Chuyên đề Hình học phẳng

 quỹ tích điểm
4.1 Phương pháp
4.2 Một số ví dụ
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD mà ABD là tam giác nhọn và . Trên các cạnh của hình bình hành, lấy các điểm K thuộc AB, L thuộc BC, M thuộc CD, N thuộc DA sao cho KLMN là tứ giác nội tiếp có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANK và CLM. Tìm quỹ tích các giao điểm của đường chéo của tứ giác KLMN.
Bài 2. (Đài Loan – 1997) Gọi AB là đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng (chứa AB) sao cho trong tam giác ABC, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau.
Bài 3. (IMO 1965) Cho tam giác OAB có góc O nhọn, M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB, P và Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB tương ứng. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác OPQ. Quỹ tích H sẽ là gì nếu M di động trong miền trong của tam giác OAB.
Bài 4. Cho đường tròn (C) có tâ I, bán kính R và điểm O cố định sao cho OI = 2R. Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với (C) và trực giao với nhau, M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2). Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5. Cho điểm A cố định ở miền trong của hình tròn tâm O bán kính R. Gọi EF là dây cung thay đổi luôn đi qua A của đường tròn (O). Tìm tập hợp các giao điểm M của hai tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ E và F.
Bài 6. Gọi B, C là hai điểm cố định nằm trên một vòng tròn cho trước, A là điểm chuyển động trên đường tròn đó. Điểm I trên đoạn AB sao cho . Tìm tập hợp các điểm M, hình chiếu của điểm I lên đường thẳng AC.
Dạng 5. Chứng minh tứ giác nội tiếp
5.1 Phương pháp
5.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Hàn Quốc) Cho tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q, R, S lần lượt là các giao điểm của hai đường phân giác ngoài các góc và , và , và , và tương ứng. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S cùng nằm trên 1 đường tròn.
Bài 2. Gọi AA1, CC1 là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Đường phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng AA1, CC1 cắt các cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh AC, đường phân giác của góc cắt đoạn HM tại R. Chứng minh rằng tứ giác PBQR nội tiếp một đường tròn.
Bài 3. (VMO 2001) Cho tam giác ABC không cân có góc ABC và góc ACB nhọn. D di chuyển trên cạnh BC sao cho AD không vuông góc với BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC tại E và F. Gọi M, N, P là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng A, M, N, P cùng thuộc 1 đường tròn khi và chỉ khi d đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bước 1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 4. (VĐ 12 – p9) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường thẳng, mỗi đường đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy.
Dạng 6. Đường thẳng – đường tròn qua điểm cố định
6.1 Phương pháp
Bài toán: Cho điều kiện X. Xét đường thẳng d thay đổi thoả mãn điều kiện X. Chứng minh rằng d đi qua một điểm cố định.
Điều kiện X rất đa dạng. Ta có một số phương pháp tìm điểm cố định mà d đi qua như sau:
+ Đoán nhận điểm cố định bằng một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội – ngoại tiếp có tính chất cố định, trung điểm của đoạn thẳng cố định, ….
+ Xét một số vị trí đặc biệt của d để tìm điểm cố định.
+ Liên hệ giữa bài toán này với bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc 3 đường thẳng đồng quy.
+ Sử dụng phép biến hình để chỉ ra rằng nếu ảnh của đường thẳng d đi qua một điểm cố định thì d đi qua một điểm cố định.
+ Dùng phương pháp toạ độ 
+ Dùng điều kiện cùng phương của hai vec tơ: “Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên BC là tồn tại các số thực x, y sao cho và ”
6.2 Ví dụ
Ví dụ 1. Cho góc và các độ dài a, b. Trên hai cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Xét các điểm M và N lần lượt trên các đường thẳng AB và AD sao cho các đường thẳng DM và BN cắt nhau tại P khác A; dựng hình chữ nhật AMQN. Chứng minh rằng khi các điểm M, N thay đổi thì đường thẳng PQ luôn qua một điểm cố định.
Ví dụ 3. Cho góc và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc tia Oy ta dựng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với cạnh OB tại N và tiếp xúc với cạnh AB tại M. Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN đi qua một điểm cố định.
Ví dụ 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối Ax của tia AB lấy điểm M. Từ M kẻ tới đường tròn (O’) hai tiếp tuyến MC và MD (C, D là các tiếp điểm và D nằm trong (O)). Đường thẳng AC cắt (O) lần thứ hai tại P và AD căt (O) lần thứ hai tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên tia Ax.
6.3 Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho góc xOy và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc Oy ta dựng đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OB tại N và đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và ACD cắt nhau tại hai điểm phân biệt P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi.
Bài 3. Cho góc xOy và độ dài a. Trên hai cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn điều kiện OA + OB = a. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi đường trung trực của đoạn thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho góc xOy và độ dài a. Trên các cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn điều kiện OA – OB = a. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi sao cho thì đường trung trực của đoạn thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Từ 1 điểm P thay đổi nằm trên 1 mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CB, CA tại Q và R. Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng d’ nối R với trung điểm J của CB tại S. Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn luôn qua 1 điểm cố định. (hệ afin)
Bài 6. Cho (O) và đường thẳng d cố định nằm ngoài (O).H là hình chiếu của O trên d.M thuộc d. C và D lần lượt là hình chiếu của H trên 2 tiếp tuyến từ M tới (O). Chứng minh CD đi qua 1điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác ABC có góc A^=45o nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng qua B // AC cắt (O) tại M, đường thẳng qua C// AB cắt (O) tại N. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BM,CN. Chứng minh: Khi A di chuyển trên cung BC với B,C cố định thì đường thẳng qua A vuông góc với EF luôn qua 1 điểm cố định.
Bài 8. Cho , điểm và chuyển động trên các tia và sao cho ( là độ dài cho trước). Gọi là trọng tâm của . Chứng minh rằng: đường thẳng qua và vuông góc với luôn luôn đi qua một điểm cố định.  
Bài 9. Cho (O), dây cung AB cố định. M là điểm di động trên đường tròn, I là trung điểm của BM. Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AM.
Chứng minh: Khi M thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua một điẻm cố định.
Bài 10. Từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến ABC với (O). Chứng minh rằng: Khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 11. (QG 2008 – 2009) Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố định A, B (A khác B). Một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho không đổi . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Các đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng đoạn thẳng MN có độ dài không đổi.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 12. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d đi qua D và vuông góc với AB. H là một điểm thay đổi trên d. AH và BH cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bai 13. Cho đường tròn đường kính AB và điểm A thay đổi. AB và AC cắt đường tròn tại E và D. Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A đến BC. Đường thẳng qua I song song với DE cắt AB, AC tại Q và R. Gọi P là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 14. (USAMO 1997) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác cân DBC, EAC, FAB có các đỉnh lần lượt là D, E, F. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông góc với EF, FD và DE đồng quy. 
Bài 15. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc với XB, XC lần lượt tại Y, Z. Chứng minh rằng EF, YZ và BC đồng quy.
Bài 16. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC, M’ là giao điểm của AM và (O). Tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng qua M vuông góc với AO tại X. Y, Z được xác định tương tự. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng. 
Bài 17. Các điểm A, B, M theo thứ tự đó thuộc đường thẳng (d). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn đường kính AB tại C và D với MC > MD. Gọi O là trung điểm của AB và K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOC và BOD. Chứng minh rằng ÐOKM = 900. 
Bài 18. (IMO 1959) Cho điểm M tuỳ ý nằm trên đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF ở về cùng 1 phía đối với AB. Các đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông này (có tâm P và Q tương ứng) cắt nhau tại M và N.
Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi ngang qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào vị trí M)
Tìm quỹ tích trung điểm của PQ khi M thay đổi.
Bài 19. (IMO 1979) Cho 2 đường tròn giao nhau trong cùng 1 mặt phẳng. Gọi A là 1 trong hai giao điểm đó. Xuất phát từ A, có 2 điểm chuyển động với tốc độ không đổi, mỗi điểm chuyển động trên 1 đường tròn, theo cùng một hướng. Sau một vòng chuyển động, cả hai điểm đó cùng trở về A. Chứng minh rằng có một điểm cố định S trên mặt phẳng sao cho hai điểm chuyển động nói trên luôn cách đều S.
MỤC LỤC