Chuyên đề Vấn đề 4. đạo hàm

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1) Định nghĩa. 
 Cho hàm số xác định trên khoảngvà . 
Nếu tồn tại : thì đạo hàm của hàm số tại điểm là :
hay , trong đó :
Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử là số gia của , tính .
Bước 2. Lập tỉ số .
Bước 3. Tính .
II. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử và là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định. Ta có :
 (k là hằng số)
III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
IV. Đạo hàm cấp cao
 Cho hàm số có đạo hàm cấp , kí hiệu là . Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của , kí hiệu là hay .
 với .
 CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0
	.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)
Giải
Ta có:
 .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :
có đạo hàm không phụ thuộc vào x.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải
Ta có:
Do đó: (đpcm)
Ví dụ 3. Cho hàm số .
Tính đạo hàm và giải phương trình .
 (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải
Ví dụ 4. Cho hàm số .
Tính đạo hàm và giải bất phương trình .
Giải
Với điều kiện , ta có:
 (do và )
So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: và .
Ví dụ 5. Chứng minh hàm số thoả mãn phương trình:
	.
Giải
Ta có:
Do đó:
 (đpcm)
Ví dụ 6. Cho hàm số .Tính đạo hàm theo định nghĩa.
 	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
 .
Chú ý. .
Ví dụ 7. Cho hàm số .Tính đạo hàm theo định nghĩa.
 	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:
 .
Chú ý. .
Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại :
 	.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
 có đạo hàm tại điểm 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 9. Cho hàm số .
1) Tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm đạo hàm cấp n .
2) Chứng minh rằng :
	.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000)
Giải
Ta có:
Suy ra:
 (*)
(*) đã đúng khi .
Giả sử (*) đúng khi , ta có:
 (**)
Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi , tức là:
Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:
 (đpcm)
Ta có:
 (đpcm).
Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996)
Giải
Ta có:
Suy ra:
 (*)
(*) đã đúng với .
Giả sử (*) đúng khi , nghĩa là:
 (**)
Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với , tức là:
Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được:
 (đpcm)
Ví dụ 11. Cho hàm số .
Tính đạo hàm cấp n của (không phải chứng minh).
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
Do đó:
Suy ra:
.
Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số , từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có:
Suy ra:
 (*)
(*) đã đúng với .
Giả sử (*) đúng với , ta có:
 (**)
Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi , nghĩa là:
Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:
Vậy: 
Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số :
Ta có: 
Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có:
Suy ra: .
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số . Chứng minh:
	.
Bài 2. Cho hàm số . Chứng minh:
	.
Bài 3. Cho hàm số . Chứng minh rằng:
	.
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số:
 Đáp số: Do nên không tồn tại .
Bài 5. Cho hàm số:
	Tính đạo hàm của hàm số đó tại .
 Đáp số: .
Bài 6. Hãy tính , biết:
 Đáp số: .
Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số:
 Đáp số: .
Bài 8. Cho hàm số:
 	.
Xác định a để hàm số có đạo hàm tại . Tính .
 Đáp số: .
Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại :
 	.
 Đáp số: .
Bài 10. Cho hàm số:
 	.
	Xác định b và c để có đạo hàm tại .
 Đáp số: .
Bài 11. Cho hàm số:
 	.
	Tìm các giá trị của b và c để hàm số có đạo hàm tại .
 Đáp số: .
Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số .
 Đáp số: .
Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 
	.
 Đáp số: .
Bài 14. Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm cấp n bằng:
	.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 483. Cho. Tính (x)
Câu 484. Cho . Tính (x)
Câu 485. Cho . Tính 
Các câu khác đều sai.
Câu 486. Cho . Tính 
 .
Câu 487. Tìm , biết . 
Câu 488. Tìm , biết . 
Câu 489. Cho . Tính (x) 
Câu 490. Đạo hàm của hàm số là
 .
Các câu khác đều sai.
Câu 491. Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là
cosx + cos2x
cosx - cos2x
cosx + 1
cosx + sin2x.
Câu 492. Đạo hàm của hàm số là 
 .
Câu 254. cho y = cos(x2). Tính y’ tại là :
.
.
.
-.
Câu 255. Cho . Tính y’ tại là :
4.
1
1/4
0.
Câu 3. Hàm số có đạo hàm tại x = p/4 là 
.
.
.
.
Câu 4. Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x = p/4 là
0.	
.
1.	
–1.
Câu 9. Tính đạo hàm hàm số tại x = 2 là
–1/.
1/.
1.
2.
Câu 12. Tính đạo hàm của y =x3cosx
3x2cosx - x3sinx.
–3x2sinx.
3x2sinx.
x2cosx.
Câu 13. Nếu hàm số có đạo hàm thì (a,b) bằng
 (3,-3).
(2,-3).
(2,3).
(0,2).
Câu 14. Cho y = sin(x2). Tính y’
2x.cos(x2).
-2x.cos(x2).
cos(x2).
cos(x2).
Câu 15. Cho y = sin2x. Tính y’
sin2x.
2x.cos2x.
cos2x.
2x.sin2x.
Câu 30. Nếu đồ thị hàm số đi qua điểm và tại đó thì:
.
.
Không tồn tại a, b thỏa đề bài
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.