Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chương 5TÍNH GẦN ĐÚNGĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂNI. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :Cho hàm y = f(x) và bảng sốx xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . ynĐể tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy Lagrange Ln(x)Ta có 1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút : x x0 x1y y0 y1 h = x1- x0y0 = f(x0)y1 = f(x1) = f(x0+h) Đa thức nội suy Lagrange Do đó với mọi x  [x0, x1] ta có Công thức sai phân tiến : Công thức sai phân lùi : Thay x1 bằng x0 Công thức sai số : Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính Xấp xỉ f’(1.8) và sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001 Ta có Sai số giảihf’(1.8)0.10.5406722120.0160.010.5540180370.16x10-20.0010.5554012920.16x10-32. TH bảng có 3 điểm nút cách đều : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0y0 = f(x0)y1 = f(x1) = f(x0+h)y2 = f(x2) = f(x0+2h)Đa thức nội suy Lagrange Do đó với mọi x  [x0, x2] ta cóSuy ra đạo hàm cấp 1Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiếnCông thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi thường viết dưới dạng (thay x2 = x0) Công thức sai số : đạo hàm cấp 2 Thay x1 = x0 ta được Công thức sai số : Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x – 2/x3. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001 Tính xấp xỉ f”(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001 giảihf’(3)0.10.4078059360.010.4074113850.0010.407407442hf’’(3)0.1-0.2102132360.01-0.209879910.001-0.2098756II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Ta cần tính gần đúng tích phân :Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước h = (b-a)/nxo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = bXấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy LagrangeĐa thức Lagrange trong TH các điểm cách đềuCông thức trên gọi là công thức Newton-cotes, các hệ số Hk gọi là các hệ số cotes.Hệ số cotes có các tính chất sau : Công thức sai số : 1. Công thức hình thang : Xét n = 1, ta có h= b-a 	I  (b-a)(Hoyo + H1y1)Vậy Công thức sai số : Công thức hình thang mở rộng : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn].Ta có Công thức hình thang mở rộng : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn].Vậy Công thức sai số : 2. Công thức Simpson : Xét n = 2, ta có h = (b-a)/2	I  (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2)Vậy Công thức sai số : Công thức Simpson mở rộng : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn].Điều kiện n phải chẵn