Chuyên đề Nguyên hàm và tích phân

Chuyên đề :
PHẦN :	NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa : 
Hàm số gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu .
­Ghi nhớ : Nếu là nguyên hàm của trên thì mọi hàm số có dạng (là hằng số) cũng là nguyên hàm của trên và chỉ những hàm số có dạng mới là nguyên hàm của trên . Ta gọi là họ nguyên hàm của hàm số và ký hiệu là.
Như vậy: 
Tính chất: 
	a.TC1: 	
	b.TC2 :	(là hằng số khác 0)
	b.TC3: 	 
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ : 
­Ghi nhớ: 
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.
4). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :
	a. Công thức : Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì :
	b. Các bước thực hiện :
Nguyên hàm cần tìm có dạng : 
Đặt .
Khi đó , tiếp theo tìm nguyên hàm của .
Khi đó 
c. Các dạng thường gặp :
	Dạng 1 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu .
	Dạng 2 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu 
	Dạng 3 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu .
	Dạng 4 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu 
	Dạng 5 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu 
	Dạng 6 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu .
	Dạng 7 : , 
	Đặt ,
	Hoặc nếu biểu thức nằm trong dấu .
	Dang 8 : 
	Đặt ,
	Hoặcnếu biểu thức nằm trong dấu 
	Dang 9 : 
	Đặt ,
	Hoặcnếu biểu thức nằm trong dấu 
	5). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần :
	a. Công thức :
	b. Các bước thực hiện :
Bước 1: 	
Bước 2: 	Thế vào công thức : .
Bước 3: 	Suy nghĩ tìm cách tính tiếp .
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét).
	c. Các dạng thường gặp : 
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
Dạng 1 : 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm hoặc hoặc .
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­ Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được phức tạp hơn ban đầu.
Dạng 2 : 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra từ .
	6). Bài tập :
	Bài 1 : Cho hàm số và hàm số . Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
Bài 2: Cho hai hàm số ; .
a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
b. Tìm nguyên hàm biết rằng .
Bài 3: Cho hàm số và hàm số .
	a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
b. Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng .
Bài 4 : Cho hàm số .
Tính .
Dựa vào kết quả câu a, hãy tính .
Bài 5 : Biết rằng hàm số là nguyên hàm của hàm số . Hãy giải phương trình sau : .
Bài 6 : Cho hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng .
Bài 7 : Tính :
	a. ;	b. ;	c. 
Bài 8 : Tính :
a. ;	b. ;	
c. ;	d. .
Bài 9 : Tính :
a. ;	b. ;	c. .
Bài 10 : Tính :
a. ;	b. ;	c. ;	
Bài 11 : Tính :
a. ;	b. ;	c. 
d. ;	e. ;	f. ;	
Bài 12 : Tính :
a. ;	b. ;	c. 
d. 
Bài 13 : Tính :
a. ;	b. ;	c. 
d. ;	e. ;	f. 
Bài 14 : Tính :
a. ;	b. ;	c. 
d. ;	e. ;	f. 
g. .
§2. TÍCH PHÂN : 
Định nghĩa: 
Tính chất:
a. TC1: 	
b. TC2:	 	
c. TC3: 	
d. TC4: 	
Bài tập:
­ Ghi nhớ: 
Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. ;	b. ;	c. ;	
d. ; 	e.;	f. 
	Bài 2: Cho hàm số và hàm số .
a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
b. Áp dụng câu a, tính .
	Bài 3: Cho hàm số .
a. Tính .
b. Áp dụng câu a, tính .
Bài 4: Cho hàm số 
a. Tính .
b. Áp dụng câu a, tính tích phân .
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Công thức tổng quát: 
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của (hàm số theo biến là ) với đạo hàm của hàm . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
TH1: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH2: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH3: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH4: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH5: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
 TH6: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
TH7: . 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. 	;	b. ;	c. 
d. ;	e. ;	f. 
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a. ;	b. ;	c. 
d. ;	e. ;	f. 
	Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a. ;	b. ;	c.	
d. 	e.;	f. 
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
Công thức tổng quát: 
hay (1)
Các bước thực hiện:
Bước 1: 	
Bước 2: 	Thế vào công thức (1).
Bước 3: 	Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp 
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét).
Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
Dạng 1: 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm hoặc . 
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­ Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được phức tạp hơn ban đầu.
Dạng 2: 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra từ .
Bài tập:
	Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. ;	b. ;	c. ;
d. ; 	e.;	f. ;	
	Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a. ; 	b. 	; 	c. 
d. ;	e. ;	f. 
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai).
Công thức: (2)
Các bước thực hiện:
Bước1: Giải PTHĐGĐ của và để tìm các nghiệm thuộc . Giả sử được các nghiệm và .
Bước 2: Áp dụng công thức (2) được :
 (chèn thêm các cận vào )
Chú ý: 
Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình tương ứng là a và b. 
Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta có thể dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, nằm trên thì hiệu , và nằm dưới thì hiệu . Ta có thể ứng dụng điều này để khử dấu giá trị tuyệt đối mà không cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài như nói ở trên.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2).
Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai).
Công thức: (3)
Các bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình (PTHĐGĐ của và trục Ox) để tìm. 
Bước 2: Áp dụng công thức (3).
c). Các chú ý:
Nếu đề bài đã cho đầy đủ a và b thì không cần phải giải phương trình .
Nếu đề bài không cho a và b thì giải phương trình để tìm. Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm, trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất là b. Các nghiệm còn lại ta không cần phải chèn vào trong quá trình tính tích phân.
Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ; Ox và trục Oy.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : 
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng .
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; đường tiệm cận xiên của ; Ox; .
Bài 7: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và .
Bài 8: Cho parabol .
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của tại các giao điểm của với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; và trục Ox.
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng .
Bài 11: Cho parabol .
	a. Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm tung độ bằng 4.
	b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 12: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: . Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởivà trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.