Bài giảng Nhị thức Newton và ứng dụng - Nguyễn Văn Năm

 
      
     

1k ka a    dãy ka giảm 0 1 01... k k ka a a a a a       
 22 2 2.n n nn k n k nC C C   
Ví dụ D.3: Chứng minh với và n 2n N   thì: 
   1 2 31 2 3 ... !nn n n nC C C nC nn       1 
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
36 
36 
Giải 
Xét khai triển: 0 1 2 2 3 3(1 ) ...n n nn n n n nx C C x C x C x C x      
Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta được: 1 1 2 3 12(1 ) 2 3 ...n n nn n n nn x C C x C x nC x
      
Chọn 1 1 2 31 2 2 3 ...n nn n n nx n C C C nC
      
     1 111 .2 ! 2 ! 2n nn n nn
        
Việc còn lại là ta đi chứng minh  2 luôn đúng , 2n N n    
Cách 1: Ta có: 1! 1.2.3.4.... 2.2.2....2 2nn n    ( 1n  số) 
12 !n n    2 đúng hay chúng ta có thể dùng quy nạp để chứng minh. 
Cách 2: Chứng minh bằng quy nạp 
 Với 1 3 13 ! 2 2 4nn n          (đúng) 
 Giả sử  2 đúng với n k với 13 2kk k    
Vậy        1 11 ! 1 2 1 ! 2.2 2 vì 3 1 4k k kk k k k k k              
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có: 1! 2 3nn n   “Từ kết quả này ta có thể áp dụng để 
giải một số bài toán ở phần Bài tập áp dụng” 
Vậy do    1 2 312 2 3 ... ! PCMnn n n nC C C nC n Đn       
Ví dụ D.4:(ĐH AN- 2000) 
a) Cho 3 n Z  . Chứng minh rằng:  1 1 nnn n   
b) 1 1 11 ... 3
1! 2! !n
     
c) Cho 2 n Z  . Chứng minh rằng: 12 1 3
n
n
    
 
d) m n  với mọi số nguyên dương ,m n .Chứng minh: 1 11 1
m n
m n
        
   
Giải 
a) Ta có: 
  0 1 2 2
1 1 1 1 11 ...
1 1 1 1 22 1 1 1 ...
2! 3!
1 1 2 1 1 11 1 .... 1 ...
!
1
1
!
n
n n n n n
n
nn n C C C C
n n n n
n n n
k
k n n n n n
n n          
 
               
    
                 
 
 
    
 2 1
2 11 .... 1
2 1 ... 1
n
n
n n
n
   
       
   
    
soá
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
37 
37 
b) Ta có: 
 
11 2
1!
1 11
2! 2
1 1 1
2! 2 3
1 1 1 1
4! 3.4 3 4
1 1 1 1
5! 4.5 4 5
1 1 1 1
! 11 nn n nn
  

  


  


   


  


   
Cộng vế theo vế 1 1 1 11 ... 3 3 ĐPCM
1! 2! !n n
         
c) Xét khai triển: 0 1 2 22 2
1 1 1 1 1 11 ... 2 ... 2n nn n n n n nn n
n
C C C C C C
n n n n n n
            
 
Mà: 
 
     
1 ... 1! 2
! ! !
k
n
n n n knC k n
k n k k
  
    

1 1 1 2 1 11 1 .... 1
! !
k
nk
kC
n k n n n k
             
    
Áp dụng kết quả câu b 1 1 1 12 1 2 ... 3
2! 3! !
n
n n
          
 
Vậy: 12 1 3
n
n
    
 
d) Xét khai triển: 
    
 
 
 
0 1 2
2 1
2 3
1
1 1 1 1 11 ...
1 1 21 1 11 ...
2! 3!
1 ....2 1 ....11 1
1 ! !
1 1
n
n n
n
n n n n
n n
C C C C
n n n n n
n n n n n
n
n n n
n n n n
n n n n


            
   
  
     
 
 

   1 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 ... 1 1 .... 1 *
2! 3! !
n
n n n n n n n
                              
          
Tương tự ta có: 
11 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 ...
2! 1 3! 1 1
n
n n n n

                                
 1 1 21 1 .... 1
! 1 1 1
n
n n n n
                  
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
38 
38 
 
 1 1 2 11 1 .... 1 1 **
1 ! 1 1 1 1
n n
n n n n n
                         
So sánh giữa    * và **  suy ra: 1 11 1
m n
m n
        
   
Ví dụ D. 5(TH&TT) Cho * *, 3N Nmn     Chứng minh rằng: 
2
1
11
1 1 1 1...
2m m m n
nC C C m 
   

Giải 
Ta có:  
 
   
   
 1
1 ! ! 1 ! 1 !
1997 2
!
1
! 2 !ki k
k i k i
k k
i k i kC i

  
    

   
 
 
   
   
 
 
 
   
 
   
 
1
1 ! ! 1 ! 1 !
2
! ! 2 !
1 1 ! 1 ! 2 2 !
!1 !
1
!
2
k
i k
k m k m
i k k
m k m k m
m m k m k
m m km k
C 
  
       
     
  
     


 
 
 
 
 
 
1 2
1 1 2 1
1
10 1
1
2
1
1 1
1 1 1 11 1. ĐPCM
2 2 2
k m m k
m k m
k k
m
k k
k m k m
m
m
m m
m m m
C C
C C C C
  
 
 
 
  
  
    
  
       

 
Ví dụ D. 6: Chứng minh rằng: 
a) lim 1n
n
n

 
b) Nếu 0m  thì lim lim 2n n
n n
m n
 
  
Giải 
 Đặt 1 0 ( 2)nm n n     
   2 2 2
0
1
1
2
k
n k k
n n
k
n n
n m C m C m m


      
  21 20 1
2 1
21 1
1
n
n
n n
n m m n
n
n
n

      

   

Mặt khác: 2lim 1 1 lim 1 ĐPCM
1
n
x x
n
n 
 
       
Sử dụng kết quả câu )a kết hợp với nguyên lí kẹp ta suy ra được câu )b 
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
39 
39 
Ví dụ D.7: Cho 
*
1 1x
n N 
  


. Chứng minh rằng:    1 1 2n n nx x    
Giải 
Đặt:   0
0
1 0
2 .
1 0
n
k knn n k n n n nn
n n n
k
a x
C a b C a C b ab b
b x
a 

  
      
  


 
   1 1 2n n nx x     
Ví dụ D.8: Cho , 0a b  . Chứng minh rằng: , 1
2 2
nn na b a b b Z      
 
Giải 
Ta có:     0in i n i n n n i n iii ia b a b a b a b i nb a              
Mặt khác ta có khai triển:  
0 0
. .n n k n k
n n
k k k k
n n
k k
a b Cb C a b a



    
       
0 0
2 . .n nn k n k n n
n n
k k k k
n n
k
n
k
C a b b a ab ba b Ca
 
        
2 2
nn na b a b 
    
 
Ví dụ D.9: Chứng minh rằng 
a) Chứng minh rằng:    2000 20001001 1001 1 1001 1      là số tự nhiên chia hết 
cho 11. 
b)  0 1 11 13 ... 1 , 3
3 3
nn
n n nnC C C n Z
         
Giải 
a) Ta có:      2000 2000 19990 1 2000 20002000 2000 20001001 1001 1001x C C x C x    
 Với      2000 2000 19990 1 20002000 2000 20001 1001 1 1001 1001 ...x C C C       
 Với      2000 2000 19990 1 20002000 2000 20001 1001 1 1001 1001 ...x C C C       
     
 
    
2000 2000
1 3 1999 1999
2000 2000 2000
2000 2000
1001 1 1001 1 2 1001 .1001 ... 1001
2 1001.
2 1001 1001 1 1001 1 2002 11.182 11 ĐPCM
C C C
X X N
       
  
      
b) Ta có: 
 
 
0 1 1 0 1 11 1 1 13 ... 1 3 1 1 ...
3 3 3 3
1 23 1 3 2 8, 3
3 3
nn n n n n
n n n n n nn n
n n
n n n
C C C C C C
n n Z
                          
            
   

Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
40 
40 
Ví dụ ID. 10 
a) Cho 2 p là số nguyên tố. Chứng minh rằng: , 1, 2,..., 1kp pC k p   
b) ( Định lí Fermat nhỏ) , 2n N p    là số nguyên tố. Ta luôn có pn n p  
Giải 
a) Với 1, 2,..., 1k p  và P là số nguyên tố. Ta có: 
 
    1 2 ... 1!
! ! 1.2.3.....
k
p
p p p p kpC q
k p k k
   
  

 Vì p là số nguyên tố nên không chia 
hết cho k . 
Mặt khác       1 2 ... 1 1.2....kpC p p p pN k k       
.k kp pp qC pC    
b) Đặt pna n n  
 Với 1 1 11 0
p p
na n n Pn a       
 Giả sử na đúng với n k na P  
 Với 1n k  : Xét 
  0 1 1 2 2 11
1 1 2 2 1
1 1 ... 1
... 1
p p p p p p p
k k p p p p
p p p p
p p p
k k C k C k C k C k k
C k C k C k k
a a   
  
           
     
Áp dụng kết quả câu  , 1, 2,..., 1kpa p k pC   
1
1
k k
k
k
a a p
a p
a p



 




Vậy theo nguyên lí nguyên nạp cho ta pn n p  
Bài Tập Ứng Dụng 
Bài 1: Cho 3 n Z  Tính 
a)  lim , 0 2
!
n
n
a a
n
   b)  lim ,
!
n
n
a a R
n
  
Bài 2: Cho  0,1 ,a m n m n Z      . Chứng minh 
a)    1 1m nn m   b) 2001 2001 20011998 1999 2000  
Bài 3: *n N  . Chứng minh rằng:  
   
2
2 2
1!2! 2!3! ... ! 1 !
2 !
1! ... !
n
n
n n
n
n n
   
 
Bài 4: Cho 
1 2
1 2
...
, ,..., 0
1
n
n
S a a a
a a a
n Z
   


  
 Chứng minh rằng: 
    
2
1 21 1 ... 1 1 ...1! 2! !
n
n
S S Sa a a
n
        
Bài 5: Chứng minh rằng: 
 2 3 1999200 2000 20002.1 3.2 ... 2000.1 399800999 0 2 ZC C nC      
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam 
41 
41 
MỤC LỤC 
LỜI MỞ ĐẦU.2 
A. LÝ THUYẾT..3 
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC...4 
C. ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THứC VÀ TÍNH 
TỔNG TỔ HỢP.20 
D. ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ 
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC36 
________________________________________________________________________ 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Phương pháp giải toán Đại Số Tổ Hợp – Võ Giang Giai 
2. Đại Số Tổ Hợp- Nguyễn Phú Khánh 
3. Tạp Chí Toán Học Và Tuổi Trẻ 
4. Các đề thi HSG- Olimpic 
5. Các Diễn đàn Toán học như: nguyentatthu.violet.vn- k2pi.violet.vn- maths.vn- 
mathscope.org- diendantoanhoc.net