Chuyên đề Ôn tập kiến thức cơ bản Toán 9

ốc xe đạp là .
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: (thỏa mãn)
Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động
HD: 	Gọi số xe lớn là . Ta có PT: . 
Giải ra ta được (loại).
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
HD: 	Gọi x (xe) là số xe của đội .
	Ta có phương trình: . 
Giải ra ta được: (loại), (thỏa mãn)
Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ()
	Ta có phương trình: .
Giải ra ta được: (loại), (thỏa).
Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
HD: Gọi số phải tìm là ();.
	Ta có hệ: . Vậy số phải tìm là 54.
Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
	Ta có hệ: 
Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
HD: 
Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc .
	Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy ()
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được:.
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.
Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch.
	Ta có hệ phương trình: 
Bài 15: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định
HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (). Ta có hệ:
CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP (6 TIẾT)
Bài 1: Cho, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp , O là trung điểm của IK.
	a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
	b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
	c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết; .
HD: 
a) (Tính chất phân giác) nên BICK nội tiếp (O).
	b) nên là tiếp tuyến của (O).
	c) Ta có: .
Vậy:.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
	a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp.
	b) Tính góc . 
	c) Chứng minh KC.KD = KH.KB.
	d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào?
HD: a) Þ BHCD nội tiếp.
	b) .
	c) .
	d) nên khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên. 
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
	a) Tứ giác OMNP nội tiếp
	b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
	c) Tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
	d) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
HD: 	a) nên tứ giác ONMP nội tiếp. 
	b)(cùng vuông góc với AB),.
Suy ra: CMPO là hình bình hành.
	c) . Suy ra:
	.
d) . Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định. Vì nên.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
	a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
	b) Gọi,. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?
	c) Kẻ. Gọi . So sánh MK với KH.
HD: 	a) nên tứ giác AEMO nội tiếp.
	b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
	c) nên . Lại do nên. 
Mặt khác: nên . Vì: (Talet). Suy ra: . Vì:.
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho . Kẻ dây . Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
	a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
	b) Chứng minh và .
	c) Chứng minh.
HD: 	a) Dễ thấy nên tứ giác IECB nội tiếp.
	b) Ta có . Do đó: . Từ đó suy ra: (1)
	c) Ta có: (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: 
.
Bài 6: Cho có các góc đều nhọn,. Vẽ các đường cao BD và CE của. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
	a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
	b) Chứng minh.
	c) Tính tỉ số.
	d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. CM:.
HD: 	a) Ta có: . Ta có đpcm.
	b) có nên. Do đó vuông cân tại D. Suy ra.
	c) Þ .
	d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có. Mặt khác: (cùng bù với ) Þ Þ.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
	a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
	b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì không đổi.
	c) DB.DC = DN.AC.
HD: 	a) nên tứ giác CBMD nội tiếp trong đường tròn đường kính CD.
	b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiếp nên . 
c) Ta có: (gt). Mặt khác: (cùng chắn ) và (so le trong). Suy ra: . 
Lại có:(cùng chắn).Vậy:suy ra đpcm.
Bài 8: Cho vuông ở A (), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E. Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
	a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
	b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
	c) Chứng minh.
	d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
HD: a) AEHF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
	b) . Do đó BEFC nội tiếp.
	c) nên.
	d) . Suy ra EF là tiếp tuyến của (O1). Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2).
Bài 9: Cho nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE.
	a) Chứng minh .
	b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp.
	c) Tứ giác BCQP là hình gì?
HD: 	a) BC và DE cùng vuông góc với OD nên.
	b) nội tiếp.
	Ta có: (do) nội tiếp.
	c) BCQP là hình thang. Vì: 
	Ta có: (cùng chắn cung của (APQC))
	Lại có: và(cùng chắn )..
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
 	a);	
b);	
c) Tứ giác APBQ nội tiếp.
HD: 	a) Ta có: (Cùng chắn )
	Lại có: (Cùng chắn). Suy ra: .
	b) (Do P, Q là trung điểm của AC, AD). Ngoài ra: . Suy ra: . 
	c) Do suy ra: APBQ nội tiếp.
Bài 11: Cho vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
	a) ;
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp;
 c);
	d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
HD: a) (Hai tam giác vuông có chung).
	b) Học sinh tự chứng minh.
	c) .
	d) Gọi . Khi đó,có D là trực tâm. S, D, E thẳng hàng rồi suy ra BF, CA, ED đồng qui tại S.
Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho ,. Vẽ về một phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K)
	a) Chứng minh rằng;
	b) CmR: MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K);
	c) Tính độ dài MN;
	d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
HD: 	a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật. Từ đó.
	b) Gọi: .
Tương tự:. Vậy MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
c) ; 
d) 
Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H bất kì (). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
	a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp;
	b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I;
	c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh rằng KCOH nội tiếp.
HD: 	a) nội tiếp;
	b) Chứng minh I là trực tâm của rồi suy ra đường cao MH đi qua I;
	c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: 
, từ đó suy ra KCOH nội tiếp.
Bài 14: Cho vuông tại A. Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABHK và ACDE.
	a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.
	b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếptại F, chứng minh rằng vuông cân.
	c) Cho biết . Gọi M là giao điểm của BP và ED. Chứng minh rằng năm điểm B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn.
	d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn.
HD: 	a) Từ gt chứng minh: rồi chứng minh. Suy ra H, A, D thẳng hàng.
	b) Chứng minh . Suy ra vuông cân.
	c) Chứng minh . 
Từ đó suy ra cùng thuộc một đường tròn. Chú ý đến FMDC là tứ giác nội tiếp.