Chương 1: Giới hạn và liên tục

 phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.3) Vẽ hình.III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là đường mức, trong đó k là hằng số cho trước.k = 0k = 1k = 2k = 3k = 4Xét đồ thị của hàm số: III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt paraboloid ellipticIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt paraboloid ellipticIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt paraboloid ellipticIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt paraboloid ellipticIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt ellipsoid III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt Paraboloid hyperbolicIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt Paraboloid hyperbolicIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt Paraboloid hyperbolic III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt Hyperboloid 1 tầng III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt Hyperboloid hai tầngIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta thấy với mọi k, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng 1.k = 0k = 1k = 2k = -2k = -1Xét đồ thị của hàm số: III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z.III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụ: III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụxzIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt trụIII. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt nón hai phía III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt nón hai phíaIV. Giới hạn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa giới hạn képCho hàm hai biến , sao cho là điểm tụ của Df.Ta nói giới hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng , nếu giá trị của f(x,y) tiến gần đến tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng không trùng với M0. Khi đó Ký hiệu khác của giới hạn kép: IV. Giới hạn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính chất của giới hạnIV. Giới hạn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm giới hạn nếu tồn tại hoặc chứng minh không tồn tại. 0IV. Giới hạn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm giới hạn nếu tồn tại, hoặc chứng tỏ giới hạn không tồn tại. 0IV. Giới hạn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Chọn dãy Khi đó Chọn dãy thứ haiKhi đó Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho. IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.ChọnKhi đó f(x,y) là một đại lượng phụ thuộc vào k, mà k thay đổi nên không tồn tại giới hạn. Chú ý. Chọn y = kx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thẳng. Phương pháp này không thể dùng để tìm giới hạn của dãy. IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Chọn dãy Khi đó Chọn dãy thứ haiKhi đó Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho. IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Chọn dãy Khi đó Chọn dãy thứ haiKhi đó Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho. IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Đặt Khi đó IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Đặt Khi đó IV. Giới hạn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.Sử dụng hệ tọa độ cực, đặt Khi thì V. Liên tục ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa Hàm số f(x,y) được gọi là liên tục tại , nếu Hàm được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm mà nó xác định Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là liên tục.Thương của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0.Hợp của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợp).V. Liên tục ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩaCác hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit. Định nghĩaHàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn được gọi là hàm sơ cấp. Định lýHàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nó xác định.V. Liên tục --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm các điểm gián đoạn của hàm sauSuy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đường thẳng x + y = 0.Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nó xác định. V. Liên tục ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Khảo sát tính liên tục của hàm sau:Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng.Suy ra f liên tục tại (0,0).V. Liên tục --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm (0,0)Ta có không tồn tại. Vậy hàm không liên tục tại (0,0). Không tồn tại a.VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Vẽ các mặt bậc hai sau: VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Vẽ các khối sau: VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Vẽ các khối sau (tiếp theo)VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Tìm các giới hạn képVI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo)VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo)VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Tìm các điểm gián đoạnVI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Tìm các điểm gián đoạn (tiếp theo)VI. Bài tập ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số liên tục tại (0,0).