Bài tập Giải tích 12: Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

) sao cho khoảng cách từ M 
đến d là nhỏ nhất. 
a) 4 2( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= - + + = - b) 
2 4 5( ) : ; : 3 6
2
x xC y d y x
x
+ +
= = - -
+
c) 2( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= - = + d) 1( ) : ; : 2 3
1
xC y d y x
x
+
= = - +
-
Bài 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước. 
a) 2( ) : ; 1
2
xC y k
x
+
= =
-
 b) 
2 1( ) : ; 1
1
x xC y k
x
+ -
= =
-
c) 
2 1( ) : ; 2
1
x xC y k
x
+ -
= =
-
 d) 
2 2 2( ) : ; 2
1
x xC y k
x
+ +
= =
+
Bài 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai 
tiệm cận là nhỏ nhất. 
a) 2( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 b) 2 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 
2 2( ) :
3
x xH y
x
+ -
=
-
 e) 
2 1( ) :
2
x xH y
x
- +
=
-
 f) 
2 3 3( ) :
2
x xH y
x
+ +
=
+
Bài 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục 
toạ độ là nhỏ nhất. 
a) 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 b) 2 1( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 
2 11( ) :
1
x xH y
x
+ -
=
-
 e) 
2 3( ) :
2
xH y
x
-
=
-
 f) 
2 6( ) :
3
x xH y
x
+ -
=
-
Bài 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của 
hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
a) 
2 2 2( ) :
1
x xH y
x
+ +
=
-
 b) 
2 1( ) : ; 1
1
x xH y x
x
- +
= >
-
Bài 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ 
dài AB là nhỏ nhất. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 46 
a) 1( ) :
1
xH y
x
-
=
+
 b) 2 3( ) :
2
xH y
x
+
=
-
 c) 4 9( ) :
3
xH y
x
-
=
-
d) 1( ) : 2 1H y x
x
= + + e) 
2 3 3( ) :
1
x xH y
x
- +
=
-
 f) 
2 2 5( ) :
1
x xH y
x
- +
=
-
Bài 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là 
nhỏ nhất. 
a) 
2 6 4( ) : ; :
1
x xH y d y k
x
+ -
= =
+
 b) 1( ) : ; : 2 0
1
xH y d x y m
x
+
= - + =
-
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 47 
Bài 1. Cho hàm số: 3 2 4,y x ax= + - a là tham số. 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3. 
 b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 3 2 4 0x ax+ - = 
 ĐS: b) a < 3. 
Bài 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 26 9 1y x x x= - + - . 
 b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ 
thị của hàm số? 
 ĐS: b) một tiếp tuyến. 
Bài 3. Cho hàm số: 3 3 (1)y x x= - 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình: 
( 1) 2y m x= + + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các 
giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao 
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. 
 ĐS: b) 2( 1; 2); 1 2
3
A m- = - + 
Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4 22 1 (1)y x x= - - 
 b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt. 
4 2
42 1 log (2)x x m- - = 
 ĐS: b) 4 < m < 16. 
Bài 5. Cho hàm số: 4 25 4 (1)y x x= - + 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 
điểm phân biệt. 
 c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có 
độ dài bằng nhau. 
 ĐS: b) 9 4
4
m- < < c) 7
4
m = 
Bài 6. Cho hàm số: 4 21 3
2 2
y x mx= - + (1) 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 30;
2
A
ỉ ư
ç ÷
è ø
 tiếp xúc với (C). 
 c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 
 ĐS: b) 3 3; 2 2
2 2
y y x= = ± + c) m £ 0. 
VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 48 
Bài 7. Cho hàm số: 3 4 ( )
1
xy H
x
+
=
-
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
 b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)? 
 c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H). 
 ĐS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59. 
Bài 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị 2 ( )
1
xy C
x
-
=
-
. 
 b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2). 
 ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2). 
Bài 9. Cho hàm số: 12 ( )y x C
x
= - + 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 
 b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. 
 c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) 
vuông góc với nhau. 
 ĐS: b) 1 1;
2 2
M
ỉ ư
ç ÷
è ø
 c) 2 5.k = - ± 
Bài 10. Cho hàm số: 
2 2( 1) 4 4 2
( 1)
x m x m my
x m
- + + - -
=
- -
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2. 
 b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥) 
 ĐS: b) 2 3 3
7 2
m- £ £ 
Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
. 
 b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M 
với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn 
AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). 
 ĐS: b) 2 2.IABS = 
Bài 12. Cho hàm số: 
2 2 2 11 ( )
1 1
x xy x C
x x
+ +
= = + +
+ +
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 
 b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với 
tiệm cận xiên của nó. 
 ĐS: b) 1 2
2 3 2 2 3 21 ; ; 1 ;
2 2 2 2
M M
ỉ ư ỉ ư
- + - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 13. Cho hàm số: 
2 ( 1) 1 ( )m
x m x mxy C
x m
+ + - +
=
-
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2. 
 b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở 
câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 49 
 c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực 
đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. 
 ĐS: b) 9 2
2
 c) 3 2 3 3 2 3m hay m - + 
Bài 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2 4 1
2
x xy
x
+ +
=
+
 b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + 6 = 0 là 
nhỏ nhất. 
 ĐS: b) 1 2
3 5 5 5; ; ;
2 2 2 2
M M
ỉ ư ỉ ư
- - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Bài 15. Cho hàm số: 
22 2
1
x mxy
x
+ -
=
-
 với m là tham số. 
 a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị 
của hàm số trên có diện tích bằng 4. 
 b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3. 
 ĐS: a) m = –6 hay m = 2. 
Bài 16. Cho hàm số: 
2 1x xy
x
+ +
= . 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 
 b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm: 
4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t- - + - - + = 
 ĐS: b) 3 7 .
2 2
m hay m£ - ³ 
Bài 17. Cho hàm số: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= - + + - + - (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k- + + - = có 3 nghiệm phân biệt. 
 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 
 ĐS: b) 1 3; 0; 2;k k k- < < ¹ ¹ c) 22y x m m= - + 
Bài 18. Cho hàm số: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + (1) (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 
 ĐS: b) 3 0 3.m hay m< - < < 
Bài 19. Cho hàm số: 
2(2 1) (1)
1
m x my
x
- -
=
-
 (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. 
 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 
 c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. 
 ĐS: b) 41 4 ln
3
S = + c) m ¹ 1. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 50 
Bài 20. Cho hàm số: 
2
1
mx x my
x
+ +
=
-
 (1) (m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có 
hoành độ dương. 
 ĐS: b) 1 0.
2
m- < < 
Bài 21. Cho hàm số: 3 23y x x m= - + (1) (m là tham số) 
 a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 
 b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 
 ĐS: a) m > 0. 
Bài 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 2 4 (1)
2
x xy
x
- +
=
-
 b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm 
phân biệt. 
 ĐS: b) m > 1. 
Bài 23. Cho hàm số: 
2 3 3
2( 1)
x xy
x
- + -
=
-
 (1) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1. 
 ĐS: b) 1 5
2
m ±= . 
Bài 24. Cho hàm số: 3 21 2 3 (1)
3
y x x x= - + có đồ thị (C) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp 
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
 ĐS: b) 8: ; 1.
3
y x k= - + = -D 
Bài 25. Cho hàm số: 3 23 9 1 (1)y x mx x= - + + (với m là tham số) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 
 b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. 
 ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.