Chuyên đề Số phức

 diễn số phức 3 3i+ , 
( )1; 3CB =


 biểu diễn số phức 1 3i+ , 
⇒ Số đo góc ( ),CA CB


 


 là một argument của số phức 1 1 33 3
i
z
i
+
=
+
. 
Sử dụng 1 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b i a a b b a b a b
i
a b i a b a b
+ + −
= +
+ + +
 ⇒ 1
2 3 36
12 12 2 3
i
z i += + = 
Vậy số đo góc ( ),CA CB


 


 cũng là một argument của số phức 3 i+ . 
Mặt khác ( )1; 2 3DA = +


 biểu diễn số phức ( )1 2 3 i+ + , 
( )1; 2 3DB = − +


 biểu diễn số phức ( )1 2 3 i− + + . 
⇒ Số đo góc ( ),DA DB


 


 là một argument của số phức ( )( )2
1 2 3
1 2 3
i
z
i
− + +
=
+ +
 =
3
2
i+
Vậy số đo góc ( ),DA DB


 


 cũng là một argument của số phức 3 i+ . 
Vì các argument của một số phức sai khác nhau 2 ,k kpi ∈ nên  ACB ADB= . 
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp. 
4. Dạng 4. Phần thực, phần ảo của một số phức 
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 
1. ( )( )
50
49
1
3
i
i
+
+
 2. ( ) ( )75cos sin 1 33 3i i ipi pi− + 3. 10 101z z+ , nếu 1 1z z+ = 
Giải 
1. ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
50
25
50
1 49 49 2449
25 252 cos sin 2 cos sin4 41 2 2 1 cos sin
3 349 49 22 cos sin3 2 cos sin 6 66 6
i ii
z i
ii i
pi pi  pi pi+ + +   pi pi
= = = = +
pi pipi pi  ++ +
  
Số phức 
295 
Vậy ( )1 24 251 1Re cos 32 2z
pi
= = , ( )1 24 2531Im sin 32 2z
pi
= = 
2. ( ) ( ) ( ) 9962 cos sin 1 3 cos sin 2cos 2 sin3 3 6 6 3 3z i i i i ipi pi pi pi pi pi = + + = − + +   
( ) ( ) ( ) ( )9 9 99 9 19 192 cos sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin6 6 3 3 6 6 6 6i i i ipi pi pi pi pi pi pi pi= − + + = − + = + 
Vậy ( ) 92 83Re 2 cos 6 2z
pi
= = , ( ) 92 81Im 2 sin 6 2z
pi
= = 
3. Xét số phức 103 10
1z z
z
= + , với 1 1z
z
+ = 
Từ ( ) ( )
2
1 3
cos sin
2 3 31 1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z i
z i
 + pi pi
= = +
+ = ⇒ − + = ⇒ 
− pi pi
= = − + −
i Với ( )10 103 1cos sin cos sin3 3 3 3 cos sin3 3z i z i i
pi pi pi pi  
= + ⇒ = + +
 pi pi+ 
 
( ) ( ) ( ) 1010cos sin cos sin3 3 3 3i ipi pi pi pi = + + − + −   
( ) ( )10 10 10 10cos sin cos sin3 3 3 3i ipi pi − pi − pi= + + + 102 cos 13pi= = − . 
i Tương tự với cos sin3 3z i
−pi −pi
= + ta cũng có 3 1z = − 
Vậy ( )3Re 1z = − , ( )3Im 0z = 
Bài 2. Cho cos sinz i= ϕ + ϕ . Giả sử 1n ≥ là số nguyên dương. 
 Chứng minh rằng: 1 12 cos ; 2 sinn n
n n
z n z i n
z z
+ = ϕ − = ϕ . 
Giải 
( )cos sin cos sinnnz i n i n= ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ; 1 1 cos sin
cos sinn
n i n
n i nz
= = ϕ − ϕϕ + ϕ 
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
296 
5. Dạng 5. Giải phương trình trên trường số phức 
Bài 1. Tìm các căn bậc hai của số phức 11 4 3w i= − + ; ( )2 1
2
i− 
Giải 
1. Giả sử z x yi= + là căn bậc hai của số phức 11 4 3w i= − + 
Khi đó ( ) ( )22 2 211 4 3 2 11 4 3z w x yi i x y xyi i= ⇔ + = − + ⇔ − + = − + 
2 2
2 2
2
2
2 31111 1; 2 3
2 3 122 3 1; 2 311
x y yx y x yx
xy y x yxx x

− = − =  
− = − = =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
= = = − = −   − = − 
Vậy số phức 11 4 3w i= − + có hai căn bậc hai là 1 21 2 3 ; 1 2 3z i z i= + = − − 
2. Theo công thức Moivre ta có ( )2cos sin cos 2 sin 2i iϕ + ϕ = ϕ + ϕ . 
suy ra cos siniϕ + ϕ và cos sini− ϕ − ϕ là các căn bậc hai của cos 2 sin 2iϕ + ϕ . 
Ta có ( ) ( ) ( )2 1 cos sin cos sin2 4 4 4 4i i ipi pi pi pi− = − = − + − . Từ đó suy ra ( )2 12 i− 
có hai căn bậc hai là: ( ) ( )1 cos sin8 8z ipi pi= − + − và ( ) ( )2 cos sin8 8z ipi pi= − − − − 
Bài 2. Giải các phương trình bậc hai ( ) ( )2 1 3 2 1 0z i z i+ − − + = 
Giải 
Ta có: ( ) ( )2 21 3 8 1 1 6 9 8 8 2i i i i i i∆ = − + + = − + + + = 
Giả sử ( )22 2z x yi i= + = ⇔ 
2 2
4
1 1; 10
1; 11 1
y x yx y
x
x yxy x

= = =− = 
⇔ ⇔  
= − = −=   =
Do đó 1 i+ và 1 i− − là các căn bậc hai của 2i ⇒ nghiệm 1 22 ; 1z i z i= = − + 
Bài 3. Giải phương trình: 4 3 21 1 0
2
z z z z− + + + = (1) 
Giải 
Do 0z = không là nghiệm của (1), nên ( ) 2 21 1 11 02z z z z⇔ − + + + = 
( ) ( )2 51 1 02z zz z⇔ − − − + = ⇔ 2 25 0 2 2 5 02u u u u− + = ⇔ − + = ; với 1u z z= − 
Số phức 
297 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 3 1 31
2 1 3 2 0 ; 8 6 22 2
1 3 1 31 2 1 3 2 0 ; 8 6 3
2 2
i iu z z i z iz
i i z i z iu z
z
+ + 
= − = 
− + − = ∆ = + 
⇔ ⇔ ⇔  
− −
− − − = ∆ = −= − = 
 
Giả sử ( ) 22 8 6z x yi i= + = + ⇔ 
2 2
4 2
3 3; 18
3; 13 8 9 0
y x yx y
x
x yxy x x

= = =− = 
⇔ ⇔  
= − = −=  
− − =
Do đó 3 i+ và 3 i− − là các căn bậc hai của 8+6i ⇒ 1 2
1 11 ;
2 2
z i z i= + = − + 
Tương tự 3 ; 3i i− − + là các căn bậc hai của 8−6i ⇒ 3 4
1 11 ;
2 2
z i z i= − = − − 
Vậy phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4, , ,z z z z . 
Bài 4. Giải phương trình: 5 4 3 2 1 0z z z z z+ + + + + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )4 21 1 1 1 0z z z z z⇔ + + + + + = ( ) ( )4 2 4 2
1
1 1 0
1 0
z
z z z
z z
= −
⇔ + + + = ⇔ 
+ + =
4 2 2 1 31 0
2
i
z z z
− ±+ + = ⇔ = ( ) ( )
2
2
3 2 21 cos sin
2 2 3 3
3 2 21 cos sin
2 2 3 3
z i i
z i i
 pi pi
= − + = +
⇔ 
 pi pi
= − − = − + −
Từ 2 2 3
2 2cos sin cos sin cos sin3 3 3 3 3 3z i z i z i
pi pi pi pi pi pi
= + ⇔ = + ∨ = − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 52 2cos sin cos sin cos sin3 3 3 3 3 3z i z i z ipi pi pi pi pi pi= − + − ⇔ = − + − ∨ = − − − − 
Vậy (1) ⇔ 1 2 33 31 11; ;2 2 2 2z z i z i= − = + = − − ; 4 5
3 31 1;
2 2 2 2
z i z i= − = − + . 
Bài 5. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 1 2,z z sau: 
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +

+ = −
Giải 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 21 1 4 5 2 5 12 2z z z z z z i i i   = + − + = + − + = +   
⇒ 1 2,z z là các nghiệm của phương trình ( ) ( )2 4 5 1 0z i z i− + + + = 
Vậy nghiệm của hệ là ( )3 ; 1 2i i− + và ( )1 2 ; 3i i+ − 
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
298 
6. Dạng 6. Các bài toán về môđun số phức 
Bài 1. Chứng minh rằng: ( )2 2 221 2 1 21 2 2z z z zz z+ + = +− , ∀ z1, z2∈
 
Giải 
( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 22z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + 
Bài 2. a. CMR: ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + − = + + , ∀ z1, z2∈
 
 b. CMR: ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z− − − = − − , ∀ z1, z2∈
 
Giải 
( ) ( )2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + + 
( )( )2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z− − − = − − + − + + − = − − 
Bài 3. CMR: ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 i i i i4z z z z z z z z z z= + − − + + − − ∀ z1, z2∈
 
Giải 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2i i i iz z z z z z z z+ − − + + − − 
= ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z z z z z z z+ + + − − − + 
 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2i i i i 4z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − + − − − + + = 
Bài 4. CMR: ( ) ( )2 2 21 2
1
Re ... Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤∑ , ∀z1, z2, ... , zn∈
 
Giải 
Đặt 2 2 21 2i ; ... ik k k nz x y z z z a b= + + + + = + trong đó , , ,k kx y a b∈ 
⇒ 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −∑ ∑ ; 
1
n
k k
k
ab x y
=
=∑ .Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 
ta có: 2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
x y x y
= = =
≤ ⋅∑ ∑ ∑ ⇔ 2 2
1 1
n n
k k
k k
ab x y
= =
≤ ⋅∑ ∑ . Từ bất đẳng thức 
Số phức 
299 
này suy ra nếu 2
1
n
k
k
a x
=
> ∑ thì 2
1
n
k
k
b y
=
≤ ∑ ⇒ 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− > −∑ ∑ . Điều 
này mâu thuẫn với 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −∑ ∑ . 
Vậy 2
1
n
k
k
a x
=
≤ ∑ ⇔ ( ) ( )2 2 21 2
1
Re ... Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤∑ 
Bài 5. Cho a, b, c, d∈
 với ac ≠ 0. Chứng minh rằng: 
{ }
{ } { }
Max ; ; 5 1
2Max ; Max ;
ac ad bc bd
a b c d
+
−≥
⋅
 (1) 
Giải 
Đặt 2
5 1
, , 1
2
b d
x y k k k
a c
−
= = = ⇒ = − , khi đó: 
(1) ⇔ { } { } { }Max 1; ; .Max 1; .Max 1;x y xy k x y+ ≥ (2) 

 Nếu |x| ≥ 1, | y| ≥ 1 thì (2) đúng vì |xy| ≥ k.|x|.|y| (k <1) 

 Nếu |x| ≤ 1, | y| ≤ 1 thì (2) đúng vì k < 1 

 Xét |x| 1. Ta sẽ chứng minh: { }Max 1; ; .x y xy k y+ ≥ (3) 
Giả sử { }Max 1; ;x y xy k y+ < ⇒ 1y
k
>
 và x y k y+ < 
Ta có: ( ) 21x x y y x y x y y k y k y k y+ + ≥ ⇒ ≥ − + > − = − = 
⇒ 
22x y k y k y≥ >
 ⇒ Mâu thuẫn. 
Do (3) được chứng minh ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng. 

 Chứng minh tương tự với |x| > 1, |y| < 1 thì { }1; ;Max x y xy k x+ ≥ (4) 
Do (4) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng 
Bài 6. Cho z1, z2, z3, z4∈
. Chứng minh: 1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +∑ 
Giải 
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
300 
Sử dụng bất đẳng thức: |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b∈ 
 
Ta có: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 32 2z z z z z z z z z z− + ≤ + + ≤ + + + 
 Từ đó suy ra: 1 1 2 1 3 2 312z z z z z z z
 ≤ + + + + +  
Tương tự ta có: 2 2 3 2 4 3 412z z z z z z z
 ≤ + + + + +  
3 3 4 3 1 4 1
1
2
z z z z z z z ≤ + + + + +  
4 4 1 4 2 1 2
1
2
z z z z z z z ≤ + + + + +  
Cộng các bất đẳng thức ⇒ 1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +∑ 
Đẳng thức xảy ra ⇔ (z1, z2, z3, z4) là một hoán vị của (a, a, −a, −a) với a∈
 
Bài 7. Cho , , 0a b c
a b c abc
≥

+ + =
Chứng minh: T = 2 2 2
1 111 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥ 
Giải 
Từ giả thiết 1 1 11 1a b ca b c abc
abc ab bc ca
+ ++ + = ⇒ = ⇔ + + = 
Coi các biểu thức chứa căn là môđun của các số phức, khi đó ta có 
2
, ,
i 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 i 9 9 3 2 3
a b c
T
a a b c a b c ab bc ca
     
= + ≥ + + + = + + + ≥ + + + =     
     
∑ 
Bài 8. Cho đa thức ( )
2
21 ...4 4 4
n
n
z z zf z = + + + + . Chứng minh rằng: 
 ∀z1 ≠ z2∈
 thỏa mãn | z1|, | z2| ≤ 1 thì ( ) ( ) 1 21 2 8
z zf z f z −− > 
Bài 9. Giả sử z1, z2, ..., zn là các nghiệm phức của đa thức 
 P(z) = [ ]11 1...n n n nz a z a z a z− −+ + + + ∈
 
a. Chứng minh rằng: 2 2 21 2 2... 2nz z z a+ + + ≥ 
b. Chứng minh rằng: Nếu t1, t2, ..., tn −1 là các nghiệm phức của đa 
thức P′(z) thì ta có bất đẳng thức sau luôn đúng 
( )2 2 2 2 2 21 2 1 1 22... ...n nnt t t z z z
n
−
−
+ + + ≤ + + +