Bài tập Hình học 12: Khối đa diện

của hình vuông ABCD cạnh a ta 
lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B¢, D¢ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng 
(AB¢D¢) cắt SC tại C¢. Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢. 
 HD: 8
15
SAB C
SABC
V
V
¢ ¢ = Þ VSAB¢C¢D¢ = 
316
45
a 
Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt 
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh: 
 SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
¢ ¢ ¢ ¢
 HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp 
Bài 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH. 
 a) Chứng minh SA ^ BC. 
ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN 
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện 
Trang 11 
 b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC. 
 c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với 
nhau. 
 HD: b) V = 
3 2
12
a ; Stp = a2 3 . 
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh 
đáy bằng a. 
 a) Tính thể tích khối chóp. 
 b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) 
và hình chóp. 
 HD: a) V = 
3 6
6
a b) S = 
2 3
3
a 
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên 
là a. 
 a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h. 
 b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). 
 HD: a) Sxq = 
2
2
4
1
h tan
tan
a
a -
; V = 
3
2
4
3 1
h
(tan )a -
Bài 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 
£ x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, 
người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0). 
 a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc. 
 b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC). 
 c) Tính thể tích khối chóp SABCM. 
 d) Với giả thiết x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM. 
 e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên 
đoạn AD. 
 HD: b) d = 2
2
x c) V = 1
6
ay x a( )+ d) Vmax = 3
1 3
24
a 
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên 
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một 
góc b. 
 a) Chứng minh: SC2 = 
2
2 2
a
cos sina b-
. 
 b) Tính thể tích khối chóp. 
 HD: b) V = 
3
2 23
a sin .sin
(cos sin )
a b
a b-
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và 
vuông góc với mặt phẳng đáy. 
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. 
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF). 
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và 
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD. 
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng 
Trang 12 
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB 
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD= a . 
a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC. 
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD 3a= . Từ trung điểm E của DC 
dựng EK ^ SC (K SC)Ỵ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ 
(EBK). 
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. 
Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA =3a và vuông góc với đáy. 
a) Tính diện tích tam giác SBD. 
b) Tính thể tích của tứ diện tứ diện SBCD theo a. 
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA 
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC. Biết AB = a, BC = 
b, SA = c. 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE. 
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB). 
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên 
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a. 
 a) Xác định góc a. 
 b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: 
3
3
3 3
8
a sin
sin
a
a
. 
 HD: a) ·C BI¢ ¢ với I¢ là trung điểm của A¢B¢ 
Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với 
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ. 
 HD: V = 3 2 1h tan a - , Sxq = 2 24 1h tan a - . 
Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến 
mặt bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a. 
 a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a, ·CAC¢ = a, CK = b. 
 b) Tính thể tích lăng trụ. 
 c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất. 
 HD: b) V = 
3
2 2 22
ab
b asin sina a-
 c) a = arctan 2
2
Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và 
đáy là 600. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. 
 HD: V = a3 6 ; Sxq = 4a2 6 
Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng 
trụ. 
 HD: Sxq = 4h2
1 cos
cos
a
a
- . 
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện 
Trang 13 
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp 
với mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢. 
 a) Chứng minh ·AJI = a. 
 b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. 
 HD: b) V = 
3
2
3
4 3
a
tan a -
; Sxq = 3a2 2
3
3tan a -
. 
Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b. 
 a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ 
nhật. 
 b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600. 
 c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được. 
 HD: b) b = a 7
12
 c) Stp = 
2
7 3 21
6
a ( )+ 
Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt 
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên 
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900). 
 a) Chứng minh: ·A AB¢ = a. 
 b) Tính thể tích lăng trụ. 
 c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ. 
 d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy. 
 Chứng minh: tanb = 2 tana. 
 HD: b) V = 1
2
a3sina c) Sxq = a2(1 + sina + 21 sin a+ ) 
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên 
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho ·BAA¢ = 450. 
 a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ. 
 HD: a) V = 
2 2
8
a b) Sxq = a2(1 + 
2
2
). 
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn 
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số 
đo nhị diện cạnh CC¢ là 2j. 
 a) Tính thể tích lăng trụ. 
 b) Gọi a là góc giữa 2 mp(ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900). 
 Tính j biết a + j = 900. 
 HD: a) V = 
3 3
2
2
3 1
d tan
tan
j
j -
 b) tana = 
2
1
3 1tan j -
; j = arctan 2
2
Bài 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. 
Mặt bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với 
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc a. 
 a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác định góc a. 
 b) Tính thể tích lăng trụ. 
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng 
Trang 14 
 HD: a) 3
2
a . Gọi AK là đường cao của DABC; vẽ KH ^ BB¢. ·AHK = a. 
 b) V = 
33
2
a cota . 
Bài 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo 
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S1, S2. 
 a) Tính diện tích xung quanh hình hộp. 
 b) Biết ·BA D¢ = 1v. Tính thể tích hình hộp. 
 HD: a) Sxq = 2 2 21 2S S+ b) V = 
1 2
2 24
2 1
2
2
S S
S S
.
-
Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD 
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b. 
 a) Chứng minh: · ·CAC và AC Ba b¢ ¢= = . 
 b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos( ).cos( )a b a b+ - 
 c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi 
mà A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất. 
 HD: c) 2(cos2a – sin2b) = 1 ; Vmax = 
3 2
32
d khi a = b = 300 (dùng Côsi). 
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600. Chân 
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của 
đáy. Cho BB¢ = a. 
 a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 
 b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp. 
 HD: a) 600 b) V = 
33
4
a ; Sxq = a2 15 . 
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·BAD = 600; 
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a. 
 a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp. 
 b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢. 
 c) Đặt b = ·( )ABB A ABCD,¢ ¢ . Tính a biết a + b = 
4
p . 
 HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD. 
 b) SBDD¢B¢ = 
2 3
3
a
sina
; SACC¢A¢ = a
2tana c) a = arctan 17 3
4
- 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
transitung_tv@yahoo.com