Báo Cáo Rút Kinh Nghiệm Học Tập Môn Toán – Lớp 11 Đề Tài Kỹ Thuật Chọn Điểm Rơi Trong Bất Đẳng Thức

B¸o c¸o rót kinh nghiÖm häc tËp
M«n To¸n – Líp 11B6
§Ò tµi: Kü thuËt chän ®iÓm r¬i trong bất đẳng thức
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 
Bài toán 1. Cho , tìm GTNN của 
Giải
Lời giải 1. Ta có: 
Dấu “=” xảy ra . Vậy không tồn tại 
Lời giải 2. Ta có: 
Mặt khác . Vậy 
Dấu “=” xảy ra . 
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức . Lời giải 1 tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách ?..? Làm sao nhận biết được điều đó?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị.
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. 
II.Phương pháp chọn điểm rơi
 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 
 Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
A.Bất đẳng thức Cauchy
Cho số thực không âm ta luôn có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
B.Một vài hệ quả quan trọng:
Cho số dương (): ta có:
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tời điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức tring gian. Và bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:
Ví dụ 1 :Cho a3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+
Phân tích và tìm tòi lời giải
*Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán Min S
a
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
.
30
.
S
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
.
30
	Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến việc dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min S= đạt tại “Điểm rơi : a=3”.
Do bất đẳng thức côsi chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta không thể sử dụng bất đẳng thức côsi trực tiếp cho 2 số a và vì 3. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức côsi cho cặp sốsao cho tại “điểm rơi:a=3”thì tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây:
a=3
Sơ đồ:	
Từ đó ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên.
*Lời giải: S=a+=+2.+=
Vậy với a=3 thì Min S=
Ví dụ 2 : Cho a6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a +
*Sơ đồ điểm rơi :	
a=6
*Lời giải :S=a+=+a 2.+a
	=6.+6.=36 +3
	Vậy với a=6 thì Min S=2a+3.
Ví dụ 3*: Cho , tìm GTNN của biểu thức .
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
.
 Mặt khác . Vậy nên 
Sai lầm 2: 
Dấu bằng xảy ra . Thay vào ta được khi .
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách là do thói
 quen để làm xuất hiện . . Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra không kết luận được 
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi nên đã tách các số hạng và khi là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai.
 Ví dụ như , dấu bằng xảy ra khi .
Lời giải đúng:
 Do P là biểu thức đối xứng với , ta dự đoán đạt tại , ta có:
Dấu bằng xảy ra . 
Ví dụ 4*: Cho , tìm GTNN của biểu thức .
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
Nguyên nhân sai lầm: 
Lời giải đúng
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi , và ta thấy vì thế ta muốn xuất hiện , ta áp dụng bất đẳng thức và nếu vậy:
Ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
Dấu bằng xảy ra khi . 
Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)
Bài 1. Cho , chứng minh rằng , với 
Bài 2. Cho là 3 số thỏa , chứng minh rằng: 
(đề tham khảo 2005)
Bài 3. Cho , tìm GTLN: 
Bài 4. Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: (ĐTK 2005)
Bài 5. Cho , tìm GTNN của các biểu thức sau:
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức này. 
Bất đẳng thức Bunhia
Cho số dương (): ta có:
Dấu “=’ xảy ra 
Một vài hệ quả quan trọng:
*Dạng 1:
*Dạng 2:
*Dạng 3:
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2;dạng 3
	a,b,c>0
Ví dụ 1:Cho
	.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	a+b+c6
	S=
*Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:
	.Dấu bằng xẩy ra
*Ý nghĩa:Chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài căn. Xét đánh giá giả định vói các số α, β
	 (1)
 +	 (2)
	(3)
	Þ	
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
*Sơ đồ: a=b=c=2 Þ	 	
	Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lơi giải sau:
*Lời giải đúng:
	 + 	
Þ S
	Với a=b=c=2 thì Min S=
	 a,b,c > 0
Ví dụ 2: Cho	 Tìm Min của S= 
Bình luận và lời giải
*Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số 
	(1)
	+	(2)
	(3)
	 Þ 
Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức (1), (2), (3) dồng thời xảy ra dáu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây: 
*Sơ đồ điểm rơi:
	a=b=c=2 Þ 	
 Từ đó ta có lời giải sau đây:
*Lời giải đúng:
	 +	
	Þ 
	Với a=b=c=2 thì min S=
Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ Chứng minh rằng 
	S=
Lời giải: 
	Dự đoán điểm rơi: a = b = c = 2
	Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski có:
	+	
	+9(a+b+c)+ab+bc+ca
IV.Kết luận:
Cần chú ý hai bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như có các bình phương thì thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Côsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thông thường. Đầu tiên phải dự đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đoán