Chuyên đề Giới hạn dãy số qua các định lý và bài toán

Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
Giới hạn dãy số qua các định lý và bài toán 
1. Các giới hạn cơ bản. Tính giới hạn bằng định nghĩa và định lý cơ bản. Tiêu chu
n 
Cauchy. Định lý giới hạn kẹp. 
1. Chứng minh các tính chất sau 
 a) 0lim =
∞→
n
n
q với |q| < 1 b) 0lim =
∞→
α
n
n
 nếu α < 0 
 c) 0lim =
∞→ nn a
nα
 với mọi a > 1 d) 0
!
lim =
∞→ n
an
n
 với mọi a 
2. (Định lý giới hạn kẹp) Chứng minh rằng nếu với mọi n ta có xn ≤ yn ≤ zn và azx n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim thì 
 ayn
n
=
∞→
lim . 
3. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 
n
nn
21+< . Từ đó tính giới hạn 
n
n
n
∞→
lim . 
4. Sử dụng đẳng thức 
nn
nn
++
=−+
1
11 và đánh giá 
nnnn 2
1
1
1
12
1
<
++
<
+
hãy tính 
n
n
n
1
...
2
11
lim
+++
∞→
5. (Canada 1985) Cho 1 < x1 < 2. Với n = 1, 2, ... ta định nghĩa xn+1 = 1 + xn - xn2/2. 
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 ta có .
2
1|2|
nn
x <− 
6. (VMO 2012) Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: 
1
1
3
2 ( 2)
3n n
x
n
x x
n
−
=

 +
= +
với mọi n ≥ 2. 
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n 
 ∞ và tính giới hạn đó. 
7. (Singapore 1997). Cho dãy số {ak} xác định bởi a0 = 1/2, .1,...,2,1,
2
1 −=+=+ nk
n
a
aa kkk 
Chứng minh rằng .111 <<− na
n
Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
2. Dãy số dạng xn+1 = f(xn) 
Với các dãy số có dạng xn+1 = f(xn) thì phương trình x = f(x) và tính tăng giảm của hàm số f đóng một vai 
trò quan trọng. Giới hạn L (nếu có) của dãy số phải là nghiệm của phương trình L = f(L). 
1. Cho I là một khoảng đóng của R và hàm số f: I --> I. Xét dãy số (xn) xác định bởi x0 = 
a ∈ I, xn+1 = f(xn) với mọi n = 0, 1, 2, 3, ... 
a) Nếu f là hàm số tăng trên I thì (xn) sẽ là dãy đơn điệu. 
b) Nếu f là hàm số giảm trên I thì các dãy con (x2k), (x2k+1) là các dãy đơn điệu ngược 
chiều nhau. 
c) Giả sử f liên tục trên I. Nếu lim xn = L thì L ∈ I, chuyển qua giới hạn trong biểu thức 
xn+1 = f(xn), ta suy ra L = f(L). 
2. (VMO 2013) Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1 và 
na
n
n
a
a
2
231
+
−=+ với mọi n ≥ 1. 
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
3. (VMO 2005) Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 – 7xn2 + 5xn. Tìm tất cả 
các giá trị a để dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. 
Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Hàm số f: I --> I được gọi là một hàm số co trên I nếu tồn tại số thực 
q, 0 < q < 1 sao cho 
 |f(x) - f(y)| ≤ q.|x - y| với mọi x, y thuộc I. 
4. (Nguyên lý ánh xạ co) Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu f(x) là một hàm số co 
trên I thì dãy số (xn) xác định bởi x0 = a ∈ I, xn+1 = f(xn) hội tụ. Giới hạn của dãy số là 
nghiệm duy nhất trên I của phương trình x = f(x). 
5. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: 
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, … 
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng. 
6. (Bà Rịa Vũng Tàu 2009) Cho dãy số xác định bởi 2008)1(2
1
,1 211 −+
== +
n
n
x
xx . Chứng 
minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. 
7*. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 = 2 - xn2 với mọi n = 0, 1, 2, ... Tìm tất cả 
các giá trị a sao cho dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn. 
Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
3. Định lý trung bình Cesaro 
1. Chứng minh rằng nếu 0)(lim 1 =−+
∞→
nn
n
aa thì .0lim =
∞→ n
an
n
2. (Định lý trung bình Cesaro) Cho dãy {xn} có axn
n
=
∞→
lim . Khi đó ta có 
 a
n
xxx n
n
=
+++
∞→
...lim 21 
Nếu xi không âm thì ta cũng có axxxn n
n
=
∞→
...lim 21 . 
Nếu xi ≠ 0 thì ta có a
xxx
n
n
n
=
+++
∞→ 1
...
11lim
21
3. Cho biết e
n
n
n
=





+
∞→
11lim . Hãy tính .
!
lim
nn n
n
∞→
4. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 1/2, xn+1 = xn(1-xn). Chứng minh rằng 1lim =
∞→
n
n
nx . 
5. (Định lý Stolz) Xét hai dãy số (xn) và (yn), trong đó (yn) là dãy số dương tăng và dần 
đến vô cùng. Thế thì .limlim
1
1
−
−
−
−
=
nn
nn
n
n
yy
xx
y
x
6. Cho dãy số {xn} được xác định bởi x0 = 1, xn+1 = sin(xn). Chứng minh rằng 
lim n .xn = 3 . 
7. (Vietnam TST 1993) Dãy số {an} được xác định bởi a1 = 1 và 
n
nn
a
aa
1
1 +=+ . Hãy tìm 
tất cả các số thực β để dãy số (an)β/n có giới hạn hữu hạn khác 0. 
4. Dãy số dạng tổng 
Ta thường gặp các dãy số được định nghĩa dưới dạng tổng các số hạng của một dãy số khác. Khi các số 
hạng này là dương thì dãy tổng hiển nhiên là tăng. Sự hội tụ của dãy tổng bây giờ tương đương với sự bị 
chặn trên. Ta có thể thực hiện điều này thông qua các đánh giá. Tuy nhiên, để tính được giới hạn, ta bắt 
buộc phải tính được tổng chứ không thể thông qua các đánh giá. 
Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
1. (Kontum 2013) Cho dãy số (xn) được xác định như sau: 1)12(2,3
2
11 ++
== +
n
n
n
xn
x
xx ∀n 
∈ N*. 
Tính ∑
=
+∞→
n
i
i
n
x
1
lim . 
2. (Hải Phòng 2009) Cho dãy {un} thoả mãn: 2008,1
2
11
n
nn
u
uuu +== + . Hãy tính 
 ∑
= +
∞→
n
i i
i
n u
u
1 1
lim . 
3. (VMO 1984) Dãy số u1, u2, ... được xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 3un - un-1 với n = 
2, 3, ... Đặt ∑
=
=
n
k
kn uanarcv
1
)(cot . 
Hãy tìm giới hạn của vn khi n dần đến vô cùng. 
4. (VMO 2009) Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = 1/2, 2
4 11
2
1 −−− ++
=
nnn
n
xxx
x với mọi n 
≥ 2. Chứng minh rằng dãy (yn) với ∑
=
=
n
k k
n
x
y
1
2
1
 có giới hạn hữu hạn khi n 
 ∞ và tìm giới 
hạn đó. 
5. (Định lý về giới hạn tương đương) Cho dãy số (ck) với 0 < ck < 1, k = 1, 2, 3, ... Xét 
các dãy số ∏ ∑∏
= ==
=−=+=
n
i
n
i
inin
n
i
in czcycx
1 11
),1(,)1( . Khi đó ba khẳng định sau đây là 
tương đương 
 (i) +∞=
∞→
n
n
xlim ii) 0lim =
∞→
n
n
y +∞=
∞→
n
n
zlim 
6. (Trường Đông Toán học phía Nam 2012) Cho a > 0 và dãy số (xn) xác định bởi x1 = a 
và 1,21 ≥∀+=+ nn
x
xx
n
nn . Chứng minh rằng (xn) có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô 
cùng. 
7. (ĐHSP HN 2000) Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = a2 = 1, )1(
1
1
+
+= −+
nn
a
aa nnn . Chứng 
minh rằng dãy (an) có giới hạn hữu hạn. 
Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
5. Dãy số cho bởi phương trình 
1. Gọi xn là nghiệm của phương trình 
01...
1
11
=
−
++
−
+
nxxx
nằm trong khoảng (0, 1) 
a) Chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ; 
b) Tìm giới hạn của xn khi n dần đến vô cùng. 
2. Cho n > 1 là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình xn = x + 1 có một 
nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Chứng minh rằng xn dần đến 1 khi n dần đến vô 
cùng và tìm )1(lim −
∞→
n
n
xn . 
3. (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1. 
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a chỉ có duy 
nhất một nghiệm dương. 
b) Ký hiệu nghiệm dương duy nhất này là xn, chứng minh rằng dãy số {xn} có giới 
hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng 
4. (VMO 2002) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình 
2
1
1
1
...
14
1
1
1
2 =
−
++
−
+
− xnxx
 chỉ có một nghiệm duy nhất thuộc (1, +∞), ký hiệu là xn. 
Chứng minh rằng khi n dần đến vô cùng, xn dần đến 4. 
5. (Ninh Bình 2013) Cho phương trình (Nn x, tham số n nguyên dương) 
 x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn - 3/4 = 0 
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy 
nhất, kí hiệu nghiệm đó là xn. 
b) Chứng minh rằng .
3
1lim =
∞→
n
n
x 
6. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, phương trình tan(x) = x có một nghiệm 
duy nhất thuộc 





++− pi
pi
pi
pi
nn
2
;
2
. Ký hiệu nghiệm đó là xn, hãy tính )(lim 1 nn
n
xx −+
∞→
. 
7*. Cho n > 1 là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình xn = x2 + x + 1 có một 
nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Tìm giá trị thực a sao cho giới hạn sau đây tồn tại, 
hữu hạn và khác 0 )(lim 1+
∞→
− nn
a
n
xxn . 
Gặp gặ Toán hặc 2013 Trặn Nam Dũng - Trặặng ĐH KHTN Tp HCM 
6. Một số bài tập chọn lọc 
1. (Moldova 2007) Cho dãy {xn} xác định bởi e
n
nxn
=





+
+11 . Chứng minh rằng dãy 
{xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
2. (Quảng Bình 2009) Cho dãy số un xác định như sau 
 i) u1 = 1; ii) *11
2
1 Nn
u
u
u
n
n
n ∈∀
−+
=+ 
Chứng minh rằng 





−+≥+++
−121 2
11
4
1...
nn
uuu
pi
. 
3. Cho dãy số {xn} xác định bởi 
i) x0 = -2; 
ii) 
2
411 1−−−
=
n
n
x
x với mọi n ≥ 1. 
Đặt un = nxn và vn = (1+x02)(1+x12) …(1+xn2). Chứng minh rằng các dãy số un và vn có 
giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. 
4. (Hà Tĩnh) Dãy số (xn) với n = 1, 2, 3, … bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện: 
2 1
1 3
4 4n n n
x x x+ +≥ + với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. 
5*. (PTNK 2012) Cho dãy {un} giảm và limun = 0. Với mỗi số nguyên dương n, đặt: 
vn = u1 + u2 +... + un – nun+1 và zn = u1 + u2+...+ un. 
Chứng minh rằng nếu dãy {vn} bị chặn thì dãy {zn} hội tụ. 
6*. Cho dãy số {an} thỏa mãn điều kiệm lim (an+1 – an) = 0 và lim (a2n – 2an) = 0. 
 a) Chứng minh rằng {an} bị chặn; 
 b) Chứng minh rằng lim an = 0. 
7*. Đơn giản các tổng sau: 
 a) ;
12
cot...
12
2
cot
12
cot 222
+
++
+
+
+ n
n
an
n
an
n
an
pipipi
 b) .
12
cos...
12
2
cos
12
cos 222
+
++
+
+
+ n
n
ec
n
ec
n
ec
pipipi
Từ đó suy ra rằng với mọi số nguyên dương n, tổng 222
1
...
3
1
2
11
n
++++ nằm giữa 
612
21
12
11
2pi






+
−





+
−
nn
 và 
612
11
12
11
2pi






+
+





+
−
nn
.