Chuyên đề Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

rục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
 Khi đó : 
Ta có : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
C
A
D
B
Tính diện tích S của tam giác BCD b. Chứng minh : 
Ta có : 
Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
 Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
N
M
I
H
A
C
B
S
+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
+ Pháp vectơ của mp (SBC) : 
Diện tích tam giác AMN :
 đvdt
Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; ; và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB SH (ABCD) 
Ta có : 
vuông tại S 
Do đó : đều
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; S ; A ; B ; D ; M ; N
K
D
H
N
M
C
B
A
S
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
 ; 
+ Công thức tính góc giữa SM, DN 
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN 
Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
A ; C; B’ 
M 
 ; 
Chứng minh AM và B’C chéo nhau
A
C
C’
A’
B’
M
B
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
 đvtt
+ Khoảng cách giữa AM và B’C
Vì : 
 AM và B’C chéo nhau
Bài toán 13 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , , , SA vuông góc với đáy và . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
M ; N 
 ; 
 ; 
 ; 
S
N
M
D
A
B
C
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
 BCNM là hình chữ nhật
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo 
 đvtt
Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh , . Mặt phẳng qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
Đặt 
 M 
Xác định vị trí điểm M
S
N
M
D
A
B
C
 ; 
Ta có : 
vuông cân tại A 
Pháp vectơ của mặt phẳng :
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :
mặt phẳng hợp với AC một góc 300
 M là trung điểm của SA
+ BCNM là hình thang vuông
+ Diện tích thiết diện BCNM :
Bài toán 15 . Cho hình chóp O.ABC có đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3. Tính để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 A ; B; C 
 M 
A
B
C
C
M
O
H
B
E
A
+Thể tích khối chóp O.ABC
Giải hệ : 
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
(ABC) : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
Bài toán 16 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng . 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
; S ; 
A ; C D ; B
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
C
A
O
S
D
B
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , , , SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
 ; B ; C; D ; S
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
SB : ()
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ làm pháp vectơ
(SCD) : 
S
H
A
I
D
B
C
+ Chứng minh tam giác SCD vuông
 ; 
Tam giác SCD vuông tại C
+ Tính ( theo ) khoảng cách từ H đến (SCD)
Tọa độ điểm H :
+ Khoảng cách từ H đến (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) : 
IV. KẾT QỦA 
Song song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường và mặt, qua việc sử dụng công cụ là dùng phương pháp tọa độ trong trong không gian các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán hình học không gian .
Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp năm và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12, các em đã được hướng dẫn giải một số bài tập liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian.
Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định được tọa độ các điểm liên quan trên hệ trục tọa độ. Kết quả khảo sát qua 2 bài tập như sau :
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BB’. Chứng minh : 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB,AC.AD đôi một vuông góc với nhau tại A. Gọi M là một 
điểm bất kỳ trong tam giác BCD và lần lượt là góc giữa AM và các mặt 
phẳng (ABC), (CAD) ,(DAB). Chứng minh rằng : 
Kết qủa :
 Bài
 Số HS làm bài
 Số HS đạt yêu cầu
 Đạt tỷ lệ %
 1
91
77
84,6
 2
89
69
77,5
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình đã bớt ngán ngại khi gặp một bài toán hình và từng bước đã biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán hình .
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
Để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung ,qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải bài toàn hình, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm sau :
1. Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về những vương mắc có liên quan đến bài học.
2. Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập. Mỗi khi dựng hình, tôi yêu cầu học sinh chú ý từng thao tác và mối quan hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức trước một vấn đề nào đó dù đơn giản hay phức tạp .
3. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và qúa trình tâm lí tái hiện. Sự việc đã trải qua nói ở đây là những sự việc người ta cảm biết được, đã suy nghĩ hoặc đã qua thể nghiệm.Việc làm lại các bài tập đã được 
hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải bài toán hình học.
4. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác. Thể hiện qua những nội dung như : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định toạ độ các điểm hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích .
VI. KẾT LUẬN
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích cao cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi mong ước được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau :
	Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ rằng mình bị bỏ rơi; hãy tìm ra những điều tốt của chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho chúng ngày càng tiến bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. 
	Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em.
	Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mê khi học môn toán ? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tư này cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh. Giải quyết những ưu tư này đòi hỏi nơi giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề, với bộ môn mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt và trên hết là sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh. Đây cũng chính là động lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơn trên bục giảng . 
Rất mong nhận được nhiều sự góp ý, sẻ chia của qúy đồng nghiệp.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000.
Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2000.
Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo và Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục, 2000.
Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998.
Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001.
Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000.
Báo Toán học và Tuổi trẻ, số tháng 11/1995 và số tháng 2/1999.
NGƯỜI THỰC HIỆN
 Nguyễn Thanh Lam