Bài giảng Phương pháp quy nạp toán học

Chaøo möøng quí thaày coâ 
vaø caùc em hoïc sinh 
Hãy xác định tính đúng, sai của mệnh đề: và với 
Trả lời: 
n = 1: P(1): “ 3 1 < 1+100” 
Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? 
? 
n = 2: P(2): “ 3 2 2” (Đ) 
và Q(1): “ 2 1 > 1” 
(Đ) 
(Đ) 
n = 3: P(3): “ 3 3 3” (Đ) 
n = 4: P(4): “ 3 4 4” (Đ) 
n = 5: P(1): “ 3 5 5” (Đ) 
? 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
CM: P(n) đúng với 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1 
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: 
CM: P(n) đúng với 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
II. VÍ DỤ: 
Vd1 :CMR với thì 
1 + 3 + 5 + .+ (2n-1) = n 2 (1) 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
n = 1: 1 = 1 2 
n = 2: 1+3 = 2 2 
n = 3: 1+3 +5 = 3 2 
. 
n = k: 1+3+5++(2k-1) = k 2 
n = k+1: 1+3+5++(2k-1) 
 +[2(k+1)-1]= (k+1) 2 
Hoạt động nhóm 
CMR: với mọi thì 
Nhóm 1,2: Bước 1 
Nhóm 3, 4: Bước 2 ( đến gt qui nạp) 
Nhóm 5, 6: Bước 2 (nêu ta phải CM?) 
(1) 
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: 
CM: P(n) đúng với 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
II. VÍ DỤ: 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Hoạt động nhóm 
CMR: với mọi thì 
Giải : Đặt 
Bước 1 : Với n = 1 thi ̀: 1=1 nên (1) Đ 
Bước 2: G/s (1) đúng với 
(1) 
. Nghĩa là: 
( gt qui nạp ) 
Ta phải CM: (1) đúng với 
Tức là: 
Thật vậy : 
Vậy : (1) đúng với 
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: 
CM: P(n) đúng với 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
II. VÍ DỤ: 
Vd1 : CMR với thì 
1 + 3 + 5 + .+ (2n-1) = n 2 (1) 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Vd2 : CMR với thì chia hết cho 3 
Giải : Đặt 
Bước 1: Với n = 1 ta có 
Bước 2: G/s với n = k ta có: 
( gt qui nạp ) 
Ta phải CM 
Thậy vậy : 
Vậy : chia hết cho 3 với 
CM: P(n) đúng với 
 Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
* Chu ́ ý: 
CM: P(n ) đúng với 
 ( p là một sô ́ tư ̣ nhiên ) 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n ) đúng với 
Bước 2: Giả sử P(n ) đúng với 
 ( P(k ) gọi là giả thuyết quy nạp ) 
 CM: P(n ) đúng với 
n = p 
n = p 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
* Chú ý: 
CM: P(n) đúng với 
 ( p là một số tự nhiên) 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
n = p 
Hoạt động nhóm 
Cho hai số 3 n và 8n với 
a) So sánh 3 n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng 
minh bằng phương pháp quy nạp 
n 
3 n 
? 
8n 
1 
2 
3 
4 
5 
Giải: 
a) 
b) Kết quả: 3 n > 8n với mọi 
3 
8 
< 
9 
16 
< 
27 
> 
24 
81 
> 
32 
243 
> 
40 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
* Chú ý: 
CM: P(n) đúng với 
 ( p là một số tự nhiên) 
Phương pháp qui nạp 
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với 
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với 
 (P(k) gọi là giả thuyết quy nạp) 
 CM: P(n) đúng với 
n = p 
Hoạt động nhóm 
Cho hai số 3 n và 8n với 
a) So sánh 3 n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng 
minh bằng phương pháp quy nạp 
Giải: 
b) Kết quả: 3 n > 8n với mọi 
Bước 1: Với n = 3 thì 3 3 > 8.3 
 nên P(1) đúng 
Đặt P(n): “ 3 n > 8n” với mọi 
Bước 2: G/s mđề đúng với . 
Ta phải CM mđề đúng với n = k+1. 
 Nghĩa là: 3 k > 8k (gt qui nạp) 
Tức là 3 k+1 > 8(k+1) 
Vậy: 3n > 8n với mọi 
Thậy vậy : 
Chaân thaønh caùm ôn 
quí thaày coâ vaø 
caùc em hoïc sinh