Chương III: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

t 1
Vậy (*) tgx 1 x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình 
( )2cot gx tgx 4sin2x *
sin2x
− + = 
sin2x 0≠ Điều kiện : 
Đặt 2
2tt tgx thì : sin2x do sin2x 0 nên t 0
1 t
= = ≠+ ≠
(*) thành : 
2
2
1 8t 1 t 1t t
t t1 t t
+− + = = ++ 
( )
( )
⇔ =+
⇔ = ≠+
⇔ = ⇔ = ± ≠
π⎛ ⎞⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ = ± + π ∈ 
2
2
4 1 do t 0
1 t
t 3 t 3 nhận do t 0
Vậy (*) tgx tg
3
x k , k
3
Bài 79
2
8t 2t
1 t
 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )1 tgx 1 sin 2x 1 tgx *− + = + 
Điều kiện : 
Đặt = tgx thì (*) thành : 
cos x 0≠ 
( ) 21 t⎜ ⎟+⎝ ⎠
2t⎛1 t 1 1 t⎞− + = + 
( ) ( )
2
21 t 1 t1 t
− = ++
( ) ( ) 2 2
2
t 1
t 1 t 1
1 t 1 t 1 t1
1 t
t 1 t 0
+⇔
= −⎡ = −⎡+ ⎢⎢ 1 t⎢⇔ ⇔− − = += ⎣⎢ +⎣
⇔ = − ∨ =
= −⎡ π⇔Do đó (*) ⇔ = − + π = π ∈⎢ =⎣ 
tgx 1
x k hay x k , k
tgx 0 4
Bài 80 ( ) : Cho phương trình ( )1 0 *+ = cos2x 2m 1 cos x m− + +
 3m
2
= a/ Giải phương trình khi
3,
2 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 
( )22 cos x 2m 1 cos x m 0− + + = Ta có (*) 
[ ]( )
( )
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩ 2
t cos x t 1
2t 2m 1 t m 0
[ ]( )⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ = ∨ =⎪⎩
t cos x t 1
1t t m
2
a/ =Khi m , phư
2
3 ơng trình thành 
b/ 
( )
( )
)
[ ]
( ) )
π π⎛ ⎞∈ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∉ −
⎞⇔ ∈ −⎡⎣⎝ ⎠
1 3 loại
3Khi x , thì cos x t [ 1, 0
2 2
1Do t 1, 0 nên
2
m 1, 0
2 2
Bài 81
= ∨ =cos x cos x
2 2
π⇔ = ± + π ∈x k2 k Z
3
π π⎛⎜ ⎟3* có nghiệm trên ,
 : Cho phương trình 
( ) ( ) ( )x * 2cos x 1 cos2x mcos x msin+ − =
 a/ Giải (*) khi m= -2 
20, π⎡ b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 
3
⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) (( ) )
( ) ( )
) (
2 2
2
2
Ta có (*) cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x
cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x 0
1 2cos x 1
⇔ + − − = −
⎡ ⎤⇔
( )cos x m 0
+ − − − − =⎣ ⎦
+ −
i m = -2 thì (*) thành : 
⇔ − =
a/ Kh
( ) ( )
( )
+ + =
⇔
⇔ = π + π ∈
π⎡ ⎤ ⎡∈ = ∈⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
2cos x 1 2 cos x 1 0
cosx = -1
x k2 k Z
2 1b / Khi x 0, thì cos x t ,1
3 2
⎤− ⎥⎦
Nhận xét rằng với mỗi t trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ta chỉ tìm được duy nhất một x trên 
20, π⎡ ⎤⎢ ⎥ 3⎣ ⎦
ùng hai ghiệm trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ Yêu cầu bài toán 
22t 1 m 0⇔ − − = có đu n
Xét ( ) ( )2y 2t 1 P và y m d= − = 
Ta có y’ = 4t 
20,
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 
1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên 
 11 m
2
− < ≤ ⇔
Bài 82 : Cho phương trình ( ) ( )2 21 a tg− x 1 3a 0 1
cos x
− + + = 
1a
2
= a/ Giải (1) khi 
0,
2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên 
Điều kiện : cos x 0 x k
2
π≠ ⇔ ≠ + π 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
24a cos x 2cos x 1 a 0⇔ − + − =
2
1 1 a sin x 2cos x 1 3a cos x 0
1 a 1 cos x 2cos x 1 3a cos x 0
a 4 cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 a 2cos x 1 1 0
⇔ − − + + =
⇔ − − − + + =
⇔ − − − =
⇔ − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
a/ Khi 1a
2
= thì (1) thành : ( ) 12cos x 1 cos x 0
2
⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )
( )
1cos x cos nhậndo cos x 0
2 3
x k2 k Z
3
π⇔ = = ≠
π⇔ = ± + π ∈
b/ Khi x 0, π⎛ ⎞∈ thì 
2⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )t 0,1= ∈ cos x
( )
( )
1cos x t 0,1
2
2a cos x 1 a 2
⎡ = = ∈⎢⇔ ⎢ = −
Ta có : (1) 
⎢⎣
Yêu cầu bài toán ⇔ (2) có nghiệm trên ( )
a 0
1 1 a0,1 \ ⎧ ⎫ 0 1
2 2a
1 a 1
2a 2
⎧⎪ ≠⎪ −⎪⇔ < <⎨⎩ ⎭ ⎪ −⎪ ≠⎪⎩
 ⎨ ⎬
a 0≠⎧
( )
01 a 0
⎪ a 1 1 a 112a 3a 0 a1 3a 130 a12a 2a
2 1 a 2a 2
⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎨−⎪ ⎪ ⎪< ≠⎪⎪ ⎪ ⎩≠⎪ ⎪− ≠ ⎩⎩
Cách khác
⎪
cos x
1 , điều kiện ; pt thành u≥1 : dặt u =
( ) ( )−1 a − − + + = ⇔ − − + =2 2( u 1 ) 2u 1 3a 0 1 a u 2u 4a 0 
Bài 83
⇔ − − − =( u 2) [ (1 a)u 2a ] 0 
( )cos4x 6sin x cos x m 1+ = : Cho phương trình : 
 a/ Giải (1) khi m = 1 
0,
4
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (1) có hai nghiệ phân biệt trên b/ Tìm m để m
⇔ − +21 2sin 2x 3sin 2x m Ta có : (1) =
( )
( )2
t sin2x t 1
2t 3t m 1 0 2
⎧ = ≤⎪⇔⎨ − + − =⎪⎩
a/ Khi m = 1 thì (1) thành 
( ) ( )
( )2
t sin2x t 1t sin2x t 1
3t 0 t loại2t 3t 0
2
= ∨ =− =⎪ ⎪⎩ ⎩
ksin2x 0 x
2
⎧ = ≤⎧ = ≤⎪ ⎪⇔⎨ ⎨
π⇔ = ⇔ =
[b/ Khi ]∈⎣ ⎦ hì sin 2x t 0,14 
Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên 
π⎡ ⎤∈ =⎢ ⎥x 0, t
[ ]0,1 ta chỉ tìm được duy nhất một 
x 0,
4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Ta có : (2) ⇔
Xét 
 22t 3t 1 m− + + = 
[ ]2y 2t 3t 1trên 0,1= − + + 
Thì y ' 4t 3= − + 
 [ ]0,1 Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên 
172 m
8
⇔ ≤ < 
Cách khác :đặt . Vì a = 2 > 0, nên ta có 
 Yêu cầu bài toán ⇔
= − + −2f (x) 2t 3t m 1
( )f
Δ=⎧⎪
( )
m
m
f m
S
− >
= − ≥⎪⎪⎨ = − ≥⎪⎪ ≤ = ≤⎪⎩
17 8 0
1
1 2
30 1
2 4
0 0
0
172 m
8
⇔ ≤ < 
Bài 84 : Cho phương trình 
( )5 5 24 cos x.sin x 4sin x cos x sin 4x m 1− = + 
a/ Biết rằng là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó. x = π
x
8
π= −b/ Cho biết là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa 
4 2x 3x 2− + < 0
( )
( ) ( )
( )
4 4 2
2 2 2 2 2
2
2
(1) 4sin x cos x cos x sin x sin 4x m
2sin2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m
2sin2x.cos2x sin 4x m
sin 4x sin4x m 0 1
⇔ − = +
⇔ − + = +
⇔ = +
⇔ − + =
a/ là nghiệm của (1) = 0 
Lúc đó (1) 
x = π 2sin 4 sin4 m⇒ π − π +
m 0⇒ = 
( )sin 4x 1 sin 4x 0⇔ − = 
( )
⇔ = ∨ =
π⇔ = π ∨ = + π
π π π⇔ = ∨ = + ∈
sin 4x 0 sin 4x 1
4x k 4x k2
2
k kx x k Z
4 8 2
b/ 
2 2
4 2
2
t x 0 t x 0x 3x 2 0
1 t 2t 3t 2 0
⎧ = ≥ ⎧ = ≥⎪− + < ⇔ ⇔⎨ ⎨ < <− + < ⎩
 ⎪⎩
( )
21 x 2 1 x 2
2 x 1 1 x 2 *
<
⇔− < < − ∨ < < 
⇔ < < ⇔ <
π π⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠x thì sin 4x sin 18 2 
( )x là nghiệmcủa 1 1 1 m 0
8
m 2
π= − ⇒ + + =
⇒ = −
2sin 4x sin4x 2 0− − = Lúc đó (1) thành : 
( )
( )
( )
2
t sin4x với t 1
t t 2 0
t sin4x với t 1
t 1 t 2 loại
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − − =⎪⎩
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ = − ∨ =⎪⎩
sin4x 1
4x k2
2
kx
8 2
Kết hợp với đi
⇔ = −
π⇔ = − + π
π π⇔ = − +
ều kiện (*) suy ra k = 1 
ghiệm 3x
8 2 8
π π π= − + = thỏa 0 4 2x 3x 2− + < Vậy (1) có n
Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương 
( )
( ) ( ) (2 )
1 cos2x cos3x 1
4 cos x cos3x a cos x 4 a 1 cos2x 2
+ +
− = + − + 
2cos x.cos2x =
 ( )
( )
2
Ta có : (1) cos3x cos x 1 cos2x cos3x
cos x 1 2cos x 1
cos x 1 2cos x 0
1cos x 0 cos x
2
⇔ + = + +
⇔ = + −
⇔ − =
⇔ = ∨ =
( )⇔ − − =2 3Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3cos x a co ( )
( ) ( )
( )
+ −
+ − − =
⇔ ⎢ + − + − =⎢⎣
2
2
2
s x 4 a 2 cos x
4 2a cos x a 3 cos x 0
0
4 cos x 2 2 a cos x a 3 0
⇔ 34 cos x
=⎡cos x
[ ]⎛ ⎞⇔ = − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1cos x 0 hay cos x 2 cos x 3 a 0
2
−⇔ = ∨ = ∨ =1 acos x 0 cos x cos x
2 2
 3
Vậy yêu cầu bài toán 
a 3 0
2 a 3
a 3 1 a 4
2 2
a 1 a 5a 3 a 31 1
−⎡ =⎢ =⎡⎢ − ⎢⎢⇔ = ⇔ =⎢⎢ ⎢ <
2 2
∨ >⎢ ⎣− −⎢ 
Bài 86
⎢⎣
 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*) 
a/ Giải phương trì nh khi a = 1 
0,
12
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên 
( ) ( ) ( )1 a* cos4x 1 cos6x 1 cos2x
2 2
⇔ = + + − Ta có : 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 2cos⇔ 2x 1 1 4 cos 2x 3cos2x a 1 cos2x
t cos2x t 1
2 2t 1 1 4t 3t a 1 t
− = + − + −
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − = + − + −⎪⎩
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
t cos2x t 1
4t 4t 3t 3 a 1 t
1 cos2x t 1
t 1 4t 3 a 1 t * *
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨− + + − = −⎪⎩
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − − + = −⎪⎩
a/ Khi a = 1 thì (*) thành : 
( )
( ) ( ) ( )2
t cos2x t 1
t 1 4t 4 0 t 1
t cos2x t 1⎧ = ≤ ⎧ = ≤
− − + = = ±⎪⎪ ⎩⎩
 ⎪ ⎪⇔⎨ ⎨
( )
⇔ = ± ⇔ =
π⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
2cos 2x 1 cos 2x 1
ksin 2x 0 2x k x , k Z
2
3x 0, 2x 0, .Vậy c
6
⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ os2x t ,112 2
⎛ ⎞π π⎛ ⎞∈ ⇔ = ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
− + = −
⇔ − = ≠2
b/ Ta có : ⎝ ⎠
2(⇔ ) ( ) ( )
( )
Vậy (**) t-1 4t 3 a 1 t
4t 3 a do t 1
ét ( )2 3y P4t 3 trên ,1
2
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 X
3y ' 8t 0 t ,1
2
⎛ ⎞⇒ = > ∀ ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
đ ù (*) có nghiệm trê ( ) ( ) ⎛ ⎞π⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
30, d : y a cắt P trên ,1
2 2
 Do o n
( )3y a y
2
0 a 1
1<⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
< <
BÀI TẬP
⎛ ⎞⇔ <
⇔
ûi ùc phương trình sau : 1. Gia ca
 a/ sin4x = tgx 
 b/ 4 4 4 9sin π πx sin x x sin x
4 4 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 c/ tgx cot gx 4+ = 
 d/ 
( ) 2sin x 3 2 2cos x 2sin x 1
1
1 sin2x
− − − =− 
 e/ 44 cos x 3 2 sin2x 8cos x+ = 
 f/ 1 1 2
cos sin2x sin4x
+ = 
x
 g/ sin2x 2 sin x 1
4
π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 h/ ( ) ( )2 2sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 k/ 24xcos cos x
3
= 
 l/ xtg .cos x sin2x 0
2
+ = 
 m/ 1 3tgx 2sin2x+ = 
 n/ cot gx tgx 2tg2x= + 
 p/ + =2 3x 4x2cos 1 3cos
5 5
 q/ = 23cos4x 2cos 3x 1−
 r/ 2 3x2cos 1 3cos2x+ = 
2
x s/ cos x tg 1
2
+ = 
 t/
 u/ 
 23tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x− = 
2 3cos x.cos4x cos2x.cos3x cos 4x
2
+ + =
 v/ 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + = 
 w/
x/
 sin4x tgx= 
 6 6 213cos x sin x cos 2x
8
+ = 
 y/ 3 x 1 3xsinπ π⎞ ⎛ ⎞− = + sin
2
⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
 ( 1 ) 
a/ Giải phương trình khi a = 1. 
10 2 2 10⎝ ⎠ ⎝
. 6 6sin x cos x a sin 2x+ =2
1a
4
≥ ) b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS : 
3. Cho phương trình 
 ( )6 62 2cos x sin x 2mtg2x 1cos x sin x
+ =− 
 a/ Giải phương trình khi m = 1
8
1m
8
≥ b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệm (ĐS : ) 
. 
4 Tìm m để phương trình 
x kπ sin4x mtgx có nghiệm= ≠
1ĐS : m 4
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
5. Tìm m để phương trình : 
 có đúng 7 nghiệm trên 
 cos3x cos2x mcosx 1− + − = 0
,2
2
π⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )ĐS :1 m 3< < 
6. Tìm m để phương trình : ( ) ( )4 44 sin x cos 6 6 2x 4 sin x c 4x mos x sin− + = có nghiệm + −
1ĐS : m 1
8
⎛ ⎞− ≤ ≤ ⎜⎝ ⎟⎠ 
7. Cho phương trình : 
2 2 26sin x sin x mcos 2x− = (1) 
 a/ Giải phương trình khi m = 3 
 b/ Tìm m để (1) có nghiệm ( )ĐS :m 0≥ 
8. Tìm m để phương trình : 
( )4 22m 1msin x cos4x sin4x sin x 0
4 4
++ + − =
 có hai nghiệm phân biệt trên ,
4 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1ĐS :2 5 4 m
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9. Tìm m để phương trình : 
 có nghiệm 
( )6 6 4 4sin x cos x m sin x cos x+ = +
1ĐS : m 1
2
⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 
10. Cho phương trình : 
 Tìm a để phương trình có nghiệm 
2 2cos4x cos 3x a sin x= + 
x 0,
2
π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )ĐS :0 a 1< < 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn