Dao động liên kết

y đi qua tâm của đĩa và vuông góc với mặt phẳng của đĩa. Đĩa A nằm ngang, tâm của đĩa gắn vào đầu dưới của một sợi dây mảnh thẳng đứng có hằng số xoắn là K, đầu trên của dây gắn vào một điểm cố định C. Đĩa B cũng nằm ngang và tâm đĩa gắn vào đầu dưới của một sợi dây mảnh khác cũng có hằng số xoắn bằng K, giống như đĩa A, chỉ khác là đầu trên của sợi dây này gắn vào tâm mặt dưới đĩa A, khiến cho hai dây treo nằm trên cùng một đường thẳng đứng (Hình 23).
A
B
C
Hình 23
Ở vị trí cân bằng của hai đĩa, hai dây treo không bị xoắn. Kí hiệu θ1 và θ2 lần lượt là tọa độ góc của mỗi đĩa (vào thời điểm t) tính từ vị trí cân bằng.
1. Viết phương trình vi phân cho chuyển động của từng đĩa.
2. Giả thiết hai đĩa đều dao động điều hòa với cùng tần số góc ω theo các phương trình và . Với giá trị nào của ω thì hai phương trình trên đều thỏa mãn. Tính tỉ số A/B.
3. Ban đầu đĩa A có tọa độ góc θ1(0) = θ0 và vận tốc góc bằng 0. Cần phải để đĩa B ở tọa độ góc ban đầu bằng bao nhiêu (vận tốc góc ban đầu của đĩa B bằng 0) thì hai đĩa đều dao động với cùng tần số góc như ở câu 2? Chiều quay của hai đĩa so với nhau như thế nào?
Đáp số và gợi ý.
1. Phương trình động lực mô tả chuyển động của các đĩa
2. Tần số góc của các dao động chuẩn của hệ là 
	, và 
	+ Nếu ω = ω1 thì .
	+ Nếu ω = ω2 thì .
3. Nếu θ1(0) = θ0 thì .
Theo kết quả của câu 2 thì
 - Nếu hai đĩa sẽ dao động với cùng tần số góc:
và 	
- Nếu hai đĩa sẽ dao động với cùng tần số góc:
	,
và 	
Suy ra
Nếu đĩa B có vận tốc góc ban đầu bằng 0, có tọa độ góc ban đầu là thì hai đĩa luôn chuyển động quay ngược chiều nhau. 
Nếu đĩa B có vận tốc góc ban đầu bằng 0, có tọa độ góc ban đầu là thì hai đĩa luôn chuyển động quay cùng chiều nhau.
Hình 24
L
2L
h
Nước
Không khí
Bài 4. Một phao đồng chất có chiều dài L, diện tích tiết diện thẳng là S và khối lượng là M nổi thẳng đứng trên mặt nước. Nước có khối lượng riêng là ρ (ρ = 1). Phao được gắn bằng một lò xo có khối lượng không đáng kể, hệ số đàn hồi là k với một thanh đồng chất có trục quay cố định tại tâm như hình 24. Thanh có cùng khối lượng với phao nhưng chiều dài gấp đôi chiều dài của phao. Phao chỉ có thể chuyển động theo phương thẳng đứng và chiều dài tự nhiên của lò xo được chọn sao cho tại vị trí cân bằng thanh nằm ngang. Bỏ qua lực cản của môi trường.
1. Thành lập phương trình vi phân mô tả chuyển động của hệ.
2. Tìm các kiểu dao động chuẩn (tần số dao động chuẩn và tỉ số các dịch chuyển) đối với dịch chuyển nhỏ của thanh.
3. Nhận xét về ý nghĩa vật lí của các kiểu dao động chuẩn tắc trong giới hạn lò xo rất cứng.
Đáp số và gợi ý.
1. Chọn x là độ dịch chuyển của đầu trên của phao thẳng đứng khỏi vị trí cân bằng, θ là góc quay của thanh, khi đó hàm Lagrange của cơ hệ
Do đó ta thu được phương trình chuyển động của hệ
2. Tần số góc chuẩn ứng với hai dao động chuẩn của hệ là
	,
và 
	 .
Các tỉ số của các độ dịch chuyển
3. Trong giới hạn lò xo rất cứng , hệ phương trình mô tả chuyển động suy biến thành
	,
và do đó tần số góc của dao động 
	.
Tỉ số dịch chuyển là
và chúng đồng pha. Chú ý rằng kết quả này không thể nhận được từ các kết quả trước đó bằng cách cho bời vì các quan hệ ràng buộc là khác nhau. Về mặt vật lí, ràng buộc có nghĩa là chiều dài của lò xo không đổi khi hệ dao động, điều này chỉ có thể đạt được khi lò xo rất cứng. 
Bài 5. Một tấm kim loại M có bề dày không đáng kể, đồng chất, hình chữ nhật với chiều dài là a và chiều rộng là b, khối lượng là M. Tấm M được đỡ ở mỗi đỉnh của nó bằng một lò xo có độ cứng là k. Các lò xo được gắn sao cho chúng chỉ có thể chuyển động theo hướng thẳng đứng (Hình 25). Ở vị trí cân bằng mặt phẳng ABCD nằm ngang. Chỉ xét dao động nhỏ.
1. Viết phương trình vi phân mô tả chuyển động của tấm M.
Hình 25 
D
A
B
C
b
a
x
z
y
O
2. Hãy tìm tần số góc chuẩn của các dao động chuẩn với biên độ nhỏ của tấm M.
Đáp số và gợi ý.
1. Sử dụng hệ tọa độ Descartes với gốc là khối tâm O của tấm M khi tấm ở trạng thái cân bằng. Tấm M ngoài chuyển động theo phương Oz nó còn quay quanh các trục Ox và trục Oy với các góc quay tương ứng là φ và θ. Gọi z là tọa độ thẳng đứng của khối tâm O tại thời điểm t bất kì. Chọn z, φ và θ làm các tọa độ suy rộng, khi đó hàm Lagrange của tấm M có dạng
Từ đó ta thu được các phương trình chuyển động như sau
2. Tần số góc chuẩn của các dao động chuẩn của tấm M
Bài 6. Một sợi dây mảnh, đàn hồi có chiều dài là (n + 1)a (n là một số nguyên dương). Sợi dây được căng theo phương ngang, cố định ở hai đầu sao cho sức căng taị mọi điểm trên dây và ở mọi thời điểm là T không đổi. Người ta gắn vào dây những quả cầu nhỏ (coi như một chất điểm) có khối lượng là m, khoảng cách giữa hai quả kế tiếp là a như hình 26. Giả thiết rằng các quả cầu chỉ được làm dịch chuyển một đoạn nhỏ khỏi vị trí cân bằng của nó theo phương vuông góc với sợi dây khi dây cân bằng. Bỏ qua tác dụng của trọng lực và lực cản của môi trường.
1. Lập phương trình vi phân mô tả chuyển động của quả cầu thứ j bất kì (0 < j < n).
2. Hãy tìm các tần số dao động chuẩn của các quả cầu và các biên độ của các dao động chuẩn này theo các thông số đã cho.
m
m
m
m
m
m
m
0
a
2a
(j - 1)a
ja
(j + 1)a
(n - 1)a
na
(n +1 )a
 =L
1
2
j -1
j
j +1
n - 1
n
Hình 26
Đáp số và gợi ý
m
m
m
m
a
a
Vị trí cân bằng của dây
Hình 27 
1. Hình 27 chỉ độ lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương vuông góc với sợi dây khi nó cân bằng của quả cầu thứ j cùng với hai quả cầu lân cận của nó (thứ j - 1 và thứ j + 1). Khi đó phương trình chuyển động của quả cầu thứ j là
2. Tần số góc dao động chuẩn của n quả cầu liên kết trên sợi dây
Ứng với mỗi ωs thì quả cầu thứ j có biên độ dao động thỏa mãn phương trình
với C là hằng số xác định từ các điều kiện ban đầu.
Bài 7. Từ sự tương tự cơ - điện, hãy vẽ sơ đồ một mạch điện đơn giản nhất, chỉ gồm các tụ điện và các cuộn thuần cảm, tương tự với hệ cơ học nêu ở Bài 6. Chứng tỏ mạch điện này có n tần số đặc trưng và tìm mối liên hệ giữa các tần số này với các thông số của mạch điện.
Hình 28
C
L
C
L
C
L
Đáp số và gợi ý.
+ Ta có thể thiết kế mạch điện như hình 28.
+ Tần số góc dao động chuẩn của n mạch LC liên kết
+ Ứng với mỗi ωs thì điện tích của tụ thứ j có biên độ dao động thỏa mãn phương trình
với Q là hằng số xác định từ các điều kiện ban đầu.
k
m1
m2
l
Hình 29 
Bài 8. Một vật có khối lượng m1, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang không ma sát và được nối với giá đỡ bằng một lò xo có độ cứng k. Một vật khác có khối lượng m2 được treo vào m1 bằng một sợi dây mảnh không co dãn có chiều dài l (Hình 29).
1. Lập phương trình vi phân mô tả chuyển động của mỗi vật khi dao động nhỏ.
2. Tìm các tần số của các dao động chuẩn khi m1 = m2 = m.
3. Các dao động chuẩn sẽ như thế nào nếu m1 = m2 = m và .
Đáp số và gợi ý.
1. Chọn trục Ox dọc theo trục lò xo có gốc tọa độ tại vị trí lò xo không biến dạng. Gọi x1 và x2 là tọa độ khối tâm của các vật m1 và m2, θ là góc hợp bởi phương dây treo và đường thẳng đứng đi qua điểm treo. Do dao động nhỏ nên coi , khi đó phương trình vi phân mô tả dao động của hệ có dạng
2. Tần số góc dao động chuẩn là 
và 
x
Hình 30 
y
3. Với điều kiện ta thu được và . Tần số ω1 ứng với dao động quanh khối tâm G đứng yên của hệ. Tần số ω2 ứng với .
Bài 9. Một con lắc đơn được treo vào một con lắc khác; Có nghĩa là dây của con lắc bên dưới được treo vào vật nặng của con lắc bên trên. Một hệ như vậy gọi là một con lắc kép toán học. Độ dài dây treo và vật nặng của con lắc đơn ở trên và dưới tương ứng là l1, l2, m1, m2 (Hình 30). Chỉ xét con lắc kép toán học dao động với biên độ góc nhỏ ở trong mặt phẳng hình vẽ.
1. Lập phương trình vi phân mô tả dao động của con lắc kép toán học.
2. Tìm các tần số góc chuẩn và các nghiệm dao động tổng quát.
3. Chỉ ra rằng với trường hợp đặc biệt hai con lắc hoàn toàn giống nhau, các tần số đó là . Dưới điều kiện nào của hệ để hệ chuyển động như một vật duy nhất.
Đáp số và gợi ý.
1. Chọn θ1 và θ2 làm tọa độ suy rộng của cơ hệ. Trong gần đúng dao động nhỏ của con lắc kép ta có hàm Lagrange của hệ như sau
Khi đó ta thu được phương trình vi phân mô tả dao động của con lắc kép
2. Tần số góc dao động chuẩn là 
và 
Nghiệm tổng quát là
và
3. Để hệ chuyển động như một vật rắn duy nhất cần có điều kiện θ1 = θ2, từ đó suy ra 
Phương trình trên cần có l1 = 0 hoặc l2 = 0, hoặc m1 = 0. Mỗi trường hợp này sẽ làm cho hệ hai con lắc rút về trở thành một con lắc đơn duy nhất. Do đó hệ hai con lắc đơn này không thể chuyển động như một vật rắn duy nhất.
Bài 10. Một hạt có khối lượng m, chuyển động trong một trường lực thế mà thế năng của nó có biểu thức: , với m là khối lượng của hạt, ω0 là tần số góc dao động riêng của hạt. Nếu hạt này được tính điện với điện tích là e và chịu tác dụng đồng thời của điện trường đều có cường độ E hướng theo trục x và từ trường đều có cảm ứng từ B hướng theo trục z.
1. Thành lập phương trình vi phân mô tả chuyển động của hạt.
2. Hãy tìm tần số góc dao động chuẩn.
3. Hãy thảo luận các kết quả thu được trong câu 2 trong giới hạn trường yếu và trường mạnh.
Đáp số và gợi ý.
1. Hàm Lagrange của hạt mang điện e trong điện trường và từ trường ngoài có dạng
Khi đó ta thu được các phương trình vi phân sau
2. Tần số góc chuẩn là
và
Trong các tần số dao động chuẩn ở trên thì hai kiểu dao động cuối được gây nên bởi chỉ một mình từ trường, trong khi điện trường chỉ gây nên dịch chuyển dọc theo hướng của nó.
3. Đối với trường yếu, , ta có
	 và 
Đối với trường mạnh, , ta có	 	 
và
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Quý Tư, Một số vấn đề về dao động, Nhà xuất Giáo dục, 2008.
2. Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 1997.
3. Tô Giang, Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí trung học phổ thông - Cơ học 2, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2009.
4. Vũ Thanh Khiết - Vũ Đình Túy, Các đề thi học sinh giỏi Vật lí (2001 - 2010), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.
5. Yung-Kuo Lim, Bài tập và lời giải cơ học (bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất bản Giáo dục, 2009.
6. H. J. Pain, The Physics of Vibrations and Waves, John Wiley & Sons, 1993.