Chương II - Tổ Hợp

trong khai triển  np qP ax bx  . 
Cách giải. Ta có 
     
0 0
n nn k k k q p npk p q n k k k
n n
k k
P C ax bx a b C x
  
 
   . 
Suy ra n k k kna b C
 là hệ số của  k q p npx   . Để tìm hệ số của 0kx ta tìm k từ phương trình 
  0k q p np k   ( k  , k n ). 
 Nếu phương trình vô nghiệm thì khai triển không chứa 0kx . 
 Nếu phương trình có nghiệm 1k k thì hệ số của 0
kx trong khai triển là 1 1 1n k k kna b C
 . 
Ví dụ 1. Tìm hệ số của 7x trong khai triển  102 3x . 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
       
10 101010 10 10
10 10
0 0
2 3 2 3 2 3 2 3k kk k k k k
k k
x x C x C x 
 
            . 
Suy ra  10 102 3
kk kC  là hệ số của kx trong khai triển. Do đó, hệ số của 7x trong khai triển là 
 73 7102 3 2099520C   . 
Ví dụ 2. Tìm hệ số của 9x trong khai triển 
15
2 1
2
x
x
  
 
. 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
   
1515 15 15152 2 2 30 3
15 15
0 0
11 1 1
2 2 2 2
kk
kk k k
k
k k
x x C x C x
x x x
 
 
                  
      
  . 
Suy ra 
 
15
1
2
k
k
k C

 là hệ số của kx trong khai triển. Ta có 30 3 9 7k k    . Do đó, hệ số của 
9x trong khai triển là  
7
7
157
1 6435
2 128
C

  . 
 30 
Ví dụ 3. Tìm hệ số của 5x trong khai triển 
8
12x
x
 
 
 
. 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
   
88 16 38 8
8 8 2
8 8
0 0
1 1 12 2 2 1 2
k k
k kk k k
k k
x x C x C x
x x x

 
 
      
             
      
  . 
Suy ra   8 81 2
k k kC là hệ số của 
16 3
2
k
x

 trong khai triển. Ta có 16 3 5 2
2
k k    . Do đó, hệ 
số của 5x trong khai triển là  2 8 2 281 2 1792C  . 
Ví dụ 4. [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
7
3
4
1x
x
 
 
 
, với 0x  . 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
 
7 28 77 77
3 3 12
7 74 4
0 0
1 1
k kkk k
k k
x C x C x
x x

 
   
     
   
  . 
 hệ số của 
28 7
12
k
x

 trong khai triển là 7
kC . 
Ta có 28 7 0
12
k
  4k   số hạng không chứa x trong khai triển là 47 35C  . 
Ví dụ 5. [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 35 nn nC C
  . Tìm số hạng chứa 5x trong 
khai triển nhị thức Niu-tơn của 
2 1
14
n
nx
x
 
 
 
, 0x  . 
Giải. Ta có 
      1 3 1 2 1 255 5
6 6
n
n n
n n
C
n n
nC
n  
  
  
2 73 28 0
4
n
n n
n

       
. 
Vì n nguyên dương nên 7n  . Ta có 
 7 772 27 7 7 3 7
7
0 0
11 1
2 2 2
k kk k
k k
k
k k
Cx xC x
x x


 
            
    
  . 
 31 
Suy ra hệ số của 3 7kx  trong khai triển là  
7
71
2
k k
k
C
. Lại có 3 7 5 4k k    . Do đó, hệ số 
của 5x trong khai triển là  
3 4
7
4
1 35
2 16
C
  . Vậy số hạng chứa 5x trong khai triển là 535
16
x . 
Dạng 2. Tìm hệ số của 0kx trong khai triển 1 2P P P  . 
Cách giải. 
 Gọi a , b lần lượt là hệ số của 0kx trong các khai triển 1P , 2P . 
 Hệ số của 0kx trong khai triển P là a b 
Ví dụ 1. Tìm hệ số của 18x trong khai triển    10 2021 2P x x    . 
Giải. Gọi a và b lần lượt là hệ số của 18x trong các khai triển  1021 1P x  và  202 2P x  . 
Ta có hệ số của 18x trong khai triển P là a b . 
 Ta có      
10 10102 2 2
1 10 10
0 0
1 1
k kk k k
k k
P x C x C x
 
           . Hệ số của 
2kx trong khai triển 
này là   101
k kC . Lại có 2 18 9k k   . Do đó,  9 9101 10a C    . 
 Ta có      
20 2020 20 20
2 20 20
0 0
2 2 1 2k kk k k k k
k k
P x C x C x 
 
           . Hệ số của kx trong 
khai triển này là   20 201 2
k k kC . Do đó,  18 20 18 18201 2 760b C   . 
Vậy hệ số của 18x trong khai triển P là 10 760 750   . 
Ví dụ 2. [ĐHD07] Tìm hệ số của 5x trong khai triển    5 1021 2 1 3P x x x x    . 
Giải. Gọi a là hệ số của 4x trong khai triển  51 1 2P x  và b là hệ số của 3x trong khai triển 
 102 1 3P x  . Ta có hệ số của 5x trong khai triển P là a b . 
 Ta có    51 5 5
0 0
1 2 2
k k
k kk k k k
k k
P C x C x
 
     . Suy ra  4 452 80a C   . 
 32 
 Lại có  
10 10
5
2 5 10
0 0
1 3 3kk k k k k
k k
P C x C x
 
   . Suy ra 3 3103 3240b C  . 
Vậy hệ số của 5x trong khai triển P là 80 3240 3320a b    . 
Ví dụ 3. [ĐHA04] Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của  
821 1x x    . 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
8 8
8
8 8
0 0
82 2 211 1 1 1
k kk kk k
k k
x x x x x xC C
 
            . 
Ta tìm k để khai triển  2 1 kkkP x x  có thể chứa 8x . Ta thấy lũy thừa bậc thấp nhất trong khai 
triển kP là 
2kx và lũy thừa bậc cao nhất trong khai triển kP là 
3kx . Để trong khai triển kP có lũy 
thừa 8x thì k phải thỏa mãn 
382 8 3 4
43
k
k k k
k

       
. 
 Ta có  3 6 83 6 7 91 3 3P x x x x x x      . Suy ra hệ số của 8x trong khai triển 3P là 3 . 
 Lại có  4 8 9 10 11 14 8 21 4 6 4P x x x x x x x       . Suy ra hệ số của 8x trong khai triển 
4P là 1. 
Vậy hệ số của 8x trong khai triển đã cho là 3 48 83 1 238C C    . 
Dạng 3. Tìm hệ số của 0kx trong khai triển 1 2P P P  . 
Cách giải. 
 Gọi  a k là hệ số của kx trong khai triển 1P và  b h là hệ số của hx trong khai triển 2P 
 Tìm tất cả những cặp  ;k h sao cho 0kk hx x x  , tức là 0k h k  . 
 Tính tổng các biểu thức dạng    a k b h lấy theo những cặp  ;k h tìm được ở bước trên 
Ví dụ 1. Tìm hệ số của 48x trong khai triển    20 1021 1 3P x x   . 
 33 
Giải. Ta có 
     
20 10 20 10
20 2 10 2
20 10 20 10
0 0 0 0
1 1 3 1 3
k h kk k h h h k h k h
k h k h
P C x C x C C x  
   
   
      
   
   . 
Ta tìm những cặp số nguyên  ;k h sao cho 2 48k h  ( 0 20k  , 0 10h  ). 
Ta có 
   
   
; 20;8
2 3 28
; 19;10
k h
k h
k h
 
   

. 
        20 8 20 820 10 20 10; 20;8 1 3 1 3 295245
k h k hk h C C C C      . 
        19 10 19 1020 10 20 10; 19;10 1 3 1 3 1180980
k h k hk h C C C C       . 
Vậy hệ số của 48x trong khai triển P là 295245 1180980 885735   . 
Dạng 4. Một số bài toán khác 
Ví dụ 1. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  93 2x  . 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
9 9
9 9 9
9 9
0 0
3 2 3 2 3 .2 .kk k k k k k
k k
x C x C x 
 
      . 
Suy ra hệ số của kx trong khai triển là 9 93 .2 .
k k k
ka C
 ( 0;9k  ). 
Với mọi 0;8k  , xét tỷ số 1k
k
aT
a
 . 
Ta có 
 34 
   
   
 
1 8 1
9
9
9
! 9 ! 3 93 .2 . 3 9!. .
3 .2 . 2 1 ! 8 ! 9! 2 1
k k k
k k k
k k kCT
C k k k
  

 
  
  
. 
 
 
 
3 9
11 5 0;1;2;
2
3;4;5
1
T k k
k
k
     



, dấu bằng xảy ra  5k  . 
Thay từng giá trị của k vào T , ta được 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a         . 
Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là 5x và 6x . 
Ví dụ 2. Tìm n để đa thức  2 nx  chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là 10x . 
Giải. Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
0 0
2 2 2
n n
n k k n k n k k k
n n
k k
x C x C x 
 
    . 
Suy ra hệ số của kx trong khai triển là 2n k kk na C
 ( 0,1,...,k n ). 
Với mọi 0,1,..., 1k n  , xét tỷ số 1kk
k
aT
a
 . 
Ta có 
   
 
 
1 1 ! !2 1 !. .
2 2 1 ! 1 ! ! 2 1
n k k
n
k n k k
n
k n kC n n kT
C k n k n k
  

 
  
   
. 
Lũy thừa có hệ số cao nhất là 10x nên 
10
99
9 10 11
1011
10
91 11 29 3020
1 32 31101 1
22
a n
Ta n n
a a a
T n na n
a
        
                
 
. 
Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 4. Xét khai triển    2 101P x x x   . Giả sử   2 20 200 1 2 19 20P x a a x a x a x a x      . 
a) Tìm 10a ; 
b) Tính tổng 1 0 1 2 19 20S a a a a a      ; 
c) Tính tổng 1 0 1 2 19S a a a a     . 
C. BÀI TẬP 
1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
18
5
12x
x
 
 
 
, với 0x  . 
 35 
ĐS : 6528 . 
2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong đa thức  2 nx , biết 
 0 1 1 2 23 3 3 1 2048n
nn n n n
n n nC C C C
      . 
ĐS : 22 . 
3. [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển 53
1 nx
x
  
 
 biết rằng 
 14 3 7 3n nn nC C n    . 
ĐS : 495 . 
4. [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển 74
1 nx
x
  
 
, biết rằng 
1 2 20
2 1 2 1 2 1 2 1
n
n n nC C C      . 
ĐS : 210 . 
5. [ĐHA08] Giả sử   20 1 21 2 ...
n n
nx a a x a x a x      . Biết rằng 
121 2
0 2 ... 22 2 2
n
n
aa aa      . Tìm 
số lớn nhất trong các số 0a , 1a , 2a , ..., na . 
ĐS : 8a . 
6. [ĐHD03] Gọi 3 3na  là hệ số của 
3 3nx  trong khai triển thành đa thức của    2 1 2n nx x  . Tìm 
n để 3 3 26na n  . 
ĐS : 5 . 
7. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức  1 nx có hai lũy thừa liên tiếp có tỷ số 
các hệ số bằng 7
5
. 
ĐS : 21 . 
 36 
8. Khai triển biểu thức  1 2 nx ta được đa thức có dạng 20 1 2 nna a x a x a x   . Tìm hệ số của 
5x biết 0 1 2 71a a a   . 
ĐS : 672 . 
9. Chứng minh        2 2 2 250 0 1 2 50100 50 50 50 50C C C C C     . 
10. Chứng minh        2 2 2 21008 0 1 2 20162016 2016 2016 2016 2016C C C C C     . 
11. Cho    52 31P x x x x    . Giả sử   2 150 1 2 15P x a a x a x a x     . 
a) Tìm 10a . 
b) Tính tổng 1 0 1 2 15S a a a a     . 
c) Tính tổng 1 0 1 2 14S a a a a     .