Chủ đề 1: Cơ sở lí thuyết tập hợp

hỏ hơn 50; 
c) C là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và 
công bội là . 
5. S, S, Đ, Đ. 
6. S, S, Đ, Đ. 
7. Đ, S, Đ, Đ. 
8. Đ, S, Đ, S. 
 Đ, Đ, S, Đ. 
9. (A) = {φ, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}}. 
b) P (A) có 8 phần tử. 
10. a) B = {φ, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}, 
 a4, {a1, a4}, {a2, a4}, {a3, a4}, 
 {a1, a2, a4}, {a1, a3, a4}, {a2, a3, a4}, {a1, a2, a3, a4}}. 
b P(B) có 16 phần tử. 
11. a) Sai; b) Đúng. 
12. Hiển nhiên điều khẳng định đúng với n = 0. Giả sử điều khẳng định 
đúng với n, tức là tập hợp A = {a1, a2, ..., an} có 2n tập con. Ta chứng minh 
tập hợp B = {a1, a2, ..., an, an + 1} có 2n + 1 tập con. Chia các tập con của B làm 
hai loại: 
(i) Các tập con của B không chứa an + 1, 
(ii) Các tập con của B chứa an + 1 
Dễ thấy mỗi loại đều có 2n phần tử. 
Formatted: Heading02
Hoạt động 2.1 
Các phép toán trên các tập hợp 
1. Vì B ⊂ A nên: 
A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ. 
A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}. 
2. a) A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5: 
A ∪ B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, ...}. 
A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau: 
10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A ∩ B là tập hợp 
các bội tự nhiên của 10: 
A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, ...} = {10n : n ∈ N}. 
A \ B là tập hợp các số chẵn không phải là bội của 5: 
A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, ...}. 
A \ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau: 
10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N. 
B \ A là tập hợp các số lẻ bội của 5: 
B \ A = {5, 15, 25, 35, ...} = {10n + 5 : n ∈ N}. 
3. a) V ∩ C là tập hợp các tam giác vuông cân. 
 V ∪ C là tập hợp các tam giác vuông hoặc cân. 
 V \ C là tập hợp các tam giác vuông nhưng không cân. 
 C \ V là tập hợp các tam giác cân nhưng không vuông. 
4. A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: −5 ≤ x ≤ 
−5}; 
A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ 5}; B \ A = {x ∈ R : −5 < x < 0}. 
5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB; 
 c) E = HD; F = BX. 
6. a) Miền II chứa các mảnh bé màu nâu, không phải là hình vuông. 
Miền IV chứa các mảnh hình vuông lớn màu nâu. 
Miền V chứa các mảnh hình vuông màu đỏ và xanh. 
b) Miền II chứa 6 mảnh. 
 Miền IV chứa 2 mảnh. 
 Miền V chứa 8 mảnh. 
Formatted: Heading02
18. Tập hợp A ∪ B có 6 phần tử. 
19. Gọi A là tập hợp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng. 
Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử. 
Gọi B là tập hợp các xe buýt 
 Tập hợp A ∪ B có 37 phần tử. 
B \ A là tập hợp các xe buýt vàng. Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), trong đó B 
\ A và A là hai tập hợp không giao nhau. Từ đó dễ dàng tính được có 9 xe 
buýt vàng. 
20. 4 học sinh chỉ học khá môn Toán, 7 em chỉ học khá môn Văn, 5 em chỉ 
học khá môn Anh; 9 em không học khá môn nào. 
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ 
Hoạt động 3.1 
Quan hệ hai ngôi 
5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}. 
6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/ 
7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), 
(8, 8}. 
8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), ...}. 
9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}. 
10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}. 
11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}. 
12. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 được biểu diễn bởi tập hợp các 
điểm của nửa mặt phẳng nằm phía trên đường phân giác thứ nhất y = x, tập 
hợp R2 được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của mặt phẳng không nằm trên 
đường phân giác thứ nhất. 
14. Đó là quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 
15. R là một quan hệ đối xứng nhưng không phản xạ và không bắc cầu. 
16. Đó là quan hệ phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứng. 
17. Quan hệ R2 trên Y là phản xạ; R1 và R2 không phải là những quan hệ 
phản xạ. 
18. Quan hệ R2 trên Y là đối xứng. Không có quan hệ nào là bắc cầu. 
20. R−1 = {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), ...} 
Formatted: Heading02
 = ((7n, n) : n N*}. 
22. R2 . R1 = {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), ...} 
 = {(3n, n + 5) : n ∈ N*}. 
 R1 . R2 = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), ...} 
 = {(3n − 2, n + 1) : n ∈ N*}. 
Hoạt động 4.1 
Quan hệ tương đương 
1. ~1 chia L0 thành 4 lớp tương đương. 
 ~2 chia L0 thành 2 lớp tương đương. 
 ~3 chia L0 thành 2 lớp tương đương với. 
2. b) Quan hệ tương đương R trên N chia N thành bốn lớp tương đương. 
3. b) {1, 3}~ = {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{, 
 {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}. 
4. b) Tập thương R2/~ là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là 
điểm gốc và điểm gốc. 
5. X/R = {{x} : x ∈ X}. 
6. R không phải là một quan hệ phản xạ. 
7. Không tồn tại một quan hệ tương đương R thoả mãn điều kiện đã nêu vì 
A ∩ C ≠ φ. 
8. X/~ = {A, A2, ..., Am}. 
9. Với mỗi tập con A chứa a của X, Â = {A} (lớp tương đương chứa A là 
tập hợp một phần tử). Mọi tập hợp con của X không chứa a đều tương 
đương với nhau, chúng tạo nên một lớp tương đương của quan hệ ~. Vậy 
P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ , 
trong đó B là một tập con của X không chứa a, là tập hợp tất cả các tập con 
của X không chứa a. 
10. Tập thương C*/R có hai phần tử: Tập hợp các điểm của hai nửa mặt 
phẳng bên phải và bên trái của trục tung tạo nên hai lớp tương đương của 
quan hệ R. 
Hoạt động 5.1 
Quan hệ thứ tự 
1. B) ≤ là quan hệ toàn phần. 
2. Đó không phải là một quan hệ toàn phần. 
3. b) Không. 
Formatted: Heading02
Formatted: Heading02
4. b) Không. 
5. R không phản đối xứng. 
6. Ba quan hệ thứ tự. 
7. a) 40 là phần tử tối đại; 2 và 5 là những phần tử tối tiểu. 
b) 40 là phần tử lớn nhất của X; X không có phần tử nhỏ nhất. 
8. 35 là giá trị lớn nhất của X; 39 là giá trị nhỏ nhất của x. 
9. RC là quan hệ thứ tự trên C. 
10. b) Mỗi phần tử của X đều là một phần tử tối đại, đồng thời là phần tử 
tối tiểu. Tập hợp sắp thứ tự X không có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ 
nhất. 
a, e, f là các phần tử tối tiểu của Y; c là phần tử tối đại, cũng là phần tử lớn 
nhất của Y. 
13. b) D1 là phần tử tối tiểu; D3 là phần tử tối tiểu, cũng là phần tử tối đại. D4 
là phần tử tối đại. Tập sắp thứ tự X không có phần tử nhỏ nhất và không có 
phần tử lớn nhất. 
14. A là dây xích, B không phải là dây xích. 
15. 1 là phần tử chặn dưới của A; 
Các số 77n, n ∈ N* là các phần tử chặn trên của A. 
1 và 3 là các phần tử chặn dưới của B; B không có phần tử chặn trên. 
16. 1 và 3 là các phần tử chặn trên của A. Các số 90n, n ∈ N* là các phần 
tử chặn dưới của A. 
Các số 1, 3, 32, 33, 34, 35 là các phần tử chặn trên của B. Không có phần tử 
chặn dưới của B trong {N*, ≤}. 
17. a) Mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −7 đều là một phần tử chặn dưới của 
A; mỗi số thực lớn hơn hoặc bằng 3 đều là một phần tử chặn trên của A. 
b) Số không và các số thực âm là các phần tử chặn dưới của N. Không có 
phần tử chặn trên của N trong R. 
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ 
Hoạt động 6. 1 
Định nghĩa và các khái niệm cơ bản về ánh xạ 
1. b) R không phải là một ánh xạ. 
2. b) R không phải là một ánh xạ. 
3. c) ϕ không phải là một ánh xạ. 
Formatted: Heading01
Formatted: Heading02
4. b) f là một ánh xạ. Tập xác định của f l à A; 
f(A) = {18, 35}. 
5. a) R là một ánh xạ. 
b) Tập xác định của ánh xạ R là X; ảnh của ánh xạ là R(X) = {17, 18{ 
6. Có một ánh xạ từ X vào Y. 
7. Có m ánh xạ t ừ X vào Y. 
8. 4 ánh xạ. 
10. f(−2) = {x ∈ R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ R : x ≤ 0}; 
f(x2) = {y ∈ R : y ≤ x2}. 
11. f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : 1 < x ≤ }. 
12. f và g là hai ánh xạ bằng nhau. 
13. u và v là hai ánh xạ bằng nhau. 
14. a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x ∈ R. 
b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R*. 
c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ . 
15. a) h (R) không chứa hai số htực −2 và 1. 
 b) áp dụng a). 
16. X = {3, } hoặc X là một tập con của tập hợp {3, }. 
17. X = {−1, 1} hoặc X là một tập con của tập hợp {−1, 1}. 
19. Tập xác định của f là: X = . 
f (X) = {0}. 
Hoạt động 7.1 
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược 
1. b) f không phải là một đơn ánh; g là một đơn ánh. 
2. b) f không phải là một toàn ánh; g là một toàn ánh. 
3. b) ánh xạ ngược của f và g được cho trong hai bảng sau: 
Formatted: Heading02
4. f−1 (y) = − , y ∈ R. 
5. a) f−1 : R+ → R+, y → f−1 (y) = y2. 
 b) g−1 : R → R, y → g−1 (y) = . 
 c) h−1 : R* → R*, y → h−1 (y) = 
 d) u−1 : A → A, y → u−1 (y) = . 
6. a) f là một đơn ánh. 
 b) f không phải là một song ánh. 
13. 
Hoạt động 8.1 
ảnh và tạo của một tập hợp qua một ánh xạ 
1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B = 
{c{; 
f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4}. 
c) f (A ∩ B) là một tập con thực sự của f (A) ∩ f (B). 
Formatted: Heading02
2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p}; 
A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}. 
c) f (A) \ f(B) là một tập con thực sự của f (A\B). 
4. b) f−1 (C) = {a, b, c}; f (f−1 (C)) = {1, 2, 3}. 
c) f (f−1 (C)) là một tập con thực sự của C. 
6. b) f (A) = {b, c}; f−1 (f(A)) = {2, 3, 4, 5}. 
c) A là một tập con thực sự của f−1 (f(A)). 
8. a) f(A) = {y R : 0 y 1}; 
f−1 (B) = {y ∈ R : ≤ x ≤ π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 2π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ π} 
b) f(A) = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 4}; 
f1 (B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ } 
c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3}; 
f−1(B) = {x ∈ R : 1 − ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 1 + }. 
9. f(A) = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 3}; 
f−1 (f(A)) = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2} ∪ { x ∈ R : −4 ≤ x ≤ −3}. 
10. f(A) = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 273}; f−1(B) = {0}. 
11. a) ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1 là tập hợp các đa thức có bậc 
0 và các đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã2 + b. 
b) Tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 là tập hợp các đa thức có bậc 0. 
Tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x2 + 1 là tập hợp chỉ có 
một phần tử là đa thức Q(x) = x.