của b thì chuỗi thứ hai hội tụ?
12. Xét tính hội tụ của mỗi chuỗi sau:
/ ù 1√Q ! 1
W Z ù
1Qr ' Q
W= [ ù
34W ' 5
W=
´ ù 1 ' 5W4W
W= ½ ù
ò,QQQ√Q
W= ù
3QQ ' 3
W=
187
D ù2W ' 13W ' 1
W= d ù
11 ' √Q
W= V ù
1Q ! 4
Wr
Q ù sin k1Ql
W= L ù Q
! 3Q√Q=? ! 4Qu
W=
CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU
(1) Nếu chuỗi có dạng ∑!1 W/W hoặc ∑!1 W.=/W, thì dùng dấu hiệu chuỗi đan dấu.
(2) Chuỗi mà các số hạng với dấu không có quy luật, thì có thể dùng tính hội tụ tuyệt đối
(3) Chuỗi mà số hạng tổng quát có liên quan đến tỷ lệ hoặc tích, thường sử dụng dấu hiệu thương.
(4) Chuỗi có số hạng tổng quát có dạng /W W, thường dùng dấu hiệu căn thức.
B. BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ ĐAN DẤU
1. Với giá trị nào của p thì chuỗi sau hội tụ
ù W=
!1 W.=Qô
2. Bạn có thể kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi ∑ /= trong mỗi trường hợp sau đây?
a limW /W,=/W 8 Z limW /W,=/W 0,8 [ limW /W,=/W 1
3. Kiểm tra xem mỗi chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ. / 35 ! 36 ' 37 ! 38 ' 39 !X [ ù!1 W,= Q5Q ' 1
W= Z 1ln 2 ! 1ln 3 ' 1ln 4 ! 1ln5 ' 1ln 6 !X ´ ù!1 W QQ ' 1
W=
½ ù!1 W QQ ' 1
W=
ù!1 W.= ln QQ
W= D ù
cos Q
Qr
W
4. Chuỗi sau có hội tụ tuyệt đối hay không?
/ ù W=
!3 WQr Z ù
W=
!3 WQ! [ ù
W=
!1 W,=2Q ' 1
´ ù W= !1 W.=
√QQ ' 1 ½ ù
W=
sin 2QQ ù
W=
!1 W,=5W.=Q ' 1 4W,
D ù W=
Q ' 2 5 WQ3W ( ù
W=
cos ;Q6 <Q√Q , ù
W=
Q ' 2 !10WQ!
5. Xét tính hội tụ của mỗi chuỗi sau
/ ù W?
!10 WQ! Z ù
W
!1 W.=2WQ [ ù
W=
!1 W,=Q2WQ!
´ ù W= k
Q ' 12Q ' 1lW ½ ù
W
Qln Q W ù
W=
!2 WQW
188
C. BÀI TẬP VỀ CHUỖI LŨY THỪA
1. (a) Thế nào là bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm nó?
(b) Thế nào là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm?
2. Nếu ∑ [W4WW? là chuỗi hội tụ, thì các chuỗi sau có hội tụ không?
/ ù [W!2 WW? Z ù [W!4 W
W?
3. Giả sử rằng chuỗi ∑ [WWW? hội tụ tại x = -4 và phân kỳ tại x = 6. Ta có thể nói gì về sự hội tụ
của các chuỗi sau đây?
/ ù [WW? Z ù [W8W
W? [ ù [W!3 W
W? ´ ù!1 W[W9W
W?
4. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của mỗi chuỗi sau.
/ ù WQ ' 2
W? Z ù
!1 WW√Qu
W= [ ù
WQ!
W? ´ ù
WQ
W=
½ ù !1 WW22W
W= ù
QW10W
W? D ù
Q4W
W? 2 ! 1 W ( ù
!1 WW.=2Q ! 1 !
W=
, ù !1 W ! 1 W√Q
W= u ù ! 4
WQ5W
W= d ù
2W ! 3 WQ ' 3
W? L ù ' 1
WQQ ' 1
W=
V ùQ! 2 ! 1 WW= Q ù
QW1 · 2 · 3 · 4X 2Q ! 1
W=
5. Hãy biểu diễn mỗi hàm sau đây thành chuỗi lũy thừa và tìm khoảng hội tụ.
/ 11 ' Z 1 ! [ 11 ' 4 ´ 1 ' 16
6. Hãy biểu diễn mỗi hàm sau đây thành chuỗi lũy thừa và tìm bán kính hội tụ / 11 ' Z ln [ 11 ' r
7. Tính các tích phân không xác định sau theo chuỗi lũy thừa
/ + 11 ' ´ Z + 1 ' 8 ´ [ +arctan ´ ´ + tan.= ´ ½ + sin ´ + sin ´ D +tr ' 1´ ( + ½Eu´
8. Sử dụng chuỗi lũy thừa để xấp xỉ các tích phân xác định, lấy 3 số hạng đầu trong khai triển
/ + 11 ' ´?,? Z + tan.= ´=/? [ + tan.= ´=/r? ´ + ´1 ' \=/?
9. Sử dụng chuỗi Maclaurin nhận được trong mục này để tìm ra chuỗi Maclaurin biểu diễn cho mỗi
hàm đã cho. / ½rE Z sin2 [ cos ´ cosr
10. Sử dụng chuỗi để tính giới hạn.
/ limE? ! tan.=r Z limE? 1 ! cos 1 ' ! ½E [ limE? sin ! '
16 r8 ´ limE?
tan ! r
File đính kèm:
Bai-giang giải tích-Toan-I-II.pdf
