Công Thức Toán Học Sơ Cấp

n xiên 
Hình 37: Tiệm cận đứng
81 
Nếu 
2
0
3 0
a
b ac


 
 thì hàm số luôn đồng biến; 
Nếu 
2
0
3 0
a
b ac


 
 thì hàm số luôn nghịch biến. 
2 3 0, ' 0b ac y   có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hàm số có 
cực đại và cực tiểu. 
Các giao điểm với trục hoành: Phương trình 
3 2y ax bx cx d    luôn có nghiệm thực. 
Nếu 2 3 0b ac  hoặc 
2 3 0
0cd ct
b ac
y y
  


 thì phương trình có và chỉ 
có một nghiệm và đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm. 
Nếu 
2 3 0
0cd ct
b ac
y y
  


 thì phương trình có một nghiệm đơn và một 
nghiệm kép; đồ thị cắt và tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. 
Nếu 
2 3 0
0cd ct
b ac
y y
  


 thì phương trình có ba nghiệm phân biệt; đồ 
thị cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. 
Điểm uốn ,
3 3
b b
y
a a
  
   
  
 là tâm đối xứng của đồ thị. 
Hàm số  4 2 0y ax bx c a    
82 
3
2
' 4 2 ;
'' 12 2 .
y ax bx
y ax b
 
 
Trong trường hợp 0ab  hàm số chỉ có một điểm cực trị là (0,c) 
(cực đại nếu b0). 
Trường hợp ab<0: 
Nếu b<0, hàm số có cực đại tại (0,c) và hai điểm cực tiểu 
2
,
2 4
b b
c
a a
 
    
 
; 
Nếu b>0 hàm số có cực tiểu (0,c) và hai điểm cực đại 
2
,
2 4
b b
c
a a
 
    
 
. 
Trong trường hợp này các điểm ,
6 6
b b
y
a a
  
      
  
 là các 
điểm uốn. 
Hàm số , ', ' 0
' '
ax b
y a b
a x b

 

Hàm số xác định với 
'
;
'
b
x
a
  
 
2
' '
' ,
' '
ab a b
y
a x b



83 
ab’-a’b=0, hàm số không đổi ;
'
a
y
a
 
ab’-a’b>0 hàm số đồng biến; 
ab’-a’b<0 hàm số nghịch biến; 
Tiệm cận ngang: ;
'
a
y
a
 
Tiệm cận đứng: 
'
;
'
b
x
a
  
Tâm đối xứng là giao điểm 
'
,
' '
b a
A
a a
 
 
 
 của hai đường tiệm 
cận. 
Hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
 


Tiệm cận xiên: 
' '
;
' '
a a b ab
y x
a a

  
Tiệm cận đứng 
'
'
b
x
a
  . 
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận. 
84 
IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 
A. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 
1. Định nghĩa 
   f x dx F x C  
Trong đó F’(x)=f(x), C là hằng số tùy ý. 
2. Các tính chất đơn giản nhất 
   
 
;
,
... ...
' ' ;
.
dx x C
kf x dx k f x dx
u v w dx udx vdx wdx
uv dx uv vu dx
udv uv vdu
 

      
 
 

 
   
 
 
 k laø haèng soá;
85 
3. Tích phân các hàm hữu tỷ 
 
 
 
 
 
  
 
  
   
1
1
2
2 2
, 1 ;
1
ln ;
, 1 ;
1
1
ln ;
ln ;
1
ln ,
1
ln ;
2
1
ln ln , ;
m
m
n
n
x
x dx C m
m
dx
x C
x
ax b
ax b dx C n
a n
dx
ax b C
ax b a
ax b a bc ad
dx x cx d C
cx d c c
dx x b
C a b
x a x b a b x a
dx x d
C
x a a x a
xdx
a x a b x b C a b
x a x b a b
xdx


   

 

    

  

 
   


  
   

 
 
     
  








 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
ln ;
2
1
arctan ;
1
ln ;
2
x a C
x a
dx x
C
x a a a
xdx
x a C
x a
  

 

  




86 
 
 
  
  
2 2 2 2 32 2
2 2 22 2
2 22 2 2 2
2 22 2 2 2
2
2 2 2
1 1
arctan ;
2 2
1 1
;
2
1
ln arctan ;
1
arctan ln ;
1 2 4
ln
4 2 4
dx x x
C
a x a a ax a
xdx
C
x ax a
x bdx b x
C
a b a ax a x b x a
x bxdx x
b C
a b ax a x b x a
dx ax b b ac
ax bx c b ac ax b b ac
  

  

 
   
   
 
   
   
  

     





 22 2 2
2
2 2
;
1 2
arctan , 4 0 ;
4 4
1
ln .
2 2
C
dx ax b
C b ac
ax bx c ac b ac b
xdx b dx
ax bx c
ax bx c a a ax bx c


   
   
   
   

 
87 
4. Tích phân các hàm vô tỷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
2
3
2
2
2
;
2
;
3
2 2
;
3
2 3 2
;
15
1
ln , 0 ;
1
arctan , 0 ;
dx
ax b C
aax b
ax bdx ax b C
a
ax bxdx
ax b C
aax b
ax b
x ax bdx ax b C
a
dx ax b b ac
C b ac
x c ax b b ac ax b b ac
dx ax b
b ac
ac bx c ax b ac b
  

   

  


   
  
   
     

  
  






  
     
1
ln , 0 ;
ax b
dx ax b cx d
cx d c
ad bc
a ax b a ax b C ac
c ac

   

       
 

  
 
 
 
1
arctan , 0; 0 ;
ax b
dx ax b cx d
cx d c
a cx dad bc
C c a
c ax bc ac

   


   


88 
   
   
 
 
 
 
3
2
32 2
2
3
2
2 2 22
3
2
2 2 3
;
15
2 8 12 15
;
105
2 2
;
3
2 8 4 3
;
15
1
ln , 0 ;
2
arctan , 0 ;
a bx a bx
x a bxdx C
b
a abx b a bx
x a bxdx C
b
a bxxdx
a bx C
ba bx
a abx b xx dx
a bx C
ba bx
dx a bx a
C a
x a bx a a bx a
dx a bx
C a
ax a bx a
dx
x a bx
 
   
  
  

   

 
  

 
  
  

  
 







;
2
2 ;
a bx b dx
ax a x a bx
a bxdx dx
a bx a
x x a bx

  


  

 
 
89 
   
 
 
   
3
1 2 2
2 1 2
1 2 1
2 2
3
2 22 2
1
2
2
2 2 1
2 2 ;
1
2 12
;
2 2
22 3 2
;
2 3 2 3
2
.
2
m
m m
m m m
m m m
x ax x m a
x ax x dx x ax x dx
m m
m ax dx x ax x x dx
m max x ax x
ax xax x m ax x
dx dx
x m ax m a x
dx ax x
C
axx ax x


 

 
    


  
 
  
  
 

  

 
 
 

90 
5. Tích phân của hàm lượng giác 
2
2
3 3
3 3
1 2
1 2
sin cos ;
cos sin ;
1
sin sin 2 ;
2 4
1
cos sin 2 ;
2 4
1
sin cos cos ;
2
1
cos sin sin ;
3
1 1
sin sin cos sin ;
1 1
cos cos sin cos ;
n n n
n n n
xdx x C
xdx x C
x
xdx x C
x
xdx x C
xdx x x C
xdx x x C
n
xdx x x xdx
n n
n
xdx x x xdx
n n
 
 
  
 
  
  
  
  

  

 






 
 
cossec ln tan ;
sin 2
sec ln tan ;
cos 2 4
dx x
xdx C
x
dx x
xdx C
x

  
 
    
 
 
 
91 
2
2
2 3
2 3
2 2
cot tan ;
sin
tan ;
cos
1
sin cos cos 2 ;
4
1
sin cos sin ;
3
1
sin cos cos ;
3
1 1
sin cos sin 4 ;
8 32
dx
x C
x
dx
x C
x
x xdx x C
x xdx x C
x xdx x C
x xdx x x C
  
 
  
 
  
  






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
sin sin , ;
2 2
cos cos
sin cos , ;
2 2
sin sin
cos cos , ;
2 2
1 sin
arcsin , ;
sin sin
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
dx a x b
C a b
a b x a b xa b
 
    
 
 
    
 
 
   
 

  
 




 
2 2
2 2
2 2
1 sin cos
ln , ;
sin sin
dx b a x b a x
C b a
a b x a b xb a
  
  
 

 
 
2 2
2 2
2 2
1 cos
arcsin , 0, 0 ;
cos cos
1 cos sin
ln , ;
cos cos
dx a x b
C a b
a b a b xb a
dx b a x b a x
C a b
a b a b xb a

    
 
  
  
 


92 
2 2
2 2
1 sin cos
ln .
sin cos sin cos
dx b x a x a b
C
a x b x a x b xa b
  
 
 
 
B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 
1. Định nghĩa 
       
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
   
Trong đó F’(x)=f(x) 
2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định (Hình 38) 
 
b
aABb
a
g x dx S 
3. Một số ứng dụng của tích phân xác định 
a) Tính diện tích hình phẳng 
Diện tích của hình giới hạn bởi đường cong y=f(x) và các đường 
y=0, x=a, x=b, trong đó y có cùng một dấu với mọi giá trị của x 
trong khoảng (a, b) là: 
 
b
a
S f x dx  (xem Hình 38) 
b) Tính độ dài cung 
Độ dài (s) của một cung của đường cong phẳng f(x,y)=0 từ điểm 
(a,c) đến điểm (b,d) là: 
y
xa bO
A
B
y=f(x)
Hình 38 
93 
22
1 1
b d
a c
dy dx
s dx dy
dx dy
  
      
   
  
Nếu phương trình của đường cong x=f(t), y=g(t) thì độ dài của 
cung từ t=a đến t=b là: 
2 2b
a
dx dy
s dt
dt dt
   
    
   
 
c) Tính thể tích khối tròn xoay 
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra do phần đường cong 
y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay xung quanh 
o Trục x là 2
b
a
V y dx  
o Trục y là 2
d
c
V x dy  
Trong đó c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị của 
a và b của x. 
d) Thể tích tạo bởi tiết 
diện song song 
Nếu mặt phẳng vuông góc với 
trục x tại điểm (x,0,0) cắt vật thể 
theo một tiết diện có diện tích là 
S(x) thì thể tích của phần vật thể 
trong khoảng x=a và x=b là: 
y=f(x)
y
xx
A
B
a b
Hình 39 
94 
 
b
a
V S x dx  
e) Diện tích mặt của khối tròn xoay 
Diện tích mặt của vật thể được sinh ra bởi phần đường cong 
y=f(x) trong khoảng x=a và x=b chuyển động quay 
o Đối với trục x là 
2
2 1 ;
b
a
dy
S y dx
dx

 
   
 
 
o Đối với trục y là 
2
2 1 .
d
c
dx
S x dy
dy

 
   
 
 
Trong đó c và d là các giá trị của y tương ứng với các giá trị a và 
b của x. 
95 
CHỈ MỤC 
C 
Cấp số 
Cấp số cộng · 29 
Cấp số nhân · 29 
Cấp số nhân lùi vô hạn · 30 
Công bội · 29 
Công sai · 29 
Tổng hữu hạn · 30 
D 
Đại số 
Căn số · 16 
Đa thức · 13 
Đẳng thức (đồng nhất thức) · 14 
Lũy thừa · 15 
Phân thức · 13 
Số e · 74 
G 
Giải tích kết hợp 
Giai thừa · 8 
Nhị thức Newton · 11 
Tam giác Pascal · 12 
H 
Hàm số 
Cực đại · 79 
Cực tiểu · 79 
Điểm uốn · 79 
Đồng biến · 78 
Hàm liện tục · 78 
Hàm lồi · 79 
Hàm số chẵn · 77 
Hàm số lẻ · 77 
Hàm tuần hoàn · 78 
Nghịch biến · 78 
Tâm đối xứng · 80 
Tiệm cận đứng · 80 
Tiệm cận ngang · 79 
Tiệm cận xiên · 80 
Trục đối xứng · 80 
Hình học phẳng 
Phương tích · 39 
Quạt tròn · 38 
Tâm đẳng phương · 40 
Trục đẳng phương · 40 
Viên phân · 38 
L 
Lượng giác 
Góc bội · 47 
Góc trong tam giác · 52 
S 
Số phức 
Argument · 19 
Biểu diễn hình học · 18 
Module · 19 
96 
V 
Vector 
Chiếu vector · 68 
Góc giữa hai vector · 71 
Tích hỗn hợp · 72 
Tích vô hướng · 70 
Tọa độ · 69 
Vector đối · 67