Chuyên đề Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 
Môn: TOÁN. 
Chuyên đề: DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM 
CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
Dùng đồ thị hàm số giải bài toán biện luận phương trình trong nhiều trường hợp sẽ đơn giản 
hơn 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
- Dựa vào nhận xét “Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là số giao điểm của hai 
đường y = f(x) và y = g(x), bài toán biện luận phương trình trong nhiều trường hợp có cách giải 
đơn giản, rõ ràng nếu dựa vào các đồ thị đã biết của đường cho trước (thường dựa vào kết quả 
của vẽ đồ thị hàm số trong các phần trước). 
- Để đếm đúng số giao điểm của hai đường y = f(x), y = g(x) người ta sử dụng đến các điểm 
tới hạn, và các vị trí tới hạn của các đường (thường là các vị trí mà các đường tiếp xúc với nhau). 
Vì thế các kết quả trong mục này có liên quan đến các kết quả về tính tiếp xúc của các đường 
Xét các thí dụ sau đây: 
Thí dụ 1: 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4x3 - 3x 
2. Biện luận số nghiệm của phương trình theo m 4 3 3x x m− = 
3. Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 3x = 21 x− có 3 nghiệm 
Giải :Ta có: y’ = 12x2 - 3, vậy có bảng biến thiên sau: 
x -∞ 1
2
− 1
2
 +∞ 
y’ + 0 - 0 + 
y 1 -1 
y’’ = 24x 
Từ đó suy ra đồ thị có dạng sau (các bạn tự vẽ đồ thị): 
Số nghiệm của phương trình 4 3 3x x m− = chính là số giao điểm của hai đường y = 
4 3 3x x− và y = m. Từ đồ thị ở câu 1 suy ra đồ thị của y = 4 3 3x x− như sau (các bạn tự vẽ 
đồ thị): 
y = m là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ = m, 
nên từ đồ thị suy ra: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2 
- Nếu m > 0: Có 2 nghiệm 
- Nếu m = 0: Có 3 nghiệm 
- Nếu -1 < m < 0: Có 4 nghiệm 
- Nếu m = -1: Có 2 nghiệm 
- Nếu m < -1: Vô nghiệm 
3. Đồ thị y = 4x3 - 3x đã có ở câu 1. Xét hàm số: 
y = 21 x− 
Ta thấy nó có thể viết dưới dạng y 0≥
x2 + y2 = 1 
Từ đó suy ra đồ thị của y = 21 x− là nửa đường tròn tâm tại gốc toạ độ bán kính 1 (lấy 
nửa trên ứng với y ) (các bạn tự vẽ đồ thị) 0≥
Từ đó suy ra phương trình 4x3 - 3x = 21 x− có 3 nghiệm phân biệt => đpcm. 
Thí dụ 2: Tìm m để phương trình 4 3 3 1x x mx m− − = − có bốn nghiệm phân biệt. 
Làm tương tự như ví dụ 14, ta thấy đường cong y = 4 3 3 1x x− − có đồ thị như sau (tự vẽ 
đồ thị) 
Đường thẳng y = mx - m = m(x - 1) với mọi m luôn đi qua điểm A(1,0) và có hệ số góc = 
m. Xét hai vị trí tới hạn của họ đường thẳng y = m(x-1) 
Trước hết là đường thẳng qua A (1,0) và B(0, -1). Đường thẳng này có hệ số góc m1 = 1 
Thứ hai xét tiếp tuyến với đường cong y = 4 3 3x x− vẽ qua A. Rõ ràng tiếp tuyến này 
tiếp xúc với nhánh của đường cong với x < 0. (khi đó y = -4x3 + 3x). Gọi x0 là hoành độ của tiếp 
điểm (x0 < 0) ,và m2 là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta có: 
-4x30 + 3x0 =m2(x0 - 1) (1) 
-12x20 + 3 = m2 (2) 
x0 < 0 (3) 
Thay (2) vào (1) vì đi đến hệ 
4x30 - 6x20 + 1 = 0 
m2 = -12x20 + 3 
x0 = < 0 
 x0 = 
1 3
2
− 
m2 = 6 3 9− 
Phương trình đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y =m(x-1) nằm giữa hai 
đường thẳng tới hạn trên (dĩ nhiên không tính tới hai đường chặn trên, và chặn dưới ấy). 
Nói cách khác: 1 < m < 6 3 - 9 là các giá trị cần tìm của tham số m. 
? 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 
Thí dụ 3. (Đại học và Cao đẳng khối A - 2002) 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị y = -x3 + 3x2 (C) 
2. Tìm k để phương trình -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
1. Ta có y’ = -3x2 + 6x, ’ = 6 +6 à có ng biến thiên sau: 
Bài giải: 
 y’ - x v bả
x -∞ + 0 2 ∞ 
y’ - 0 + 0 - 
y’’ 0 4 
Đồ thị của (C) như sau (tự vẽ đồ thị) 
iệm hân b ựa vào đồ thị của (C) khi và chỉ khi 
Từ (2) và lạ ị của (C) ở câu 1 trên suy ra. 
 số k là: 
-1 < k < 0; 0 < k < 2, 2 < k < 3 
 NHÀ 
2. Ta thấy: 
-x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 
? -x3 + 3x2 = -k3 + 3k2 (1) 
Từ (1) suy ra (1) có 3 ngh p iệt (d
 0 < -k3 + 3k2 < 4 (2) 
i dựa vào đồ th
-1 < k < 3 
k≠ 0, k≠ 2 
Vậy các giá trị cần tìm của tham
III. BÀI TẬP VỀ
Bài 1. Cho hàm số: y 3 2x 4x 4x= − + ,đồ thị (C). Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) 
với đường thẳng y=k 
Bài 2: ( Đại học, Cao đẳng khối A năm 2006). 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) 
2. Tìm m để PT 
 3 22 9 12x x x m− + = 
Bài 3: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình : 
2 2 | | 3
| | 1x −
x x a− + = 
Bài 4: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
2( 1)
2
y
x
= x ++ 
2. Biện luận theo tham số m về số ngh của phương trình sau: 
iệm
2( 1) . | 2 | 0x m x+ − + =
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 
Bài 5: Cho hàm số 3 3x 2y x= − + − 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 
2. Biện luận theo m số nghiệm của phư : 
2 log 0m+ = 
ơng. 
ơng trình
3 3xx − + 2
với m là tham số dư
Bài 6: Cho hàm số 3 23x 9xy x m= + − + (m là tham số ) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6 
2. Với những giá trị nào của m thì phương trình 3 23x 9x 0x m+ − + = có 3 nghiệm phân biệt . 
Bài 7: Tìm những giá trị của ể phương trình t đ
2sin 1
sin 2
t
x
x + =+ 
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng [0; ]. 
 Tr H Hocmai.vn
π
 Tổ Toán ung tâm BDV 
 Nguồn: Hocmai.vn