Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9

7 
Þ Ak+1 57
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7 + 8 57.
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n ³ n0. Thì ta kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n0?
III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì:
 11 + 12 133
-----------------------------------
LUYỆN TẬP
 sao cho 
A = 
HD: (a + b) 9 và (a + b) = 9k k = 1 a + b = 9 9a = 9.8 = 72 a = 8 và b = 1 
B = 
HD: Đặt ; 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 
Xét 2 khả năng : 
 	(1) B = 9801
 (2) 
ĐS: B = 9801;2025;3025
=
 sao cho 
Tìm 
Tính giá trị của biểu thức:
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.
4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
a) x2 + y2	b) x3 + y3 	c) x4 + y4 
5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n.
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
 b) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
Tiết 21-22
I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
 Chứnh minh : (Với a , b ³ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
 ( a – b ) = a - 2ab + b ³ 0 Þ a + b ³ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b
 Chứng minh: . (Với a , b ³ 0) 
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ³ 0 + 4ab Þ ( a + b ) ³ 4ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 Chứng minh: (Với a , b ³ 0) 
Giải:
2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ³ 0 Þ 2(a + b) ³ ( a+b ). Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải:
 + = .Do ab £ Þ ³ 2 .Hay + ³ 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b
 Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
 + = - .Do ³ 2 Þ - £ -2. Hay + £ - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b.
 Chứng minh: . (Với a , b > 0) 
Giải:
 + - = = ³ 0 Þ + ³ . Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 Chứng minh rằng: . 
Giải:
 2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ³ 0
 Þ 2(a +b +c) ³ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ³ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a = b;b = c;c = a Û a = b= c.
Tiết 23-26
Cần lưu ý tính chất:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
 a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc 
a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0
a2 + 9b2 + c2 + > 2a + 12b + 4c
a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 4
x2 – xy + y2 0
x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0
x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 0
x4 + x3y + xy3 +y4 0
x5 + x4y + xy4 +y5 0 với x + y 0
a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
(a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b
ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )
 (với a b ³ c > 0)
 ( Với a,b > 0)
 (Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
HƯỚNG DẪN: 
Bài 1:
Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra.
A – B = 
Bài 2:
4A – 4B = 
Bài 3:
A – 1 == 
Bài 4:
A – B = 
Bài 5:
 A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6:
A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
Bài 7:
A – B = 
Bài 8:
x2 – xy + y2 = 
Bài 9:
.x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = .
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10:
Tương tự bài 9
Bài 11:
x4 + x3y + xy3 +y4 = 
Bài 12:
Tương tự bài 11
Bài 13:
Xem ví dụ 7
Bài 14:
A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15:
A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d )
 = 
Bài 16:
A - B = . 
Bài 17:
Xem bài tập 16
Bài 18:
 A - B = (a-c)(b-a)( . 
(Với a b c 0)
Bài 19:
A - B = 
 ( Với a,b > 0)
Bài 20:
A - B = 
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
Tiết 27-30
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 I: DẠNG 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu a > 0 : Suy ra Khi 
Nếu a < 0 : 
Suy ra Khi 
Một số ví dụ:
Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = =
 . 
 Suy ra .
Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7	
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = -=
 £ . 
Suy ra .
Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ³ 8.
 Þ MinB = 8 khi : Û . 
Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - £ 10.
 Þ GTLNC = 10 khi: Û .
BÀI TẬP:
Tìm GTNN 
Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2
Tìm GTLN D = 
 Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
Tìm GTNN của G = 
Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
Tìm GTNN C = 
 Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3) 
Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
HƯỚNG DẪN
 A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 
 Þ MinA = 2001,75 khi x = 2,5
B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 
 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 
 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x +x+1) = .
 G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
C = 
 * Nếu x ³ . C = (3x - 3) + 1 
 * Nếu x < .C = (3x + 1) + 6
 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1
Tiết 31-36
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
 (a,b>0). (BĐT Cô-si)
 ( Bu nhi a cop xki)
Ví dụ 9:Chứng minh (Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B = 
= 
Áp dụng bất đẳng thức .Ta có:2A - 2B .Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng :.
Giải:
.Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : 
Giải: ; ; 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..
Bài tập:
Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng
Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)³ 8
Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng
a) a + b ³ b) a + b ³ 
Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ³ 9 
 Cho x , y , z ³ 0và x + y + z £ 3 . Chứng minh rằng:
 + + £ £ + + 
Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 a. + ³ 6
 b. + ³ 14
Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 (a + ) + (b + ) ³ 
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh : .
Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh rằng :.
 Chứng minh: a + b ³ với a + b ³ 1
Chứng minh: Với a,b,c > 0
Chứng minh: 
Bài 28: Cho 
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ³ 8xyz 
Cho A = Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN:
A = 
Áp dụng (a + 1) ³ 2a
a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ³ 0. b) Áp dụng câu a.
Xem bài 1
 + + £ + + = + + = .
 + + ³ ³ = 
 A = + = ( + ) + ³ + = 6 ( vì 2ab £ (a+b) )
 B = + = 3( +) + 
 (a + ) + + (b + ) + = + ³ 5(a + ) + 5(b + ) 
 	= 5( a + b) + 5( + ) ³ 5( a + b) + 5. = 25
 Suy ra: (a + ) + (b + ) ³ 
 + ³ ; + ³ ; + ³ 
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
Ta có: + = ( + ) ³ 2. 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)
Áp dụng BĐT 
 a + b ³ ( a + b ) ³ ³ 
 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + 
= (a+b+c) ( + + ) ³ (a+b+c) . = Suy ra: 
Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số 
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
Áp dụng BĐT .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT Với từng cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm
Ví dụ 8:
Rút gọn Biếu thức Với a 
Thực hiện phép tính: (a 2.)
Giải:
a.
b.
Ví dụ 9: Thực hiện phép tính: .( Với x y)
Giải:
Ví dụ 10: Cho biểu thức : .
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
b.
Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 
với a = 2007.
Giải:
Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : .
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - .
Giải: 
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 
Bài tập:
Chứng minh rằng Biếu thức
P =
không phụ thuộc vào x.
Cho biểu thức M = .
Tìm tập xác định của M.
Tính giá trị của x để M = 0.
Rút gọn M.
Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B
Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 với n Z
Rút gọn biểu thức : với x -3; x 3; y -2.
Cho Biếu thức : A = .
Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị của x để A > 0.
Tìm giá trị của A trong trường hợp .
 a.Thực hiện phép tính: 
a.A = .
b. Rút gọn C = .
Cho a,b,c là 3 số nhau đôi một.
Tính S = .
 Tính giá trị của biểu thức : biết:
Cho a + b + c = 1 và .
Nếu . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của a,b,c
Bài 11: Cho Biếu thức : .
Tính giá trị của A khi a = -0,5.
Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3.
 Chứng minh nếu xyz = 1 thì: .
Chứng minh đẳng thức sau: 
Thực hiện phép tính: .
Tính tổng : S(n) = .
 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A = .
Biết a là nghiệm của Phương trình : .
 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
 Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : 
Thực hiện phép tính: 
A = 
 Rút gọn biểu thức : A = .
 Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: 
B = 
 Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007.
	A = .
 Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị biểu thức P = .
Cho biểu thức : . Chứng minh rằng nếu :
 	x + y + z = 0 thì A = 1.
HƯỚNG DẪN:
 P =
 M = .
 =
= 
a.Rút gọn B = 
b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 
a.A = .
b.A > 0
c.
x = 11 
x = 3 A không xác định
a.A = .
b. Rút gọn C = .
 S = 
 Từ:(1) 
Biến đổi A = (2)
Thế (1) vào (2) ; A = - 3 
 Từ a + b + c = 1 và suy ra:
ab + bc + ca = 0 (1)
a. Nếu 
suy ra : 
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. Áp dụng
Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: Từ đó tính được a , b , c.
Xem bài 21
 Từ xyz = 1 Biến đổi 
.
Chứng minh : 
.
 	.
 .
.
Rút gọn 
=
. Cộng từng vế được A = 0.
A = .
TXĐ: ;B = 
A = .
Từ: .
Suy ra: 
Suy ra: 
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
P = -1 hoặc P = 8
Từ: x + y + z = 0 suy ra: 
. 
=========o0o=========