Bài giảng Toán 10 - Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng

á chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc; số
học sinh nghỉ học; là các đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc
Đối với ĐLNN liên tục, ta không thể liệt kê
tất cả các giá trị của nó.
Thí dụ: trọng lượng của một loại sản phẩm do
một nhà máy sản xuất; thu nhập của những
người làm việc trong một ngành; khoảng thời
gian giữa hai ca cấp cứu của một bệnh viện,
là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
2. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu
các giá trị có thể của nó lắp đầy một khoảng
trên trục số.
3. Khái niệm 2 ĐLNN độc lập
X và Y là hai ĐLNN độc lập nếu phân phối xác
suất của X thay đổi không làm thay đổi phân
phối xác suất của Y và ngược lại.
Nếu X, Y không thỏa điều kiện nêu trên thì X,
Y là hai ĐLNN phụ thuộc.
1- Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập phân
phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
III – Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu 
nhiên
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận
một trong các giá trị rời rạc: x1, x2, . . . ., xn
với các xác suất tương ứng là: p1, p2, . . . ., pn
Tức: pi = P(X = xi) (i = 1, 2, . . . , n)
Bảng phân phối xác suất của X có dạng: 
X x1 x2  xn
P p1 p2  pn
Đối với bảng phân phối xác suất, ta luôn có: 
1p
n
1i
i 

Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 6
sản phẩm loại I). Lấy ngẫu nhiên không hoàn
lại từ hộp ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối
xác suất của số sản phẩm loại I có trong 2 sản
phẩm lấy ra.
Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 2
sản phẩm lấy ra từ hộp thì X là ĐLNN rời rạc
có thể nhận các giá trị : 0, 1, 2 với các xác suất
tương ứng:
15
8
C
C.C
)1X(Pp
2
10
1
4
1
6
2 
15
5
C
C
)2X(Pp
2
10
2
6
3 
15
2
C
C
)0X(Pp
2
10
2
4
1 
Vậy phân phối xác suất của X là:
X 0 1 2
P 2/15 8/15 5/15
2- Hàm mật độ xác suất 
Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên liên tục X là hàm không âm
f(x), xác định với mọi x (-, +) thỏa mãn:
Với B là tập số thực
Tính chất:
a. f(x)  0, x  (-, +)
b. 
c.
1dx)x(f 



b
a
dx)x(f)bXa(P

B
dx)x(f)BX(P
f(x)
x0 a b
P(a< X < b)
3- Hàm phân phối xác suất
a.Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của một đại
lượng ngẫu nhiên X (rời rạc và liên tục), ký hiệu
F(x), là hàm được xác định:
F(x) = P(X < x)
Nếu X là ĐLNN rời rạc thì:
Nếu X là ĐLNN liên tục thì:
b- Tính chất:
ª 0 ≤ F(x) ≤ 1
ª F(x) là hàm không giảm: nếu x2 > x1 thì: 
F(x2) ≥ F(x1)
ª 
ª F’(x) = f(x), x
1)x(Flim ;0)x(Flim
xx





xx
i
xx
i
ii
p)xX(P)x(F



x
-
f(x)dx)x(F
Thí dụ: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm
mật độ
Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
c- Hệ quả:
ª P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)













1 x;
5x
6
1x0 ;x
5
6
0 x; 0
)x(f
4
Giải:
Khi x < 0 thì
Khi 0  x  1 thì
Khi x > 1 thì
Vậy
0dx)x(f)x(F
x
 

2
x
0
0x
x
5
3
0xdx
5
6
dx)x(fdx)x(f)x(F  

3
x
1
3
x
1
4
1
0
x
x5
2
1
x5
2
5
3
dx
x5
6
xdx
5
6
dx)x(f)x(F




 














1 x ; 
5x
2
 -1
1 x 0 ; x
5
3
0 x; 0
)x(F
3
2
1- Kỳ vọng toán:
IV – Các tham số đặc trưng của đại lượng
ngẫu nhiên
a- Định nghĩa: Nếu X là đ.l.n.n rời rạc có thể
nhận các giá trị: x1, x2, . . . , xn với các xác suất
tương ứng p1, p2, . . . , pn. Kỳ vọng toán của
đ.l.n.n X ký hiệu là E(X) được xác định bởi:
E(X) =

n
1i
iipx
Nếu X là đ.l.n.n liên tục có hàm mật độ f(x).
Kỳ vọng toán của đ.l.n.n X được xác định bởi:



 dx)x(f.x)X(E
Thí dụ 1: tìm kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên
X 5 6 7 8 9 10 11
P 1/12 2/12 3/12 2/13 2/12 1/12 1/12
Giải: Ta có
E(X) = 5.1/12 + 6.2/12 + 7.3/12 + 8.2/12 + 9.2/12
+ 10.1/12 + 11.1/12 = 7,75
Thí dụ 2: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có 
hàm mật độ
Tìm E(X)







(0,2) x; 0
2x0 ;x 
2
1
)x(f
3
4
6
x
xdx
2
1
.xdx)x(xf)X(E
2
0
32
0
 


Giải:
b- Các tính chất:
 E(C) = C (với C là hằng số)
 E(C.X) = C.E(X) (C - hằng số)
 E(X1 + X2 + . . . + Xn) = E(X1) + E(X2) + . . .
+E(Xn)
 E(X1X2 . . . Xn) = E(X1)E(X2) . . . E(Xn)
Nếu X1, X2, . . . , Xn đại lượng ngẫu nhiên độc 
lập.
c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán
Thí dụ: Một lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi
môn toán có kết quả cho ở bảng sau:
Điểm 3 4 5 6 7 8 9
Số SV 3 7 15 10 5 6 4
Nếu gọi X là điểm thi môn toán của một s/v
chọn ngẫu nhiên từ lớp này thì X là ĐLNN có
phân phối xác suất như sau:
X 3 4 5 6 7 8 9
P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08
E(X) = 5,82 chính là điểm thi trung bình môn
toán trong lớp.
08,09...14,0406,03)X(E 
82,5
50
49.....7433
)X(E
Hay



Vậy kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên
chính là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu
nhiên.
2- Phương sai:
a- Định nghĩa: 
Phương sai (độ lệch bình phương trung bình)
của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là
Var(X), được định nghĩa bằng:
Var(X) = EX- E(X)2
 Nếu X là ĐLNN rời rạc:
 Nếu X là ĐLNN liên tục:
Trong thực tế thường tính phương sai bằng
công thức:
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2



n
1i
i
2
i p)]X(Ex[)X(Var



 dx)x(f)]x(Ex[)X(Var 2
Thí dụ:
Cho ĐLNN X có phân phối xác suất như sau:
Tìm Var(X).
X 1 3 4
P 0,1 0,5 0,4
Giải: Theo định nghĩa của E(X) ta có:
E(X) = 1×0,1 + 3×0,5 + 4×0,4 = 3,2
E(X2) = 12×0,1 + 32×0,5 + 42×0,4 = 11
Vậy Var(X) = 11 – (3,2)2 = 0,76
b- Các tính chất của phương sai:
ª Var(C) = 0 (C - const)
ª Var(C.X) = C2.Var(X) (C - const)
ª Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc 
lập thì:
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y)
Trường hợp tổng quát, nếu X1, X2, . . . , Xn là n đại lượng
ngẫu nhiên độc lập thì:
Var(X1 + X2 + . . . + Xn) = Var(X1) + Var(X2) +. . .+ Var(Xn)
Var(C + X) = Var(X) (với C là hằng số )
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
•c. Ý nghĩa phương sai:
•Ta thấy X-E(X) là độ lệch khỏi giá trị trung bình
nên Var(X) = E{[X-E(X)]2} là độ lệch bình
phương trung bình.
•Vậy phương sai phản ánh mức độ phân tán các
giá trị của một ĐLNH xung quanh giá trị trung
bình
3- Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X ký
hiệu là (X) là căn bậc 2 của phương sai:
(X) = )X(Var
Đôä lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với đại
lượng ngẫu nhiên.
Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương
đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiên.
4- Giá trị tin chắc nhất Mod(X)
a- Định nghĩa: Mod(X) là giá trị của đại lượng 
ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất 
trong một lân cận nào đó của nó.
 Nếu X là ĐLNN rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X
ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác
suất của X.
 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X)
là giá trị của X tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.
Thí dụ 1:
X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác
suất như sau:
X 7 8 9 10 11 12 14
P 0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05 
Vì X là ĐLNN rời rạc nên Mod(X) = 9
Thí dụ 2:
X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác
suất f(x) như sau:
Vì X là ĐLNN liên tục nên Mod(X) = 4,6
4,6 x
f(x)
0
Thí dụ 3: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ 
xác suất f(x) như sau:
Tìm Mod(X)?







 
0 x; e
2
x
0 x; 0
)x(f
4
x2
Giải: Giá trị cực đại của hàm mật độ
Ta có f’(x) = 0 hay
Vậy Mod(X) = +1,14 (vì Mod(X)>0)
14,12x0
4
x
1
0e
4
x
e
2
1
2
4
x2
4
x 22



Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra
nhiều nhất trong các giá trị mà đ.l.n.n X có thể
nhận.
Nếu X là chiều cao của s/v trong một trường,
thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều s/v đạt
được nhất.
Nếu Y là mức thu nhập của công nhân trong
một nhà máy thì Mod(Y) là mức thu nhập mà
có số công nhân lãnh ở mức này nhiều nhất.
* Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị
khác nhau.
Thí dụ: Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng
phân phối xác suất như sau:
Y 1 2 3 4 5 6 7
P 0,1 0,15 0,3 0,3 0,08 0,05 0,02 
Mod(Y) = 3 hoặc Mod(Y) = 4.
TỔNG KẾT CHƯƠNG 2
ĐLNN PP xác suấtcủa ĐLNN
Các tham
số đặc trưng
của ĐLNN
rời
rạc
liên
tục
Bảng
PP
XS
hàm
PP
XS
hàm
mật
độ xS
Kỳ
vọng
toán
Phg
sai
độ
lệch
chuẩn
ĐN, các t/cĐịnh nghĩa ĐN, cách tính, các t/c
Bài tập
Bài 1: Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong một hộp có 
6 bi trắng, 4 bi đen. Gọi X là số bi trắng trong 3 bi 
được chọn.
a. Tìm xác suất của X khi X = 0; 1; 2; 3 bi trắng
b. Lập bẳng phân bố xác suất của X
c. Tìm hàm phân bố xác suất của X
(TRÍCH HVBCVT-26)
Bài 2: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật 
độ:
Tìm: 
a. Hằng số c
b. Kỳ vọng
c. Phương sai
(TRÍCH LTXSTK-33)
 





0,3 x; 0
3x0 ; cx
)x(f
3
Bài 3: Tung con xúc sắc n lần. Gọi đại lượng 
ngẫu nhiên X là tổng số nút thu được của n lần 
tung. Tìm kỳ vọng của X?
(TRÍCH HVBCVT-41) 
Bài 4:Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi 
đen, 4 bi trắng
a. Nếu được 1 bi trắng sẽ thưởng 200$. Gọi Y là 
số tiền nhận được. Tìm kỳ vọng của Y
b.Nếu được 1 bi trắng sẽ thưởng 200$ và được 
một bi đen sẽ thưởng 300$. Gọi Z là số tiền 
thưởng nhận được. Tìm kỳ vọng của Z
(TRÍCH HVBCVT-41)