Chuyên đề 39: Bất đẳng thức (Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức)

1 A2 > B2  An > Bn
An > Bn đúng thì A > B đúng
An > Bn sai thì A > B sai
Ví dụ :
Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: với mọi a, b không âm thì a+b
Giải:
a + b 
 a + b -2
 ( Đúng )
Vậy a + b 
Bài tập:
Chứng minh rằng : nếu x , y >0 thì 
Giải:
 (x + y)2 4xy
 (x - y)2 0 ( Đúng )
Vậy 
Chứng minh bất đẳng thức schwartz : CMR với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có : ( a2+ b2 )( x2+ y2 ) ( ax + by )2 . Dấu’ = ’ xảy ra khi và chỉ khi 
Giải:
( a2+ b2 )( x2+ y2 ) ( ax + by )2
 a2x2 + b2x2 + a2y2 + b2y2 a2x2 + 2abxy +b2y2
 a2y2 - 2abxy + b2x2 0
 ( ay – bx )2 0 ( đúng )
Vậy ( a2+ b2 )( x2+ y2 ) ( ax + by )2. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ay– bx = 0 hay 
 Chứng minh rằng với mọi x , y không âm thì ()2 xy 
Giải
()2 xy
	 (x+y)24xy
	 (x – y)20 (đúng)
	Vậy: ()2 xy
Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện : a+b=1. Chứng minh rằng: 
Giải
	(1)
	 ab +a + b + 1 9ab (vì ab>0)
	a + b + 18ab
	2 8ab (vì a+b=1)
	14ab
	(a+b)2 4ab (vì a+b =1)
	(a – b)2 0	(2)
	BĐT (2) đúng. Vậy BĐT (1 được chứng minh)
Chứng minh rằng: a2+ , với mọi a
Giải
CM BĐT : a2+ 	(*)
	 a2 (a2 +1)+1a2 + 1
	 a4 + a2 a2
	a4 0 (đúng)
Vậy BĐT (*) đúng. Dấu = xảy ra khi a=0
Chứng minh rằng: ( a2+b2)( a4+b4) ( a3 + b3 )2 , với mọi a , b
Giải
(a2+b2)(a4+b4) (a3 + b3)2
	 a6 + a2b4 + a4b2 + b6 a6 + 2a3b3 + b6
	 a2b4 – 2a3b3 + a4b2 0
	 a2b2 (b2 – 2ab + a2) 0
	 a2b2(a – b)2 0 đúng
	Xảy ra đẳng thức khi a=0 hoặc b=0; hoặc a=b
Chứng minh rằng: , với mọi a , b
Giải
	 (a + b)(a3+b3)2(a4+b4)
	 02a4 + 2b4 – a4 – ab3 – a3b – b4
	 0a4 – ab3 – a3b + b4
	 0 a3 (a – b) – b3(a – b)
	 0 (a3– b3)(a – b)
	 0 (a– b)2(a2+ab– b2) Đúng
	Xảy ra đẳng thức khi a=b
III. DỰA VÀO CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Kiến thức:
Bất đẳng thức Cauchy:
Cho a1 , a2 , a3 ,  , an là các số không âm , khi đó 
Bất đẳng thức Schwartz:
Cho a1 , a2 , a3 ,  , an và b1 , b2 ,  , bn là các số bất kỳ, khi đó:
(a12 + a22 +  + an2 )( b12 + b22 +  + bn2 ) ( a1b1 +  + anbn )2 .
Dấu ‘ = ’ xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ :
Bất đẳng thức Cauchy: 
Bất đẳng thức Schwartz: ( a2 + b2 )( x2+ y2 ) ( ax + by )2
 Bài tập :
Bất đẳng thức Cauchy:
Cho biểu thức S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd. Chứng minh S , ( với ad – bc =1 )
Giải :
Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy: ( a2 + b2 ) + ( c2 + d2 ) 
=> ( a2 + b2 ) + ( c2 + d2 ) + ac + bd + ac + bd
=> Cần chứng minh + ac + bd ( 1 )
Ta có: ( ad – bc )2 + ( ac + bd )2 = ( a2 + b2 )( c2 + d2 ) , mà ad – bc =1 
1 + ( ac + bd )2 = ( a2 + b2 )( c2 + d2 )
Do đó (1) 2
Đặt ac + bd = x và p = 2
 , mà -x => p > 0
Xét p2 = 4( 1 + x2 ) + 4x + x2
= ( 1 + x2 ) + 4x + 4x2 + 3
=( + 2x )2 + 3 3 => p 
Suy ra S 
Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b+ c ( a , b , c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng : 
Dấu “ =” xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì ?
Giải:
Ta có: p-a = 
Tương tự p – b > 0 ; p – c > 0
Mặt khác : ( bất đẳng thức Cauchy )
=> 
Tương tự , ta có : 
Cộng từng vế , ta có : 
Dấu ‘=” xảy ra khi tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a , b , c , chu vi 2p . Chứng minh : 
Giải:
Ta có:(p-a) + (p-b) ( theo bất đẳng thức Cauchy )
=> c 
Tương tự : a 
 	b 
Nhân từng vế , ta có : abc 
=> 
Chứng minh rằng : với x>1 , ta có : 
Cho a > 1 , b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 
Giải
Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương:
Vì: x>1 => >0; do đó: 
x2 x2 4(x -1)
 x2 – 4x + 4 0 (x-2)2 0
Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy:
x = (x – 1) + 1 2 > 0 => 
Dấu đẳng thức xảy ra x=2
Aùp dụng câu a) :
E = 2=2. 
Vì : 2 và 2 => E8=>
=> min E=8 a=b=2 
Cho 0 1
3b(1-c) > 2
8c ( 1-d ) > 1
32d(1-a) > 3
Giải
	Giả sử ngược lại cả bốn bất đẳng thức trên đều đúng. Nhân từng vế; ta có: 2.3.8.32. a(1-b)b(1-c)c ( 1-d)d(1-a)>2.3
	=>[a.(1-a)][b.(1-b)][c.(1-c)][d.(1-d)]>	(1)
	Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
	Tương tự: 	
	Nhân từng vế các bất đẳng thức, ta có: 
	[a.(1-a)][b.(1-b)][c.(1-c)][d.(1-d)]>	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai.
Cho <1 và <1. Chứng minh rằng 
Giải
Cách 1:	Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
	Do đó chỉ cần chứng minh: 	(1)
	Dùng phép biến đổi tương đương, ta có (1) (x-y)20
Cách 2: 	Ta có: 
	Aùp dụng bất đẳng thức Schwartz:
	4=(1+1)2=
	Suy ra 
(vì )
Cho a, b, c> 0. Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a)8abc
HD: Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy
Chứng minh rằng : với mọi a , b ta có : 
Giải
	Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
	Do đó chỉ cần chứng minh: là được
	Đặt ta có: 
	Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bất đẳng thức Schwartz :
Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: x2+ y2 = 1
Giải:
 => 1=()2 ( x2 +1–x2)(1–y2 +y2) =1
( theo bất đẳng thức Schwartz )
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi 
x2y2 = ( 1- x2 )( 1 – y2 )
x2y2 = 1 - y2 –x2 + x2y2 
x2 +y2 = 1
Cho < 1 và < 1 . Chứng minh rằng 
Giải:
Ta có : = [( 1-x2 ) + ( 1 – y2 )]
() [( 1-x2 ) + ( 1 – y2 )] ()
Aùp dụng bất đẳng thức Schwartz : 
4=( 1 + 1 )2 =( [(1-x2)+(1–y2)]()
Suy ra : () .4 = 2
=> 
( vì 1 – ab 1- >0 )
Chứng minh các bất đẳng thức :
a) với mọi a , b , c , d
b) với mọi a , b , c , d
Giải
Dùng phép biến đổi tương đương:
	Aùp dụng bất đẳng thức Schwartz:
	Từ đó suy ra: 
Làm tương tự câu a)
Chứng minh rằng: 
Nếu 1 a 5 thì 
Nếu a + 1 0 , b + 1 0 và a + b = 2 thì 
Giải
Aùp dụng bất đẳng thức Schwartz:
IV. DỰA VÀO CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Kiến thức :
Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số dương :
a>b , c>0 ac > bc
Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số âm :
a>b , c ac < bc
Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều mà các vế không âm :
Nâng 2 vế của một bất đẳng thức lên cùng một luỹ thừa, nếu 2 vế không âm : a b 0 => an bn ( n Z+ )
Tính chất bắt cầu :
Nếu a < b và b < c thì a < c
Ví dụ:
Cho a + b > 2 , Chứng minh rằng : a2 + b2 > 2
Giải:
Ta có :	a + b > 2 => ( a + b )2 > 4 (1)
(a – b)2 > 0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế : 2 (a2+b2) > 4
 => a2+b2 > 2
Bài tập :
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2:
Giải:
Vậy (*) 
Thay k lần lượt từ 2 đến n trong (*) rồi cộng các bất đẳng thức đó vế theo vế , ta được : 
Vậy : 
Cho a+ b > 1 . Chứng minh rằng : a4 + b4 > 
Mở rộng tương tự các bài toán:
a8 + b8 > với a + b > 1
a16+ b16 > với a + b > 1
Giải
	Ta có: a+ b > 1>0	(1)
	Bình phương hai vế: (a+b)2>1
	=> a2+2ab+b2>1	(2)
	Mặt khác (a – b)2 0
	=> a2 – 2ab+b2>1	(3)
	Cộng từng vế (2) và (3):
	2(a2+b2)>1
	=> a2 + b2 >	(4)
	Bình phương hai vế của (4):
	a4 + 2a2b2 + b4 >	(5)
	Mặt khác : (a2 – b2) 0
	=> a4 – 2a2b2 +b4>0	(6) 
Cộng từng vế (5) và (6):
	2(a4+b4)> 
	=> a4 + b4 >
Cho a+ b > 1 . Chứng minh rằng : a2 + b2 > 
Giải
	Ta có: a + b > 1	=> (a+b)2>1 hay a2 + 2ab +b2 >1	(1)
	Mặt khác: (a – b)2 0 hay a2 - 2ab +b2 0	(2)
Cộng (1), (2) vế theo vế ta được: 2(a2 + b2)>1 hay a2 + b2 > 
Cho x0, y0, z0. Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+x)8xyz	(1)
Giải
	Hai vế của (1) đều không âm (do x0, y0, z0) nên để cm (1) ta chứng minh : (x+y)2(y+z)2(z+x)264x2y2z2
	Ta có:	(x+y)24xy
	(y+z)24yz
	(z+x)24zx
	Hai vế 3 bđt trên đều không âm, nhân từng vế ta được:
	(x+y)2(y+z)2(z+x)264x2y2z2
	=>[(x+y)(y+z)(z+x)]2(8xyz)2
Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng: (a+1)(b+1)(c+1) 8
Giải
	Nhân từng vế các bđt:
	(a+1)24a
(b+1)24b
(c+1)24c
=> (a+1)2(b+1)2(c+1)264abc
(a+1)(b+1)(c+1)8
Với a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: abc (b+c – a)(a+c – b)(a+b – c)
Giải
	Đặt b + c – a = x; a + c – b = y; a + b – c = z
	Thì a, y, z 0, theo bđt (1) bài 4) ta có: 
2c.2a.2b 8 (b+c – a)(a+c – b)(a+b – c)
=> abc (b+c – a)(a+c – b)(a+b – c)
	Đấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Với a, b, c 0. CMR (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) 16abc
Giải
	Nhân từng vế bđt	(a+1)24a0
	(b+1)24b0
	(a+c)24ac0
	(b+c)24bc0
	(a+1)2(b+1)2(a+c)2(b+c)24a4b4ac4bc
	=> (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) 16abc
V. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Kiến thức :
Chứng minh bất đẳng thức bằng qui nạp như sau:
Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n =1, nN* (hoặc n=a nếu na)
Giả sửa bất đẳng thức đúng với n=k
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1
Ví dụ:
Chứng minh rằng với số x>-1 thì (1+x)n1+nx, với n là só nguyên dương bất kì.
Giải
Với n=1, ta có bất đẳng thức đúng 1+x1+x
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k, tức là: (1+x)k1+kx
Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh: (1+x)k+11+(k+1)x
Thật vậy: theo giả thiết 1+x>0 nên:
(1+x)k(1+x) (1+kx)(1+x)
(1+x)k+1(1+kx)(1+x)
	Hay:	(1+x)k+11+(k+1)x+kx2
	Mà: kx20 nên 1+(k+1)x+kx21+(k+1)x
	Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0.
Bài tập
CMR n2>n+5 với mọi số tự nhiên n3
Giải
Bất đẳng thức đúng với n=3 vì 32>3+5
Giả sử k2>k+5, tức đúng với n=k
Xét (k+1)2 – (k+6) = k2+2k+1 – k – 6=k2+k – 5
= k2 – (k+ 5)+2k>0
CMR: 2n>n3(1), với mọi số tự nhiên10
Giải
Bất đẳng thức (1) đúng với n=10 vì 210=1024>103
Giả sử (1) đúng với n=k, tức 2k>k3 (k10)
Ta cần chứng minh: 2k+1>(k+1)3
Xét hiệu 2k+1 – (k+1)3 = 2k.2 – k3 – 3k2 – 3k – 1
	 = 2(2k – k3) + k3 – 3k2 – 3k – 1
Theo giả thiết qui nạp: 2k – k >0
Ta cần chứng minh: k3 – 3k2 – 3k – 1>0
Ta có: k3 – 3k2 – 3k – 1 = k(k2 – 3k – 3) – 1
	 = k[k(k - 3) – 3] – 1
Do k10 => k(k - 3) 70 => k[k(k – 3) – 3] – 1 669>0
Vậy: 2k+1>(k+1)3
	Vậy 2n>n3 với mọi số tự nhiên10
CMR với mọi số nguyên dương n3 thì 2n>2n+1	(1)
Giải
Với n=3 thì 23>2.3+1 ((1) đúng)
Giả sử (1) đúng với n=k3, nghĩa là: 2k>2k+1. 
Ta phải chứng minh: 2k+1>2(k+1)+1
Hay:	2k+1>2k+3	(2)
	Thật vậy: 2k+1=2.2k. Mà 2k>2k+1 (theo giả thiết qui nạp)
	Do dó: 2k+1>2(2k+1) = (2k+3) + (2k – 1)> 2k+3 
Vì k3 nên 2k – 1>0
	=> (2) đúng với mọi k3 
	Vậy: với mọi số nguyên dương n3 thì 2n>2n+1