Bộ đề ôn thi vào trung học phổ thông môn toán

⇔ a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy ≥ a2xy + 2abxy + b2xy 
⇔ a2y2 + b2x2 ≥ 2abxy 
⇔ a2y2 – 2abxy + b2x2 ≥ 0 
⇔ (ay - bx)2 ≥ 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0 
DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay 
a b
x y
= 
¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 4 4 4 4
2 2x y z x y z x y x z x y x z
         
+ + +         
         
= ≤ + = +
+ + + + + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 1 14 4 4 4
16x y x z x y z
       
                ≤ + + + = + + 
 
T−¬ng tù 
1 1 1 2 1
2 16x y z x y z
 
≤ + + + +  
1 1 1 1 2
2 16x y z x y z
 
≤ + + + +  
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: 
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 2 2 16 16 16
1 4 4 4 4 1 1 1 1
.4 1
16 16 4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
     
+ + ≤ + + + + + + + +     + + + + + +      
   
≤ + + ≤ + + ≤ =   
   
 V× 
1 1 1
4
x y z
+ + = 
( )
2
2
2 2006
0
x x
B x
x
− +
= ≠
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 47
Ta cã:
x
xx
B
x
xx
B
2006
20062006.2200620062 22
2
2
+−
=⇔
+−
= 
( ) ( )
2006
2005
2006
2005200620052006
2
2
2
22
+
+−
⇔
+−
=⇔
x
x
x
xx
B 
V× (x - 2006)2 ≥ 0 víi mäi x 
x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0 
( )2
2
2006 2005 2005
0 2006
2006 2006 2006
x
B B khix
x
−
⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = = 
Bµi 4a. 045EBQ EAQ EBAQ= = ⇒
)) )

 néi tiÕp; Bˆ = 900 gãc AQE = 900 gãcEQF 
= 900 
T−¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450 
 Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 gãc APF = 900 gãc EPF = 900 . 
0,25® 
C¸c ®iÓm Q, P,C lu«n nh×n EF d−íi 1gãc900 nªn 5 ®iÓm E, P, Q, F, C cïng n»m 
trªn 1 ®−êng trßn ®−êng kÝnh EF 0,25® 
b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒gãc APQ = gãc AFE 
 Gãc AFE + gãc EPQ = 1800 
 Tam gi¸c APQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c AEF (g.g) 
2
2 1 1 2
22
APQ
APQ AEE
AEF
S
k S S
S
∆
∆ ∆
∆
 
= = = ⇒ = 
 
c. gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cïng 
ch¾n cung MD) 
L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) 
 gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC) 
 gãc CPD = gãcMDC = gãc CMD = gãcMCD tam gi¸c MDC ®Òu gãc CMD = 
600 
 tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM) 
Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300 
 gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750 
 gãcMAB = 900 – 750 = 150 
Bµi 5 §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 48
 x = -(y + z) 
 x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz 
-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 x3 + y3 + z3 = 3xyz 
 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc 
Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3 
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 49
§Ò 19 
Bµi 1Cho biÓu thøc A = 
2
222 12)3(
x
xx +−
 + 22 8)2( xx −+ 
a. Rót gän biÓu thøc A 
b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Cho c¸c ®−êng th¼ng: 
 y = x-2 (d1) 
 y = 2x – 4 (d2) 
 y = mx + (m+2) (d3) 
a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m. 
b. T×m m ®Ó ba ®−êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy . 
Bµi 3: Cho ph−¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) 
 a. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 
 b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng 
phô thuéc vµo m. 
 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x
2
2 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 
(1)) 
Bµi 4: Cho ®−êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung 
lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c 
tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp 
®−êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE. 
 a. Chøng minh r»ng DE// BC 
 b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp 
 c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F 
 Chøng minh hÖ thøc: 
CE
1
 = 
CQ
1
 + 
CE
1
Bµi 5: Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a
®¸p ¸n 
Bµi 1: - §iÒu kiÖn : x ≠ 0 
a. Rót gän: 44
96 2
2
24
+−+
++
= xx
x
xx
A 
 2
32
−+
+
= x
x
x
- Víi x <0: 
x
xx
A
322 2 −+−
= 
- Víi 0<x ≤ 2: 
x
x
A
32 +
= 
- Víi x>2 : 
x
xx
A
322 2 +−
= 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 50
b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn: 
A nguyªn x2 + 3 xM 
 3 xM => x = }{ 3;1;3;1 −− 
Bµi 2: 
 a. (d1) : y = mx + (m +2) 
 m (x+1)+ (2-y) = 0 
 §Ó hµm sè lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m 



=−
=+
02
01
y
x
=.>



=
−=
2
1
y
x
 VËy N(-1; 2) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ (d3) ®i qua 
 b. Gäi M lµ giao ®iÓm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiÖm cña hÖ 



−=
−=
42
2
xy
xy
 => 



=
=
0
2
y
x
 VËy M (2; 0) . 
 NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3) 
 Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= -
3
2
 VËy m = -
3
2
 th× (d1); (d2); (d3) ®ång quy 
Bµi 3: a. 
'∆ = m2 –3m + 4 = (m - 
2
3
)2 + 
4
7
>0 ∀ m. 
 VËy ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 
 b. Theo ViÐt: 



−=
−=+
3
)1(2
21
21
mxx
mxx
 => 



−=
−=+
622
22
21
21
mxx
mxx
 x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m 
a. P = x1
2 + x1
2 = (x1 + x2)
2 - 2x1x2 = 4(m - 1)
2 – 2 (m-3) 
 = (2m - 
2
5
)2 + m∀≥
4
15
4
15
VËyPmin = 4
15
víi m = 
4
5
Bµi 4: VÏ h×nh ®óng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
 a. S® ∠ CDE = 
2
1
S® DC = 
2
1
S® BD = BCD∠ 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b. ∠ APC = 
2
1
 s® (AC - DC) = ∠ AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQC 
cïng nh×n ®oan AC) 
c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp 
∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) 
∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) 
Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 51
Ta cã: 
PQ
DE
 = 
CQ
CE
 (v× DE//PQ) (1) 
FC
DE
 = 
QC
QE
 (v× DE// BC) (2) 
Céng (1) vµ (2) : 1==
+
=+
CQ
CQ
CQ
QECE
FC
DE
PQ
DE
 => 
DEFCPQ
111
=+ (3) 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 
CECFCQ
111
=+ 
Bµi 5:Ta cã: 
cba
a
++
 < 
ab
a
+
 < 
cba
ca
++
+
 (1) 
cba
b
++
 < 
cb
b
+
 <
cba
ab
++
+
 (2) 
cba
c
++
 < 
ac
c
+
 < 
cba
bc
++
+
 (3) 
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : 
 1 < 
ba
a
+
 + 
cb
b
+
 + 
ac
c
+
 < 2 
 §Ò 20 
Bµi 1: (2®) 
Cho biÓu thøc: 
 P = 1
1
12
:
1
1
43
1
+
−
++








−
+
−
−+
−
x
xx
x
x
xx
x
a) Rót gän P. 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 
Bµi 2: (2®) Mét ng−êi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20 km trong mét thêi 
gian ®[ ®Þnh. Sau khi ®i ®−îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®−êng khã ®i nªn ng−êi ®ã 
gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu[ng ®−êng cßn l¹i, v× thÕ ng−êi ®ã ®Õn B chËm h¬n dù 
®Þnh 15 phót. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ng−êi ®i xe ®¹p. 
Bµi 3: (1,5®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 52



−=+−
=−
mmyx
ymx
12
32
a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 3 
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m[n x + y = 1 
Bµi 4: (3®) Cho nöa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. §iÓm M tuú ý trªn nöa ®−êng 
trßn. Gäi N vµ P lÇn l−ît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB. AP c¾t BN t¹i 
I. 
a) TÝnh sè ®o gãc NIP. 
b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. 
 Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®−îc. 
c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn trßn t©m 
O 
Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®−êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d) 
a) T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é hai ®iÓm ®ã. 
b) T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi. 
--------------------------------------------------- 
(Häc sinh kh«ng ®−îc sö dông bÊt cø tµi liÖu nµo) 
§¸p ¸n 
Bµi 1: (2®) 
a) (1,5®) 
- Thùc hiÖn ®−îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: 
)4)(1(
)1(5
+−
+−
xx
x
 0,75® 
- Thùc hiÖn phÐp chia ®óng b»ng 
4
5
+
−
x
 0,25® 
- Thùc hiÖn phÐp céng ®óng b»ng: 
4
1
+
−
x
x
 0,25® 
- §iÒu kiÖn ®óng: x ≥ 0; x ≠ 1 
 0,25® 
b) (0,5®) 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 53
- ViÕt P = 
4
5
1
+
−
x
 lËp luËn t×m ®−îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0 
 0,5® 
Bµi 2: (2®) 
1) LËp ph−¬ng tr×nh ®óng (1,25®) 
- Gäi Èn, ®¬n vÞ, ®k ®óng 
 0,25® 
- Thêi gian dù ®Þnh 
 0,25® 
- Thêi gian thùc tÕ 
 0,5® 
- LËp luËn viÕt ®−îc PT ®óng 
 0,25® 
2) G¶i ph−¬ng tr×nh ®óng 
 0,5® 
3) ®èi chiÕu kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi ®óng 
 0,25® 
Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hÖ ®óng: 1® 
 b) (0,5®) 
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ®óng 
 0,25® 
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m[n x + y = 1 vµ KL 
 0,25® 
Bµi 4: (3®) VÏ h×nh ®óng 
 0,25® 
a) TÝnh ®−îc sè ®o gãc NIP = 1350 
 0,75® 
b) (1®) 
VÏ h×nh vµ C/m ®−îc gãc NDP = 900 
 0,5® 
 Chøng minh ®−îc tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®−îc. 
 0,5® 
c) (1®) + C/m phÇn thuËn 
 KÎ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®−îc gãc EJF = 450 
 0,25® 
 LËp luËn vµ kÕt luËn ®iÓm J: 
 0,25® 
+ C/m phÇn ®¶o 
 0,25® 
+ KÕt luËn quü tÝch 
 0,25® 
Bµi 5: (1,5®) a) (1®) 
T×m ®−îc ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt: 
 0,5® 
T×m ®−îc to¹ ®é 2 ®iÓm A, B 
 0,5® 
 Bộ đề ôn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 54
b) T×m ®−îc quü tÝch trung ®iÓm I: 






−
=
+
=
−
=
+
=
4
118
2
4
3
2
myy
y
xx
x
BA
I
BA
I
vµ kÕt luËn 
 0,5® 
L−u ý: hai lÇn thiÒu gi¶i thÝch hoÆc ®¬n vÞ trõ 0,25®