Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai - Nguyễn Văn Danh

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM,
HAU GIANG.
LỚP DẠY: 12TN.
Ngày 28 tháng 03 năm 2014
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
BÀI CŨ
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn
bậc hai của w.
1 Căn bậc hai của 0 là 0.
2 w = a 6= 0 có hai khả năng : Nếu a > 0 có hai căn bậc hai là √a
và −√a. Nếu a < 0 có hai căn bậc hai là√−ai và −√−ai
3 w = a+ bi(a, b ∈ R), b 6= 0. Khi đó z = x+ yi(x, y ∈ R) là
một căn bậc hai của w khi
(x+ yi)2 = a+ bi⇐⇒
{
x2 − y2 = a
2xy = b
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
BÀI CŨ
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn
bậc hai của w.
1 Căn bậc hai của 0 là 0.
2 w = a 6= 0 có hai khả năng : Nếu a > 0 có hai căn bậc hai là √a
và −√a. Nếu a < 0 có hai căn bậc hai là√−ai và −√−ai
3 w = a+ bi(a, b ∈ R), b 6= 0. Khi đó z = x+ yi(x, y ∈ R) là
một căn bậc hai của w khi
(x+ yi)2 = a+ bi⇐⇒
{
x2 − y2 = a
2xy = b
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
HOẠT ĐỘNG
Hoạt động 1
Tìm căn bậc hai của số phức
1 −1 + 4√3i.
2 4 + 6
√
5i.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÃ BIẾT
1. Giải phương trình x2 = a2
x2 = a2 ⇐⇒ x2 − a2 = 0
⇐⇒ (x− a)(x+ a) = 0⇐⇒
[
x− a = 0
x+ a = 0
2. Giải phương trình ax2 + bx+ c = 0, (a, b, c ∈ R, a 6= 0)
Ta biến đổi tương đương về dạng
ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ a
(
x2 + 2.x.
b
2a
+
b2
4a2
)
=
b2 − 4ac
4a
⇐⇒
(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
(∆ = b2 − 4ac)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÃ BIẾT
1. Giải phương trình x2 = a2
x2 = a2 ⇐⇒ x2 − a2 = 0
⇐⇒ (x− a)(x+ a) = 0⇐⇒
[
x− a = 0
x+ a = 0
2. Giải phương trình ax2 + bx+ c = 0, (a, b, c ∈ R, a 6= 0)
Ta biến đổi tương đương về dạng
ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ a
(
x2 + 2.x.
b
2a
+
b2
4a2
)
=
b2 − 4ac
4a
⇐⇒
(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
(∆ = b2 − 4ac)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÃ BIẾT
1. Giải phương trình x2 = a2
x2 = a2 ⇐⇒ x2 − a2 = 0
⇐⇒ (x− a)(x+ a) = 0⇐⇒
[
x− a = 0
x+ a = 0
2. Giải phương trình ax2 + bx+ c = 0, (a, b, c ∈ R, a 6= 0)
Ta biến đổi tương đương về dạng
ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ a
(
x2 + 2.x.
b
2a
+
b2
4a2
)
=
b2 − 4ac
4a
⇐⇒
(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
(∆ = b2 − 4ac)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÃ BIẾT
1. Giải phương trình x2 = a2
x2 = a2 ⇐⇒ x2 − a2 = 0
⇐⇒ (x− a)(x+ a) = 0⇐⇒
[
x− a = 0
x+ a = 0
2. Giải phương trình ax2 + bx+ c = 0, (a, b, c ∈ R, a 6= 0)
Ta biến đổi tương đương về dạng
ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ a
(
x2 + 2.x.
b
2a
+
b2
4a2
)
=
b2 − 4ac
4a
⇐⇒
(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
(∆ = b2 − 4ac)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Có ba khả năng :
– Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực
x1,2 =
−b
2a
±
√
∆
2a
– Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = − b
2a
.
– Nếu ∆ < 0 phương trình sẽ không có nghiệm thực mà có hai
nghiệm phức là
x1,2 =
−b
2a
± δ
2a
với δ2 = ∆.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Có ba khả năng :
– Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực
x1,2 =
−b
2a
±
√
∆
2a
– Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = − b
2a
.
– Nếu ∆ < 0 phương trình sẽ không có nghiệm thực mà có hai
nghiệm phức là
x1,2 =
−b
2a
± δ
2a
với δ2 = ∆.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Có ba khả năng :
– Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực
x1,2 =
−b
2a
±
√
∆
2a
– Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = − b
2a
.
– Nếu ∆ < 0 phương trình sẽ không có nghiệm thực mà có hai
nghiệm phức là
x1,2 =
−b
2a
± δ
2a
với δ2 = ∆.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐẶT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải các phương trình :
1 x2 − 2x+ 3 = 0
2 x2 + 2x+ 5 = 0
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
Phương pháp phương trình bậc hai với hệ số phức
Mọi phương trình Az2 +Bz + C = 0 (1) với A,B,C là những số
phức (A 6= 0) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Để giải
phương trình này ta tiến hành các bước như sau :
1 Xét biệt thức ∆ = B2 − 4C.
2 Nếu ∆ 6= 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
z1 =
−B + δ
2A
, z1 =
−B − δ
2A
với δ là một căn bậc hai của ∆.
3 Nếu ∆ = 0 phương trình (1) có nghiệm kép
z1 = z2 =
−B
2A
.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
XEM VÍ DỤ 3 SGK
Ví dụ 3
1 Phương trình z2 − z + 1 = 0 có biệt thức ∆ = −3 nên có hai
nghiệm phân biệt là
1±√3i
2
.
2 Phương trình z2 + (−2 + i)z − 2i = 0 có
A = 1, B = −2 + i, C = −2i và
∆ = (−2 + i)2 − 4.1.(−2i) = 3 + 4i = (2 + i)2
nên có hai nghiệm z1 =
1
2
[(2− i) + (2 + i)] = 2, z2 =
1
2
[(2− i)− (2 + i)] = −i.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
HOẠT ĐỘNG
Hoạt động 2
Giải các phương trình sau :
1 z3 − 1 = 0.
2 z2 + (1− 3i)z − 2(1 + i) = 0
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Hoạt động 3
Xét phương trình bậc hai Ax2 +Bx+ C = 0 trong đó A,B,C là các
số thực. Chứng minh rằng nếu z0 ∈ C là một nghiệm thì z0 cũng là
nghiệm của nó
Định lí cơ bản của đại số
Mọi phương trình a0zn + a1zn−1 + ...+ an−1z + an = 0, với
a0 6= 0;n ∈ N luôn có n nghiệm phức.
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN DANH THPT LUONG TAM, HAU GIANG. LỚP DẠY: 12TN.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI