Bài giảng Toán 6 - Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp

Bài 1:PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCChương 3:Dãy số -Cấp số cộng -Cấp số nhânMỤC LỤCMỤC TIÊU-CHUẨN BỊ-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT VẤN ĐỀ: BÀI TOÁN 1BÀI TOÁN 2 VÀ LỜI GIẢITIẾP CẬN PP QUI NẠP TOÁN HỌC TỪ BÀI TOÁN 2I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌCII. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG – VÍ DỤ 1 (BÀI TOÁN 1)GIẢI VÍ DỤ 1VÍ DỤ 2 VÀ LỜI GIẢICHÚ Ý – VÍ DỤ 3GIẢI VÍ DỤ 3VÍ DỤ 4 VÀ LỜI GIẢISLIDE CUỐIMỤC TIÊU:  Về kiến thức : - Giúp học sinh có khái niệm về quy nạp toán học- Giúp học sinh Nắm được phương pháp quy nạp toán học Về kỹ năng : Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản.CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ: GV : Dụng cụ dạy học; phiếu học tập, giaó án HS : Dụng cụ học tập ; tìm hiểu bài mới.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:Gợi mở vấn đáp; đan xen hoạt động nhóm.Có thể kết luận Sn = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = n2 với mọi n  * hay không .Tại sao ? Ta có : S1 = 1 S2 = 1+ 3 = 4 S3 = 1+ 3 + 5 = 9 S4 = 1+ 3 + 5 + 7 = 16 =12= 22= 32= 42Bài toán 1: Tính tổng Sn = 1+ 3 + 5+ ... + (2n – 1) với n  * Bài toán 2: Cho mệnh đề chứa biến P(n) = “1.2+2.3++n(n+1) = ”, n *. n(n+1)(n+2) 3 1) Hãy kiểm tra P(1) đúng . 2) Chứng minh rằng nếu P(n) đúng với n = k  1 thì P(n) cũng đúng với n = k + 1 .Giải1(1+1)(1+2) 31) n = 1 : P(1) = “1.2 = ”  P(1) đúngta chứng minh P(k +1) cũng đúng, thật vậy do (*):k(k+1)(k+2) 3 1.2+2.3++k(k+1) =2) Nếu P(k) đúng :(*)k(k+1)(k+2) 3 1.2+2.3++k(k+1)+(k+1)(k+2) =+ (k+1)(k+2)k(k+1)(k+2) 3 =suy ra P(n) cũng đúng với n = k+1Bài toán 2: Cho mệnh đề chứa biến P(n) =“1.2+2.3++n(n+1) = ”(1), n *. n(n+1)(n+2) 3 1) Hãy kiểm tra (1) đúng với n = 1 . 2) Chứng minh rằng nếu (1) đúng với n = k  1 thì (1) cũng đúng với n = k + 1 . 3) Từ các kết quả trên có thể khẳng định được mệnh đề trên đúng với mọi n* hay không ? Nhờ việc kiểm nghiệm (1) đúng khi n = 1 và kết quả chứng minh trên, ta có thể suy ra: Do P(1) đúng nên P(2) đúng . P(2) đúng nên P(3) đúng . P(3) đúng nên P(4) đúng .... Vậy P(n) đúng với mọi n * . Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra rằng P(n) đúng với n = 1 .Bước 2 (bứớc qui nạp): Giả sử P(n) đúng với n = k  1 ( giả thiết quy nạp ), Cho mệnh đề P(n) phụ thuộc n*. Để chứng minh P(n) đúng với mọi n* ta có thể thực hiện các bước sau đây :ta chứng minh P(n) cũng đúng với n = k + 1 .I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠPĐây là phương pháp chứng minh quy nạp toán học ( gọi tắt là phương pháp quy nạp )Kết luận P(n) đúng với mọi n* . II. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1: Chứng minh rằng : Với mọi n*: 1+3+5+ ... +(2n – 1) = n2 (1) Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n = k  1 ( giả thiết quy nạp )I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠPBước 1: Kiểm tra rằng P(n) đúng với n = 1 .ta chứng minh P(n) cũng đúng với n = k + 1 .Kết luận P(n) đúng với mọi n* . Bước 1: Với n = 1: S1 = 1 = 12 . Vậy (1) đúng với n = 1 .Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k  1 Sk = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1 tức là :Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n* . = Sk + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2Ta có: Sk+1 = 1 + 3 + 5 +...+ (2k – 1) + [2(k +1) – 1]Với mọi n*: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 (1)SnSk+1 = (k +1)2Ví dụ 2: Chứng minh rằng Với mọi số nguyên dương n, ta có : 2n > nGiải Đặt P(n) = “ 2n > n ” n = 1 : 21 > 1  P(1) đúng Nếu P(k) đúng : 2k > k (1) ta chứng minh P(k +1) đúng : Ta có : (1)  2.2k > 2k mà 2k = k + k  k +1 Vậy: 2k+1 > k + 1 , suy ra P(k +1) đúng . KL: n* :2n > n Nếu chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là số tự nhiên ) thì ở:Bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .Bước 2: Trong giả thiết qui nạp phải nêu n k với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hay bằng pChú ý : Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : Với mọi n : n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 .Đặt an = n3 + 3n2 + 5n + 3Ta có: ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k +1)2 + 5(k +1) + 3 = k3 + 3k2 + 5k + 3 + 3k2 + 9k + 9 = ak + 3(k2 + 3k + 3) Vậy an = n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 với mọi n . Với mọi n : n3 + 3n2 + 5n + 3 chia hết cho 3 .Bước 2: Giả sử ak = k3 + 3k2 + 5k + 3 3 với k  0Suy ra ak + 1 chia hết cho 3 . Bước 1: Với n = 0 : a0 = 3 . Suy ra a0 chia hết cho 3 Ta chứng minh : ak+1 chia hết cho 3Ví dụ 4 : Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có : n n +1 > (n + 1)n . n = 1 : 12 > 21 (sai) . n = 2 : 23 > 32 (sai) n = 3 : 34 > 43 (đúng ) . n = 4 : 45 > 54 (đúng)Dự đoán : nn+ 1 > (n + 1)n , n   , n  3 (* ) Bước 1 : n = 3 : 34 > 43 .Vậy (* ) đúng với n = 3 . Bước 2 :Giả sử (*) đúng với n = k  3 : kk + 1 > (k + 1)k (1)Ta chứng minh (*) đúng với n = k +1 : (k+1)k + 2 > (k +2)k + 1 (2)(k+1)k+2kk+1> (k+1)k(k+1)k+2kk+1(1)  kk+1  (k+1)k+2 > (k+1)2(k+1)kk+1Ta có : k2 + 2k +1(k+1)2(k+1)kk+1=kk+1=k + 2 +1kk+1> (k+2) k+1Vậy : nn + 1 > (n + 1)n với mọi n   , n3 Suy ra (2) đúng. (k+1)k+2kk+1> (k+1)k(k+1)k+2kk+1(1)  kk+1