Bài tập Giải tích 12: Nguyên hàm tích phân

iá trị tuyệt đối của hàm số 
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: 
 Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm 
 được 2 nghiệm c, d (c < d). 
 Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx= + +ị ị ị ị 
 = ( ) ( ) ( )
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx+ +ị ị ị 
 (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) 
 · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) 
 – Hai đường thẳng x = c, x = d. 
 ( ) ( )
d
c
S g y h y dy= -ị 
2. Thể tích vật thể 
 · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm 
các điểm a và b. 
 S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại 
điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. 
 Thể tích của B là: ( )
b
a
V S x dx= ị 
 · Thể tích của khối tròn xoay: 
 Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 97 
 (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) 
 sinh ra khi quay quanh trục Ox: 
 2 ( )
b
a
V f x dx= ịp 
 Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
quay xung quanh trục Oy: 
 (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d 
 là: 2 ( )
d
c
V g y dy= ịp 
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng 
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 4 6, 0, 2, 4y x x y x x= - - = = - = b) ln 1, 0, ,xy y x x e
x e
= = = = 
 c) 
1 ln
, 0, 1,
x
y y x x e
x
+
= = = = d) ln , 0, , 1
2
xy y x e x
x
= = = = 
 e) 1ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = = f) 3 , 0, 2, 1y x y x x= = = - = 
 g) 
4
1, 0, 0,
21
xy y x x
x
= = = =
-
 h) 1lg , 0, , 10
10
y x y x x= = = = 
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 3 1 , 0, 0
1
xy y x
x
- -
= = =
-
 b) , 2 , 0y x y x y= = - = 
 c) , 2, 1xy e y x= = = d) , 2 0, 0y x x y y= + - = = 
 e) 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = - - = f) 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= - + = - + = - 
 g) 
2
2 27, ,
27
xy x y y
x
= = = h) 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = - - = 
 i) 2 2 , 2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = k) 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x= - + - = - + - = - 
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 1, , 0,y x y y x e
x
= = = = b) sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x= - = = = p 
 c) 25 , 0, 3 , 0xy y y x x-= = = - = d) 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= - = + - = = 
 e) , 0, 4y x y y x= = = - f) 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= - + = + + = 
 g) , 2 , 0y x y x y= = - = h) 
2
1 , , 1x
x
y y e x
e
-
-
= = = 
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 24 , 2y x y x x= - = - b) 2 4 3 , 3y x x y x= - + = + 
 c) 2 21 1, 3
4 2
y x y x= = - + d) 
2
2
1 ,
21
xy y
x
= =
+
 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 98 
 e) 2, 2y x y x= = - f) 2 22 , 4y x x y x x= - = - + 
 g) 
2
2
1,
2 1
xy y
x
= =
+
 h) 23 , 0y x y
x
= + + = 
 i) 2 2 , 2y x x y x= + = + k) 2 2, 4y x y x= + = - 
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 2,y x x y= = - b) 2 5 0, 3 0y x x y+ - = + - = 
 c) 2 2 0, 0y y x x y- + = + = d) 2 2 1, 1y x y x= + = - 
 e) 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = f) 2( 1) , siny x x y= + = p 
 g) 2 2 26 , 16y x x y= + = h) 2 3 2(4 ) , 4y x y x= - = 
 i) 3 1 0, 1 0x y x y- + = + - = k) 2 2 28, 2x y y x+ = = 
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) . ; 0; 1; 2.xy x e y x x= = = - = b) 2. ln ; 0; 1; .y x x y x x e= = = = 
 c) ; ; 1.x xy e y e x-= = = d) 25 ; 0; 0; 3 .xy y x y x-= = = = - 
 e) 5( 1) ; ; 1.xy x y e x= + = = f) 1ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = = 
 g) 2sin cos , 0, 0,y x x y x x= + = = = p h) sin ; ; 0; 2 .y x x y x x x= + = = = p 
 i) 2sin ; ; 0; .y x x y x x= + = p = = p k) 2sin sin 1, 0, 0,
2
y x x y x x p= + + = = = 
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 
2
1( ) :
2
C y x
x
= + , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3. 
 b) 
2 2 1( ) : , 0
2
x xC y y
x
+ +
= =
+
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 
 c) 3 2( ) : 2 4 3, 0C y x x x y= - + - = và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. 
 d) 3( ) : 3 2, 1C y x x x= - + = - và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. 
 e) 2( ) : 2C y x x= - và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). 
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể 
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay 
quanh trục Ox: 
 a) sin , 0, 0,
4
y x y x x p= = = = b) 3 21 , 0, 0, 3
3
y x x y x x= - = = = 
 c) 6 6sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x p= + = = = d) , 4y x x= = 
 e) 3 1, 0, 1, 1y x y x x= - = = - = f) 2 ,y x y x= = 
 g) 
2 3
,
4 8
x xy y= = h) 2 4 , 2y x x y x= - + = + 
 i) sin , cos , ,
4 2
y x y x x x= = = =p p k) 2 2( 2) 9, 0x y y- + = = 
 l) 2 24 6, 2 6y x x y x x= - + = - - + m) ln , 0, 2y x y x= = = 
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 99 
Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay 
quanh trục Oy: 
 a) 2 , 1, 4x y y
y
= = = b) 2 , 4y x y= = 
 c) , 0,xy e x y e= = = d) 2 , 1, 2y x y y= = = 
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay 
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy 
 a) 2( 2) , 4y x y= - = b) 2 2, 4 , 4y x y x y= = = 
 c) 
2
1 , 0, 0, 1
1
y y x x
x
= = = =
+
 d) 22 , 0y x x y= - = 
 e) . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = f) 2 ( 0), 3 10, 1y x x y x y= > = - + = 
 g) 2 ,y x y x= = h) ( )2 2 – 4 1 x y+ = 
 i) 1
49
22
=+
yx k) 1, 2, 0, 0y x y y x= - = = = 
 l) 2 0, 2, 0x y y x- = = = m) 2 3, 0, 1y x y x= = = 
 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 100 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -
2
0
2 dxxx b) 
3 7
8 4
2 1 2
x dx
x x+ -
ị c) 
3
2
1
2 1x x dx- +ị 
 d) 
22
1
1
2
x dx
x-
ỉ ư-
ç ÷+è ø
ị e) 
5
3
( 2 2 )x x dx
-
+ - -ị f) 
1
2
0 2 5 2
dx
x x+ +
ị 
 g) 
1
2
0 ( 1)
xdx
x +
ị h) 
0
2
1 2 4
dx
x x- + +
ị i) 
2 3 2
2
0
2 4 9
4
x x x dx
x
+ + +
+
ị 
 k) 
1 3
2
0 1
x dx
x +
ị l) 
1
2
0 1
xdx
x+
ị m) 
1
3
0 ( 1)
xdx
x +
ị 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -+
2
1 11
dx
x
x b) 
3
3 2
0
1x x dx+ị c) 
9
3
1
1x x dx-ị 
 d) 
3 5 3
20
2
1
x x dx
x
+
+
ị e) 
4
1
2
5 4
dx
x- + +
ị f) 
2 4
50 1
x dx
x +
ị 
 g) 
2
2 2
0
4x x dx-ị h) 
2
1 2 2
xdx
x x+ + -
ị i) 
0
1
1x x dx
-
+ị 
 k) 
3
2 3
0
1 .x x dx+ị l) 
1
3 2
0
3x x dx+ị m) 
3
1
3
3 1 3
x dx
x x-
-
+ + +
ị 
 o) 
1
5 2
0
1x x dx-ị p) 
3
3 3
0
1 .x x dx+ị q) 
7/3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+
ị 
 r) 
1 2
230 ( 1)
x x dx
x
+
+
ị s) 
10
5 2 1
dx
x x- -
ị t) 
1
3 2
0
1x x dx-ị 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
 a) 
/ 4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x dx
x
p -
+ị b) 
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x dx
x
p +
+
ị c) 
/2
0
sin 2 cos
1 cos
x x dx
x
p
+ị 
 d) 
/2
2 20
sin 2
cos 4sin
x dx
x x
p
+
ị e) 
/2
0
sin sin 2 sin3x x x dx
p
ị f) 
/2
5
0
cos xdx
p
ị 
 g) 
/2
4 4
0
cos2 (sin cos )x x x dx
p
+ị h) 
/3
2/4
tan
cos 1 cos
x dx
x x
p
p +
ị i) 2
0
sin
1 cos
x x dx
x
p
+
ị 
 k) 
/4
2
0
tanx x dx
p
ị l) 
/2
0
sin 2
cos 1
x dx
x
p
+ị m) 
/2
0
sin
1 3cos
x dx
x
p
+ị 
 o) 
/2 2004
2004 2004
0
sin
sin cos
x dx
x x
p
+
ị p) 
/2 3
0
4sin
1 cos
x dx
x
p
+ị q) 
/4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x dx
x
p -
+ị 
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN 
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 101 
 r) 
/2
0
cos3
sin 1
x dx
x
p
+ị s) 
/2
2 20
sin
sin 2 cos cos
2
xdx
xx x
p
+
ị t) 
/3 2
2
0
sin
sin 2 cos
x xdx
x x
p
ị 
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
 a) 
3
2
0
ln( 5)x x dx+ị b) ị -
3
2
2 )ln( dxxx c) 
1
2
0
( 2) xx e dx-ị 
 d) 
/2
sin
0
( cos )cosxe x x dx
p
+ị e) 
ln5
ln3 2 3
x x
dx
e e-+ -
ị f) 2 2
1
ln
e
x x dxị 
 g) 
3
1
1 ln
e x xdx
x
+
ị h) 
1
2
0
( 1) xx e dx+ị i) 
1
0 1
x
dx
e+
ị 
 k) 
2 2
2
0 ( 2)
xx e dx
x +
ị l) 
1
2 2
0
(4 2 1) xx x e dx- -ị m) 
2
2
1
ln(1 )x dx
x
+
ị 
 o) 
/2
3
0
sin 5xe x dx
p
ị p) 2
1
lne x dx
x
ị q) 
1
2
0
ln(1 )x x dx+ị 
 r) 
1
3 2 ln
1 2 ln
e x dx
x x
-
+
ị s) ị
+e dx
x
xx
1
ln.ln31 t) 
3 2
1
ln
ln 1
e x dx
x x +
ị 
Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 3 3 1, 0, 0, 1y x x y x x= - + = = = - b) 4 , 0, 2, 1
2
y y x x
x
= = = - =
-
 c) 4 21 92 , 0
4 4
y x x y= - + + = d) , 2, 1xy e y x= = = 
 e) 1 11 , 0, 2, 4
2 1
y x y x x
x
= - + = = =
-
 f) 2 22 , 4y x x y x x= - = - + 
 g) 2 1 , 0, 0
1
xy y x
x
+
= = =
+
 h) 
2
, 0
1
x xy y
x
- +
= =
+
 m) 
2 3 2 , , 0, 1
1
x xy tiệm cận xiên x x
x
+ -
= = =
+
 n) 
2 2 , 0,
1
x xy y tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ
x
+ -
= =
+
 o) 3 23 3 1y x x x= + + + , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung. 
 p) 31 3
4
y x x= - , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3 . 
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các 
đường sau quanh trục: 
 a) , 0, 3;y x y x Ox= = = b) ln , 0, 1, ;y x x y x x e Ox= = = = 
 c) , 0, 1;xy xe y x Ox= = = d) 2 24 , 2;y x y x Ox= - = + 
 e) 2 4 , 0;y x x Oy= - = f) , 0, 1;yx ye x y Oy= = = 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
transitung_tv@yahoo.com