Bài tập Casiô

Bài tập Casiô
Bài 1. Cho đa thức P(x) = 2x4 + x3 -15x2+5x-13
Tìm số dư khi chia P(x) lần lượt cho x-3; 2x+3; và tích (x-3).(2x+3)
Bài 2 Cho đa thức P(x) = (x2+x+1)2000 sau khi triển khai và ước lượng các hạng tử đồng dạng ta có: P(x) = a0 + a1x +  + a4000x4000
Gọi A là tổng các hệ số bậc chẵn, B là tổng các hệ số bậc lẻ? A, B là số chẵn hay số lẻ
Bài 3 Cho đa thức bậc 4 P(x) = -3x4 + ax3 + bx2 + cx + d có P(1) = 12; P(2)= 27; P(3) = 52; P(4 )=87. Tính P(5); P(6); P(7); P(8);P(2008)
Đặt Q(x) = P(x) – (5x2 + 7).
 Kết quả: P(2008) = -48.530.131.670.193
Bài 4 Cho đa thức 
P(x) = x5+a x4 + bx3 + cx2 + dx + e. có P(1) = 15; P(2)=21; P(3)= 31; P(4)= 45. 
Tính A = 
Đặt Q(x) = P(x) –(2x2 +13) Khi đó Q(1)= Q(2)= Q(3)= Q(4)= 0
Chứng tỏ: Q(x) = P(x) –(2x2 +13) chia hết cho (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
Vì P(x) có bậc 5 nên Q(x) có bậc 5 Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r) và 
P(x) = Q(x) +(2x2 +13) hay P(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r) +(2x2 +13)
Ta có: P(50) = 49484746(50-r)+2502 +13 và 
P(-45) = (-46)(-47)(-48) (-49)(-45-r)+2(-45)2+13
 A = = = 
Bài 5 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx - 4022008 có P(1) = 1; P(2)=10; P(3)= 25. Tính giá trị của P(x) khi x = 123
Đặt Q(x) = P(x) – (3x2 - 2) ta có: Q(1) = 0; Q(2) = 0; Q(3) = 0; Q(4) = 0 chứng tỏ
x = 1;2;3;4 là nghiệm của Q(x) nên Q(x) có dạng:
Q(x) = P(x) – (3x2 - 2) = (x-1)(x-2)(x-3).R(x)
Vì Q(x) có bậc 4 nên R(x) chỉ có thể có bậc cao nhất là 1. Giả sử R(x) = (x-r)
 Q(x) = P(x) – (3x2 - 2) = (x-1)(x-2)(x-3).(x-r).
Tính Q(0)= P(0) – (3.0 -2) = (0-1)(0-2)(0-3).(0-r)
	 0 – 4022008 – 0 + 2 = 6r
 r = - 670335
Kết quả r = -670335 Vậy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).(x+670335)+(3x2-2) 
P(123)= 1.187.676.164.905
Bài 6 Cho đa thức P(x) = 2x5 - 3x2+1 có 5 nghiệm x1; x2; x3. x4 , x5. Ký hiệu Q(x) = x2- 5. 
Tính: A = Q(x1). Q(x2). Q(x3). Q(x4). Q(x5).
Kết quả A= -12304
Bài 7 Tìm đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm nhỏ hơn 9 thoả mãn f(9) = 4022009.
Kết quả f(x)= 7x6+5x5+x4+x2+3x+8
Bài 8 Cho đa thức f(x) xác định với mọi x Z và f(x2-1) = 3x4 + 6x2 -4. Tính chính xác f(422009)
Kết quả f(x) = 3x2 + 12x+5 và f(422009) = 534.279.852.356
Bài 9 Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi xuất 0.9%/tháng với phương thức trả gốc và lãi hàng tháng trong kỳ hạn 36 tháng. Hỏi hàng tháng người đó phải trả một số tiền cố định là bao nhiêu để đúng tháng thứ 36 thì hết nợ. 
HD
 Gọi số tiền Anh ta nợ ban đầu là A, lãi xuất phải trả là r%/tháng, hàng tháng Anh ta trả số tiền là x.
- Sau tháng thứ nhất Anh ta trả lãi và x đồng nên còn nợ số tiền 
 T1 = với 
 - Sau tháng thứ hai Anh ta nợ số tiền T2 = 
- Sau tháng thứ ba Anh ta nợ số tiền 
T3 = 
...
- Sau tháng thứ n Anh ta nợ số tiền 
Sau n tháng Anh ta trả xong nợ nghĩa là Tn = 0 hay: 
áp dụng với A = 100.000.000; r = 0.009; n = 36 ta có: x=2.339.625 đ
 Vậy hàng tháng Anh ta phải trả số tiền cố định là 2.339.625 đồng.
Bài 10. 
a) Tìm tất cả các số hữu tỷ a,b sao cho x = là nghiệm của PT x3+ax2+bx- 4 = 0
b) Gọi x1; x2; x3 là 3 nghiệm của pt ứng với a, b tìm được. Đặt Sn = x1n+ x2n+x3n. CMR Sn là số nguyên với mọi n là số tự nhiên.
KQ: 	a) PT: x3-7x2+10x- 4 = 0
	b) Sn+2 = 1 + 6Sn+1 - 4Sn Với S0 = 2; S1 = 6; S2 = 28; S3 = 144 và Sn+2 = 1 + 6Sn+1 - 4Sn nên Sn là số nguyên 
Bài 11. 
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
a) x2 – xy – 6y2 + 2x – 6y – 10 = 0 (Đưa về dạng (x - 3y)(x + 2y + 2) = 10)
b) 
thì vế trái của (*) là số hữu tỷ, VP là số vô tỷ 
có hệ PT
c) (x2+y)(y2+x)=(x-y)3