Chuyên đề Bài toán liên quan đến cực trị và tiệm cận hàm số

ngang và 
tiệm cận đứng tại A và B. 
1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB 
2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận 
ngang và tiệm cận đứng một tam giác có diện tích không đổi. 
3. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) lại đi qua giao điểm của hai 
đường tiệm cận. 
Dễ thấy (C) có hai tiệm cận ngang và đứng lần lượt là: 
y = 2 và x = 2 . 
Giả sử M ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
2
12
,
0
0
0 x
xx với x0 > 2 là điểm tuỳ ý nằm trên (C) 
(khi x0 < 2 xét hoàn toàn tương tự). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 8 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Ta có y’(x0) = 2
0 )2(
5
−
−
x
,vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 
y = )(
)2(
5
2
12
02
00
0 xx
xx
x −−
−=−
+ hay y = 2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x . (1) 
Ta tìm toạ độ các điểm A, B 
Thay x = 2 vào (1), ta có y = 2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
)2(
1222
)2(
22210
−
−+=−
−++−
x
xx
x
xx 
Vậy B (x0, 2
0
0
2
0
)2(
1222
−
−+
x
xx ) . 
Từ (1) xét phương trình (ẩn x) 
2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x = 2 
Ù 2
0 )2(
5
−
−
x
x = 2 - 2
0
0
2
0
)2(
222
−
−+
x
xx 
Ù - 5x = 2x20 - 8x0 + 8 - 2x02 - 2x0 + 2 
Ù - 5x = -10x0 + 10 . Từ đó ta có : 02x x 2.= − .Vậy . 0(2 2, 2)A x −
Do B, M, A nằm trên đường thẳng (1), mà 
 0 02 (2 2) 2 2 .B A Mx x x x+ = + − = = x 
Vậy M là trung điểm của AB. 
Gọi I (2,2) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số đã cho. 
Ta có: IA = )2(2222 00 −=−−=− xxxx IA (do x0 > 2) 
IB = 2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
)2(
)2(10
)2(
2010
2
)2(
1222
−
−=−
−=−−
−+=−
x
x
x
x
x
xxyy IB 
Vậy SIAB = 2
1 IA. IB = 10 = const , tức là tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận của 
hàm số một tam giác có diện tích không đổi. 
Xét điểm I (2, 2) là giao của hai tiệm cận: 
Thay x = 2 vào vế phải của (1) ta có 
VF = 2
44
1222
)2(
1222
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0 ≠+−
−+=−
−+−
xx
xx
x
xx 20 ≠∀x . 
Thay y = 2 vào vế phải của (1) ta có: VT = 2 . 
Vì lẽ đó I không nằm trên đường thẳng (1) 20 ≠∀x . 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 9 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Điều đó có nghĩa là: Mọi tiếp tuyến của (C) không bao giờ đi qua giao điểm của 2 
đường tiệm cận. 
Nhận xét: 
- Các hàm phân thức quen thuộc: 
y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a, a’ 0≠ ) cũng có các tính chất như trên . 
Cách chứng minh cho dạng tổng quát với cả hai loại trên giống hệt như cách chúng 
tôi đã trình bày trong thí dụ vừa xét.. 
Thí dụ 2: Cho đường cong y =
2 3 1
2
x x
x
+ −
− (C) . 
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên (C) đến hai tiệm 
cận của (C) là một hằng số. 
Dễ thấy 
2 2
2 2
3 1 3 1lim , lim
2 2x x
x x x x
x x+ −→ →
+ − + −= +∞ = −∞− − , vậy x=2 là tiệm cận đứng. 
Viết lại y dưới dạng y = x + 5 + 
2
9
−x 
Ta có 
2 3 1 9lim ( 5) lim 0
2 2x x
x x x
x x→∞ →∞
⎡ ⎤+ − − + = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 , vậy y=x+5 là tiệm cận xiên. 
Lấy M (x0, x0 + 5 + 2
9
0 −x
) là điểm tuỳ ý trên (C) 
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên x - y + 5 = 0 là 
d1 = 
22
9
2
5
2
95
0
0
00
−=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−++−
x
x
xx
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là d2 = 20 −x . 
Từ đó suy ra d1, d2 = =
2
9 const => đ.pc.m 
Chú ý: Ta đã sử dụng công thức sau (cần nhớ). Khoảng cách từ điểm 
 0 0( , )M x y tới đường thẳng x = c là d = cx −0 . 
Tương tự khoảng cách từ điểm M (x0, y0) tới đường thẳng y = a là 
d = ay −0 .Từ thí dụ trên ta lại có thêm một tính chất nữa của tiếp tuyến và đường 
tiệm cận của hàm phân thức. 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 10 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Với y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a và a’≠ 0) là hai hàm phân thức thông 
dụng,khi đó tính các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường cong tới hai tiệm cận nó 
là một hằng số. Cách chứng minh đói với đường tổng quát cũng giống như cách ta đã làm 
trong thí dụ cụ thể trên.. 
Thí dụ 3: Cho y = 
1
12
−
+−
x
xx (C) 
Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai đường tiệm 
cận là bé nhất. 
Bằng phép tính tương tự như trên , dễ dàng thấy rằng (C) nhận x=1 là tiệm cận đứng 
và y=x là tiệm cận ngang. Do đó giao điểm I của hai tiệm cận là I (1, 1) 
Lấy M (x0, x0 + 1
1
0 −x
) ∈( C ) . Khi đó ta có 
MI = 2
0
0
2
0 )1
11()1( −+−+− xxx = 2)1(
1)1(2 2
0
2
0 +−+− xx . 
Từ đó suy ra MI 222 +≥ (1) 
Từ (1) suy ra MI = 222 + Ù 2(x0 - 1)2 = 2
0 )1(
1
−x 
Ù (x0 - 1)4 = 2
1 
Ù x0 - 1 = 4 2
1± 
x0 = 1 + 4 2
1 
Ù
x0 = 1 - 4 2
1 
Như vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là: 
M1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++ 4
44
2
2
11,
2
11 và M2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−− 4
44
2
2
11,
2
11 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1: (Đại học, Cao đẳng khối B, 2002) 
Cho hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 11 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Bài giải 
Ta có: y’ = 4mx3 + 2(m2- 9)x 
*Nếu m = 0, thì y’= -18x 
Với bảng biến thiên: 
x 0 
y’ + 0 - 
y 
Suy ra khi ấy hàm số có điểm cực trị . 
Giá trị m = 0 bị loại 
* Nếu m 0, ta có ≠
y’ = 2x [ 2mx2 + m2 – 9) 
Như vậy có 3 điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ta có: 
y’ = => x( 2mx2 + m2 – 9) = 0 (1) 
Vì thế (1) có 3 nghiệm phân biệt, cần và đủ là phương trình 
2mn2 + m2 – 9 = 0 
Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi 
0
2
9 2 〉−
m
m 
Dựa vào trục xét dấu sau: 
Suy ra: m< -3 hoặc 0 <m < 3 
Tóm lại hàm số có 3 điều cực trị ⎢⎣
⎡
〈〈
〈−⇔
30
3
m
m
Chú ý: Đường cong bậc 4 y = ã4 + bx3 + 0x2 + doanh nghiệp + e (a ≠ 0) 
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 2: (Đề thi đại học, cao đẳng khối A 2005) 
Cho đường cong 
x
mxy 1+= tìm m để đường cong có cực trị và khoảng cách từ điểm 
cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 
2
1 
Bài giải 
Ta có 2
1'
x
my −= trước hết đường cong mới có giá trị cực trị, thì phương trình y’ = 0 
phải có nghiệm phân biệt. Điều này có khi và chỉ khi m >0 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 12 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Vẽ bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu là ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ m
m
M 2,1 
Mặt khác, tiệm cận xiên là y = mx hay mx – y = 0 
Khoảng cách từ M đến nó là: 
1
21
2 +
−
=
m
m
m
m
d 
Theo bài ra ta có ⇔=
+
⇔=
2
1
12
1
2m
md m2 – 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1 
Giá trị m = 1 thoả mãn m >0 vì đó là giá trị cần tìm của tham số m 
Bài 3: (Đề thi đại học, cao đẳng khối B – 2005) 
Xét đường cong 
1
2)1(2
+
++++=
x
mxmxy (Cm) 
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm)luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng 
cách giữa hai điểm đó bằng 20 
Ta có: [ ] [ ] 2222 )1( 2)1( 1)1()1()1(2' ++=+ ++++−+++= x xxx mxmxxmxy 
Từ đó với mọi x, phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1. Vậy với 
mọi m, đường cong có hai cực trị 
Dễ thấy hai điểm cực trị là M (0,m+1); N(-2;m-3). Từ đó 
20)13()2( 22 =−−−+−−= mmOMN đpcm 
IV. LUYỆN TẬP 
Bài 1: 
Tìm m để hàm số y = 
3
1 x3 + (m- 2)x2 + (5m + 4) + m2 + 1.Đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 <- 
1< x2. 
Hướng dẫn: 
Tìm điều khiện để phương trình x2 + 2(m - 2)x + 5m + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho 
x1<-1<x2. Dùng định lý đảo tam thức bậc hai và có đáp số: m <- 3 
Bài 2: 
Cho y = 
3
2 x3 + (cosα - 3 sinα )x2 - 8(1 + cos2α )x + 1 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 13 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
1. Chứng minh rằng ∀ α hàm số luôn có cực trị 
2. Giả sử hàm số đạt cực trị x1,x2. Chứng minh ∀ α , ta có + 18 21x 22x ≤
Bài 3: 
Cho y = 
3
1 x3- mx2 - x + m + 1. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là bé nhất. 
Hướng dẫn: 
 - Sử dụng kết quả để chứng minh sau: 
Cho y = ax3+ bx2 + cx + d (a 0), và ghi rõ hàm số có cực trị. Gọi Ax + B là phần dư trong 
phép chia của y cho ý. Khi đó giả sử x1,x2 là hoành độ của cực trị, thì tung độ cũ của các 
điểm đó là: 
≠
y1 = Ax1 + B; y2 = Ax2 + B 
- Đáp số: dmin = 3
32 Ù m = 0 
Bài 4: Cho y = x3 - 3x2 + m2x + m. Tìm m để đường cong có cực đại, cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng y = 
2
1 x - 
2
5 
Hướng dẫn: Sử dụng hướng dẫn trong bài 3 
Đáp số: m = 0 
Bài 5: 
Tìm m để đường cong y = x4 + 4mx3 + 3(m+ 1)x2 + 1. Chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 
Hướng dẫn: Lập bảng biến thiên và xét dấu y theo m 
Đáp số: m = - 1 hoặc 
3
71− ≤ m ≤
3
71+ 
Bài 6: 
Cho y = x4 + (m+ 3)x3 + 2(m+1)x2. 
Chứng minh rằng với mọi m - 1, thì hàm số luôn luôn có cực đại tại điểm có hoành độ ≠ ≤ 
0 
Bài 7: 
Cho y = 
)(2
4)12( 22
mx
mmxmx
+
+++++ 
Tìm m để hàm số có cực trị và tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị 
Hướng dẫn: Sử dụng công thức, nếu (x, y) là điểm cực trị (i = 1,2). thì yi = 2
122 ++ mxi 
Đáp số: 4 2 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 14 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Bài 8: 
 Cho y = 
4
32
−
++−
x
mxx Tìm m để đường cong có cực trị và thoả mãn hệ thức ctCD yy − = 4 
Ở đây yCĐ, yCT tương ứng ký hiệu giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. 
Hướng dẫn: Áp dụng công thức bài 7. 
Đáp số; m = 3 
Bài 9: 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 
mx
mxx
+
++− 2 
2. Tìm m để đường tiệm cận xiên của (c) đi qua điểm A(3,0) 
Bài 10: 
 Cho hàm số y = 
1
12
+
−+
x
mxx (Cm) 
 1. Khảo sát cà vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2. Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm)tạo với 2 trục toạ độ 1 tam giác có diện tích bằng 
8 (đơn vị diện tích). 
Bài 11: 
Cho y = 12 +− xx . (C) 
Tìm các tiệm cận của (C). 
Nguồn: Hocmai.vn 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 15