Bài tập Toán khối 11 - Nguyễn Hữu Hiếu

SAO)	b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong DABC; DABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: 	THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG a VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của a với các 
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của 
các cạnh của đa diện với mặt phẳng a 
	Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
 	Việc chứng minh tiết diện có hình 
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; 
. . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quá trình 
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên 
 	Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
 	 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
 	 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = MD ; ND = NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm DABC ; DDBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
 	 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp 
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp 
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC 
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM 
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp 
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ?	ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm DSAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?	
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm DSAB ; DSAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp 
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD 
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp 
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng a qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. 
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm 
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình 
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm DSAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số 
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính 	HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho 
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ = BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với BC. Mặt phẳng a quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : 	
SA’ = SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định 
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ 
Vấn đề 6 	HAI ĐT SONG SONG
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN //< DE
6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' < AB với M' trên AD; NN' < AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' //< CD	b) M’N<// DF
Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a )a a là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )a a ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.( a )a là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng ( a )a a cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?	 b)Chứng minh SA // a 
7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a )a a di 
động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . 
a)Mặt phẳng ( a )a a cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng ( a )a a khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định 
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a )a a di động thì M di động trên đường thẳng cố định 
7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (µ)a chứa AM và < BD 
a)Chứng minh (µ)a luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC 
b) (µ)a cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn ñề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG
1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
8.1 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi H,I,K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA,SB,SC.
	a) Chöùng minh (HIK)// (ABCD).
	b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa AI vaø KD, N laø giao ñieåm cuûa DH vaø CI .Chöùng minh (SMN) //(HIK).
8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’. 
	a) Chöùng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chöùng minh AC’ qua troïng taâm G vaø G’ cuûa tam giaùc A’BD vaø CB’D’
8.3 Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA ,CD.
	a) Cm: (OMN) //(SBC).
	b) Giaû söû tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE,A F laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc ACD vaø SAB . Cm: E F //(SAD).
8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng . Treân caùc ñöôøng cheùo AC,BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M,N sao cho AM=BN . Caùc döôøng thaúng // AB veõ töø M,N laàn löôït caét AD, A F taïi M’,N’.
	a)Cm: (CBE) //(AD F).
	b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).