Bài tập Bất phương trình

⇔ − < <x x x x x x 
Do 3 5
2 2
x≤ ≤ nên nghiệm của bpt là : 3 2
2
x≤ < 
Kết luận : 2 2x− ≤ < 
4. ðk: 2 4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ 
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt . 
+) Xét x > 3: ( )22 2 13 4 3 4 3 
6
Bat phuong trinh ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −x x x x x 
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt 
+) Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ < 
( )
2
22 2
3 03 0
 4 3 
4 0 4 3
33 3 13
 132 2 6 13 0 63
6
Bat phuong trinh
+ >+ ≤ 
⇔ − ≥ + ⇔ ∪ 
− ≥ − ≥ + 
≤ −≤ − > −  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −  ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ − 

∪
xx
x x
x x x
x
x x
x
x x x x
Vậy kêt luận : 
13
6
3
x
x
 ≤ −

≥
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
1) 2 1 8
2) 2 6 1 2 0
3) 6 5 8 2
4) 3 2 8 7
5) 2 1
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải : 
1. 
2
2
88 0
1 1(1) 2 1 0 5
2 2
2 1 (8 ) 18 65 0
≤
 − ≥ 
 
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ 
 
− ≤ − 
− + ≥
x
x
x x x
x x
x x
2. 
( ) ( )2 222
2
2 02 0(2) 2 6 1 2 
2 6 1 22 6 1 0
2
3 7 2 3 7
 32 22 3 0
3 7
2
− ≥
− < 
⇔ − + > − ⇔ ∪ 
− + > −− + ≥ 
<


− ≥
− ≤⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ > 
− − > + ≥

xx
x x x
x x xx x
x
xx
x x
x x
x
3. 
Tương tự : 3 5x< ≤ 
4. 
ðk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥

− ≥ ⇔ ≤ ≤

− ≥
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 2
(4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7
5
4 2 22 56 11 30 0 
6
⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − −
≤
⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔  ≥
x x x x x x x
x
x x x x
x
Kết luận : 4 5
6 7
x
x
≤ ≤
 ≤ ≤
5. 
ðkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥

+ ≥ ⇔ ≥
 ≥
( )2
(5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1 01 3 3
 1 
0 1 4 ( 1) 3 2 3 3 2 31
3 3
⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +
 + +
< − < − 
− ≥
− ∪ ⇔ ≥  − < +
− + − +  < ≤ < 
 
x x x x x x x x x x
x xxx o
x
x x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Kết luận : 3 2 3
3
x
− +
> 
Bài 2: Giải các bpt sau : 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1) ( 3 ). 2 3 2 0
22) 21 3) 4
3 9 2 1 1
− − − ≥
 −
− + + +
x x x x
x x
x x
x x
Bài giải : 
1. 
2
2
2
122 3 2 0 21(1) 22 3 2 0 2
33 0 1
2
2
0 3





= ≤ − 
− − =
 
⇔ ⇔ = − ⇔ = − − > 
  ≥
− ≥ 
 
 ≤ ∪ ≥
x x
x x
x xx x
xx x
x
x
x x
2. 
ðk :
99 2 0
2
3 9 2 0 0
x x
x
x
+ ≥ ≥ − 
⇔ 
− + ≠  ≠
Khi ñó : 
( )22
2
2 3 9 2 7(2) 21 9 2 4 
4 2
+ +
⇔ < + ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x
x
Kết luận : 
9 7
2 2
0
x
x

− ≤ <

 ≠
3. 
ðk: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ − 
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt 
+) Xét 0x ≠ : 
( ) ( )
22
2
2
1 1
(3) 4 1 1 4 2 2 1 4
1 3 1 9 8
− +
⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x x
x
x x x
Kết luận : 1 8x− ≤ < 
Chú ý : Dạng 
( ) 0
( ). ( ) 0 ) ) 0
( ) 0
 =

≥ ⇔ >
 ≥
g x
f x g x g x
f x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 
23 4 2 2− + + + <x x
x
Bài giải : 
ðk :
41
3
0
x
x

− ≤ ≤

 ≠
: 
+) Xét : 40
3
x< ≤ : 
2
23 4 2 2 3 4 2 2Bpt − + + +⇔ < ⇔ − + + < −x x x x x
x
( )2 22
2 2 0 1 9
77 9 03 4 2 2
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ > 
− >− + + < − 
x x
x
x xx x x
Vậy bpt có nghiệm : 9 4
7 3
x< ≤ 
+) Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng 
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <

 < ≤

Bài 4: 
2 2 2
2 2 2
2
1) 3 2 4 3 2 5 4
2) 8 15 2 15 4 18 18
3) 1 1 2
4
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
Bài giải : 
1. 
ðk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x
x x x x
x x
 − + ≥

− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥

− + ≥
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 4Bpt ⇔ − − + − − ≥ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 1 là nghiệm 
+) Xét x <1 : 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −x x x x x x x x x 
Ta có : 12 3 4 4 2 4 , <− + − < − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . 
+) Xét : 4 :x ≥ 
(*) 2 3 2 4⇔ − + − ≥ −x x x 
Ta có : 42 3 4 4 2 4, ≥− + − ≥ − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra : 4 :x ≥ , bất pt luôn ñúng . 
Vậy nghiệm của bpt là : 1
4
x
x
=
 ≥
2. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
ðiều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x
 − + ≥
= 
+ − ≥ ⇔  ≤ − ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( )5 3 5 3 (4 6)( 3)Bpt ⇔ − − + + − ≤ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5x ≤ − 
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )22 2 2
(*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4
175 5 2 25 6 4 25 3 25 3 
3
⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra : 5x ≤ − là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5≥x 
2 2 17(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3
3
⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x 
Suy ra : 175
3
x≤ ≤ là nghiệm của bpt . 
Kết luận : Nghiệm của bpt ñã cho là : 
5
3
175
3
x
x
x

 ≤ −

=

≤ ≤

3. 
ðk: 1 0 1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
: 
Khi ñó : 
( )
( ) [ ]
4 4
2 2 2 2
42
2
1;1
1 1 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
 1 1 0
16
Bpt
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
x
x x
x x x x x x
x
x
Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x− ≤ ≤ 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
PHuchoaNG PHÁP %T &N PHuhoanang 
Bài 1: Giải bpt sau : ( ) ( ) 21 4 5 5 28 (1)+ + < + +x x x x 
Bài giải : 
ðặt : 2 5 28, 0t x x t= + + > ( Do 2 5 28 0, )x Rx x ∈+ + > ∀ 
Khi ñó : 2 2(1) 24 5 5 24 0 0 8⇔ − 0 ) 
2 20 5 28 8 5 36 0 9 4⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <x x x x x 
Kết luận : -9 < x < 4 
Bài 2: Giải bpt sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)+ + − + + − < −x x x x x 
Bài giải : 
ðk: 7 7 0 6
7 6 0 7
x
x
x
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
: 
ðặt : 
( ) ( )
( )( )
2
2
7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
= + + − ≥ ⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
t x x t t x x x x
x x x t
Khi ñó : 
2 2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181
182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13
6 12 649 7 42 84 7 67
76
⇔ + + − + + + − < ⇔ + − <
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <
 ≤ <
⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <
 <
x x x x x t t
t t t t x x
x
x x x x
x
Kết luận : 6 6
7
x≤ < 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 3 13 2 7 (1)
22
+ < + −x x
xx
ðk : x > 0: 1 1(1) 3 2 7(2)
42
x x
xx
   
⇔ + < + −  
  
ðặt : 2 21 1 1 12 . 2 1 1
4 42 2
= + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −t x x t x x t
x xx x
Khi ñó : ( )2 2 1(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3)
2
⇔ ⇔ > ≥ + >t t t t t t x
x
ðặt : , 0= >u x u 
( ) 21 3 7 3 73 3 2 6 1 0 0
2 2 2
3 7 3 7 8 3 7 8 3 70 0
2 2 2 2
− +
⇔ + > ⇔ − + > ⇔ 
− + − +
⇔ ⇔ 
u u u u u
u
x x x x
Kết luận : 8 3 7 8 3 70
2 2
x x
− +
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2 2
2 2
2 2
1) 3 6 4 2 2
2) 2 4 3 3 2 1
3) 3 5 7 3 5 2 1
+ + < − −
+ + − − >
+ + − + + ≥
x x x x
x x x x
x x x x
Bài giải : 
1.ðặt :
2
2 2 2 2 2 43 6 4, 0 3 6 4 3( 2 ) 4 2
3
−
= + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + = tt x x t t x x x x x x 
Khi ñó : ( )
2
2 241 2 3 10 0 0 2( 0) 0 3 6 4 2
3
−
⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + <tt t t t t x x 
2 2 23 6 4 4 ( 3 6 4 0) 3 6 0 2 0⇔ + + ⇔ + < ⇔ − < <x x do x x x x x 
2.ðặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3= − − ≥ ⇒ = − − ⇒ + = −t x x t t x x x x t 
Khi ñó : ( ) ( )2 2 52 2 3 3 1 2 3 5 0 0 (do t 0)2⇔ − + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ≥t t t t t 
2
2
3 150 3 2 3 1252 3 2
4
− ≤ ≤

⇔ ≤ − − < ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
x
x x x
x x
3. ðặt : 2 2 23 5 2, 0 3 5 2= + + ≥ ⇒ + = −t x x t x x t 
Ta ñược : 
( )22 2 2 25 1 5 1 5 1 2 4 2 0 3 5 2 2+ − ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + ≤t t t t t t t t x x 
2
2
2 2 113 5 2 0 3
 2 113 5 2 4 2 3 33
−
− ≤ ≤ −≤ − ∪ ≥  + + ≥  ⇔ ⇔ ⇔
−   ≤ ≤+ + ≤ 
− ≤ ≤ 
xx x
x x
xx x
x
Bài 2: Giải các bpt sau : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
31) 2 1 2 1
2
5 12) 5 2 4
22
13) 2 3
1
+ − + − − >
+ < + +
+
− >
+
x x x x
x x
xx
x x
x x
Bài giải : 
1. ( ) ( ) ( )2 2 31 1 1 1 1 2x x⇔ − + + − − > 
ðk : 1x ≥ : 3Bpt 1 1 1 1
2
⇔ − + + − − >x x 
ðặt : 1, 0t x t= − ≥ 
Khi ñó : 
31 1 (2)
2
3 3) 1: (2) 2 1 1 (do t 1) 2
2 4
3) 0 1: (2) 2
2
⇔ + + − >
+ ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥
+ ≤ 
t t
t t t x x
t
Vậy :
1
0 1 1
2
x
x
x
≥
≤ − ≤ ⇔  ≤
Kết luận : 1x ≥ 
2. ðk : x > 0. ( ) 1 12 5 2 4(3)
22
x x
xx
 
⇔ + < + + 
 
ðặt : 21 1 12 . 2, 2 1
42 2
= + ≥ = ≥ ⇒ + = −t x x t x t
xx x
Khi ñó : ( ) ( )2 2
1
3 5 2 1 4 2 5 2 0 2
2

 ⇔

>
t
t t t t
t
Do ñk: Ta có 1 2 2 4 1 0
2
+ > ⇔ − + >x x x
x
ðặt : , 0u x u= > 
Ta ñược : 2u2 – 4u + 1> 0 
2 2 2 2 3 2 20 0
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2
  
− − −
< < < < <  
  ⇔ ⇔ ⇔
  + + +
> > >  
  
u x x
u x x
3. ðk: 1 0 :x x 
ðặt: 2
1 1
, 0 
1
+
= > ⇒ =
+
x x
t t
x x t
Ta ñược : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
( )( )3 2 221 2 3 2 3 1 0 1 2 1 0
1 1 1 40 (do t 0) 0 1
2 2 3
− > ⇔ + − < ⇔ + + − <
+
⇔ ⇔ < < ⇔ − < < −
t t t t t t
t
x
t x
x
Bài 3: Giải bpt sau:
2
35
121
x
x
x
+ >
−
Bài giải : 
ðk: 2 11 0
1
x
x
x
< −
− > ⇔  >
+) Xét x < -1 :bpt VN 
+) Xét x > 1 : ( )
2 2 4 2
2
2 22 2
1225 12251 2. 2. 0 (2)
1 144 1 1441 1
⇔ + + > ⇔ + − >
− −
− −
x x x x
x
x xx x
ðặt : 
2
, 0
2 1
= >
−
x
t t
x
21225 25 252 4 2(2) 2 0 (do t 0) 144 625 625
144 12 122 1
25 520 1
16 44 2
 144 625 625 0 (do x 1)5252
39
 
 
 
 
 
⇔ + − > ⇔ > > ⇔ > ⇔ > −
−
≤ < < <
⇔ − + > ⇔ ⇔ >
>>
x
t t t x x
x
x x
x x
xx
****************HẾT***************