Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá trị Giải.Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của (1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0).Chọn So sánh với giá trị thực: Giải.I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụCho1) Tìm 2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và 1) 2) Cho x0 = 2, y0 = 3 Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa vi phân cấp caoCho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y. Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2. Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụCông thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y) Công thức vi phân cấp 4:I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải.Ví dụTìm vi phân cấp hai , biết Vi phân cấp haiI. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải.Ví dụTìm vi phân cấp hai , biết Vi phân cấp haiGiải.I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụDùng vi phân cấp 1, tính gần đúng Chọn hàm Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98: II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm một biếnHàm hai biến: trường hợp 1Trường hợp 2.II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải.Ví dụTìm các đạo hàm riêng của hàm hợp Giải.Ví dụTìm , biết II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trường hợp 3f = f(u,v)u = u(x,y)v = v(x,y)xyxyII. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giải.Ví dụTìm của hàm hợp II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trường hợp 4Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x: f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo hàm riêng theo x: Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàmcủa hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x.II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đạo hàm cấp hai của hàm hợp là hàm hợp hai biến u,vII. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp Ví dụTìm của hàm hợp II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đạo hàm cấp hai của hàm hợp là hàm hợp một biến uII. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp Ví dụTìm của hàm hợp ĐặtII. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vi phân cấp một của hàm hợpu, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến x, y độc lập.Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc (2). Thường dùng công thức số (1)Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập. Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp Ví dụTìm của hàm hợp Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng nhưng việc tính toán phức tạp hơn. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp Đặt Ta có Chú ý: Có thể dùng II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vi phân cấp hai của hàm hợpChú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số là những hàm hợp hai biếnVi phân cấp hai không còn tính bất biến.II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vi phân cấp hai của hàm hợpTóm lại:Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy biến.II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm của hàm hợp Đặt Ta có III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f.Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp:II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x.Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn . sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z.Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z là hàm theo x, yII. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x.Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý (về hàm ẩn) . Cho hàm thỏa các điều kiện sau:2)1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính 4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục 3) Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa và trong U. Ngoài ra y = y(x) khả vi, liên tục trong U Chứng minh.III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I.Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y. Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y)II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình Vi phân cấp 1: II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình Đạo hàm theo y, coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo y!II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụTìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình Coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo yII. Bài tập ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------II. Bài tập ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------II. Bài tập ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------