Chuyên đề phương trình đường tròn oxy

* Ta có: ( )2 3 0 2 3+ - + = Û = - - +x my m x my m thay vào phương trình ( )C , ta được: 
 ( ) ( )2 22 3 4 2 3 4 6 0 (*)- + + - - + + + =my m y my m y 
và chỉ rõ lúc đó, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. 
Hai giao điểm ( )2 3;- + -A AA my m y và ( )2 3;- + -B BB my m y , với Ay , By là nghiệm của 
phương trình (*). 
* Để ý rằng,   21 1. .sin sin 2sin
2 2IAB
S IA IB AIB R AIB AIB= = = 
Lập luận ( )   02sin sin 1 90IABS AIB AIB AIB IA IBÛ Û = Û = Û ^ max max (**) 
Ta có: ( ) ( )2 1; 2 , 2 1; 2A A B BIA my m y IB my m y= - + - + = - + - +
 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Từ (**) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ). 0 2 1 2 1 2 . 2 0A B A BIA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + =
 
Sử dụng định lí Vi-et đối với phương trình (*), suy ra kết quả. 
23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2 4: 2
5
C x y- + = và hai 
đường thẳng 1 2Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - = . Xác định tâm K và bán kính của đường tròn ( )1C , 
biết đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ và tâm K thuộc đường tròn (C). 
Gợi ý: 
Gọi tâm của ( )1C là ( ) ( )
2 2 4( ; ) 2
5
K a b C a bÎ Û - + = (1) 
Theo giả thiết, đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ ( ) ( ) ( )1 2 1; ;d K d K RÛ D = D = 
15 5 77
5 7 2
5 5 72 50 2
a b a ba b a b a b
a b a b
a b b a a b
é- = -- - = -é êÛ = Û - = - Û Ûê ê- = -ë =ë
Thay vào (1), giải ra kết quả. 
24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2: 1 1C x y- + = . Gọi I là 
tâm của (C). Xác định điểm M thuộc (C) sao cho  030IMO = . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1) 
Xét tam giác IAB : 2 2 2 2 22 . . 1 1 2OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + - 0cos cos120 
 2 2 3x yÛ + = (2) 
Giải hệ (1) và (2), đưa ra kết quả bài toán. 
Cách 2: Để ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được  030MOI = . 
Lúc đó, điểm M là giao điểm của 2 đường thẳng 1D , 2D qua O và có các hệ số góc tương ứng 
0
1
1tan30
3
k = = và 01
1tan150
3
k = = - . 
Ta có 1D : 
1
3
y x= và 1D : 
1
3
y x= - 
Kết hợp với giả thiết ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1) , giải hệ và đưa ra kết quả. 
25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và 
2 : 3 0d x y- = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A, cắt 2d tại hai điểm B, C sao cho 
tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
và điểm A có hoành độ dương. 
Gợi ý: 
 Để ý rằng: 1 3.
2 2ABC
S AB BC= = (*) 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Do ( )1 : 3 0 ; 3Î + = Þ -A d x y A a a . Mặt khác, (T) cắt 2d tại hai điểm B, C nên gọi 
( ) ( ); 3 , ; 3B b b C c c . 
Ta có: ( ); 3 3AC c a c a= - + và 1d có 1 vectơ chỉ phương ( )1 1; 3da = - . 
Do ABCD vuông tại B nên tâm I của (T) là trung điểm AC. Và (T) là đường tròn tiếp xúc với 
1d tại A nên suy ra: ( ) ( )1. 0 3 3 3 0 2dAC a c a c a c a= Û - - + = Û = -

 . 
Lúc đó: ( )2 ; 2 3C a a- - . 
Từ (*) giải ra được tọa độ A, chọn hoành độ dương. XEM LẠI TÍ!!!! 
26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( )2; 3A và elip ( )
2 2
: 1
3 2
x yE + = . 
Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm của (E) ( 1F có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương 
của đường thẳng 1AF với (E), N là điểm đối xứng của 2F qua M. Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác 2ANF . 
Gợi ý: 
NhËn thÊy vµ §­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh: 
 lµ giao ®iÓm cã tung ®é d­¬ng cña víi (E), suy ra:
Do N lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua M nªn 
1 2 1
1
2
2 2
1( 1;0) (1;0).
3 3
2 3 2 31;
3 3
,
x yF F AF
M AF
M MA MF
F MF MN
+
- =
æ ö
Þ = =ç ÷
è ø
=
( )
suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh (T): 
2
2
2
.
2 3 41
3 3
MA MF MN
x y
= =
æ ö
- + - =ç ÷
è ø
27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; 7)A - , trực tâm 
(3; 1)H - , tâm đường tròn ngoại tiếp ( 2;0)I - . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ 
dương. 
Gợi ý: 
 Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I. Gọi ( ) /; : . 0C x y AC A C =


 (1) . 
Để ý rằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA IC= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra, kết luận bài toán. 
28) (ĐHDLHV) Cho điểm ( )8; 1A - và đường tròn ( ) 2 2: 6 4 4 0C x y x y+ - - + = 
 a. Viết các phương trình các tiếp tuyến của ( )C kẻ từ A. 
 b. Gọi M, N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN. 
29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = và đường thẳng 
: 1 0d x y- + = 
 a. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc ( )C . 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 b. Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N 
sao cho độ dài MN bằng 2. 
 c. Tìm toạ độ điểm T trên d sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với ( )C 
tại hai điểm A, Bvà góc ATB bằng 060 . 
30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình 
2 0x y+ - = và 2 6 3 0x y+ + = , cạnh BC có trung điểm ( 1;1)M - . Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phương trình các cạnh AB, BC, CA lần lượt là 
2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + = . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC. 
32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( )C qua 3 điểm (2;3), (4;5), (4;1)A B C 
Chứng tỏ điểm (5;2)K thuộc miền trong của ( )C . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm 
K sao cho d cắt ( )C theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. 
33) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 8 8 0C x y x y+ - - - = 
 a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;0)M . 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;6)N . 
34) Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 4 9C x y- + - = và điểm (3;4)M 
 a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm M . 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương của 
trục Ox một góc 045 . 
35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ - - - = và điểm (2;2)A . Viết phương 
trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là MN, tính AMNS . 
Gợi ý: 
Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến 1 2 ,D D của (C) qua A như trên. 
 Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của 1 2 ,D D và (C). 
 Tính AMNS . 
Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: 4 0+ =x . 
 Xét ( ) 22 : ;IMH MH IM d I MNé ùD = - ë û 
 ( ) 22 2;R d I MN MN MHé ù= - Þ =ë û 
 Từ đó suy ra: ( )1 ; .
2
=AMNS d A MN MN 
Cách 3: Dùng công thức  
21 . .sin sin
2 2AMN
RS MA NA MAN MAND = = 
Với  2MAN MAI= . Tính MAI : sin IMMAI
IA
= 
36) Cho hai đường tròn ( ) 2 21 : 4 8 11 0C x y x y+ - - + = và ( ) 2 22 : 2 2 2 0C x y x y+ - - - = 
D2
D1
I
A
N
M
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 a. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 
37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 3 9C x y- + + = và đường thẳng : 1 0d x y- + = . 
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho O là trung điểm MN. Tìm M, N. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; 1)N t t d+ Î . Do M, N đối xứng nhau qua O nên ( ; 1)M t t- - - . 
Mặt khác, ( ) ( )2 2 2
1
( ) 1 1 3 9 2 0
2
t
M C t t t t
t
= -éÎ Û - - + - - + = Û - - = Û ê =ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán 
 (1;0), ( 1;0) M N - và ( 2; 3), (2;3) M N- - 
38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 1 1C x y+ + - = và đường thẳng : 1 0d x y- - = . 
Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; 1)N t t d- Î . Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên ( ; 1)M t t- + . 
Mặt khác, ( ) ( )2 2 2
1
( ) 1 1 1 1 0
0
t
M C t t t t
t
= -éÎ Û + + - + - = Û + = Û ê =ë
Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán 
 ( 1;2), ( 1; 2) M N- - - và (0;1), (0; 1) M N - 
39) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có (1;0)A , hai đường thẳng tương ứng chứa 
đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: 2 1 0x y- + = và 3 1 0x y+ - = . 
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Gợi ý: 
Phương trình : 3 1 ( 5; 2) AB x y B- = Þ - - . 
Phương trình : 2 ( 1;4) 2AC x y C+ = Þ - . 
Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm (1;0)A , ( 5; 2)B - - và ( 1;4)C - ta tìm được 
phương trình ( ) 2 2 36 10 43: 0
7 7 7
C x y x y+ + - - = . 
40) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2 3:
2
C x y+ = và parabol 2( ) :P y x= . Tìm 
trên (P) điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp 
tuyến này tạo với nhau một góc 600. 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( )20 0; ( )M x x PÎ và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 

060 2 6.AMB OM OA= Û = = 
 Từ đó ta tìm được { }0 2; 2x Î - . 
Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là ( ) ( )1 22; 2 , 2; 2 M M - . 
Cách 2: Tương tự cũng tính được  060 2 6.AMB OM OA= Û = = 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Suy ra ( ) ( )/ ; 6M C OÎ º vậy điểm M là giao điểm của hai đường: 
( )/ 2 2: 6C x y+ = và 2( ) :P y x= . 
41) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2: 6 4 8 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng 
: 2 6 0d x y- + = . Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d 
có giá trị nhỏ nhất. 
Gợi ý: 
 Đường tròn (C) có tâm (3;2)I , bán kính 5R = . Hai tiếp tuyến của (C) song song với 
d là 1Δ : 2 1 0 x y- + = và 2Δ : 2 9 0 x y- - = . 
 Xác định các tiếp điểm 1 2, M M tương ứng 1Δ và 2Δ với (C). So sánh ( )1;d M d và 
( )2;d M d . 
Đáp số: ( )1 1;3M 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com