Đáp án đềthi khảo sát chất lượng Lớp 12 - Năm 2012 môn Toán – Khối A

 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 - NĂM 2012 
Môn: TOÁN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) 
a) Tập xác định: }1{\ −R . 
b) Sự biến thiên: 
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có ( ) −∞=−−→ yx 1lim và ( ) .lim1 +∞=+−→ yx Do đó đường thẳng 1−=x là 
tiệm cận đứng của (H). 
Vì 2limlim −== +∞→−∞→ yy xx nên đường thẳng 2−=y là tiệm cận ngang của đồ thị. 
* Chiều biến thiên: Ta có .1,0
)1(
3' 2 −≠∀<+
−= x
x
y 
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( ).;1,1; ∞+−−∞− 
0,5 
* Bảng biến thiên: 
x ∞− 1− ∞+ 
'y − − 
y 
 ∞+ 
2− 2− 
 ∞− 
c) Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox tại ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 0;
2
1 , cắt Oy 
tại ( ).1;0 (H) nhận giao điểm ( )2;1 −−I của 
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
0,5 
2. (1,0 điểm) 
Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình 
 mx
x
x +−=+
+−
1
12 
)1(01)1(
1),)(1(12
2 =+−+−⇔
−≠+−+=+−⇔
mxmx
xmxxx
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 0)1(4)1(0 2 >+−−+⇔>Δ⇔ mm 
⎢⎢⎣
⎡
+−>
−−−+⇔
323
323
0362
m
m
mm (2) 
0,5 
I. 
(2,0 
điểm) 
Khi đó ),;(),;( 2211 mxxBmxxA +−+− với .1,1 2121 +−=+=+ mxxmxx 
Từ giả thiết ta có 4)(8)()(8 212
2
12
2
12
2 =−⇔=−+−⇔= xxxxxxAB 
⎢⎣
⎡
−=
=⇔=−+⇔=+−−+⇔
=−+⇔
7
1
0764)1(4)1(
44)(
22
21
2
21
m
m
mmmm
xxxx
Đối chiếu với (2), ta có các giá trị cần tìm của m là .7,1 −== mm 
0,5 
1. (1,0 điểm) 
II. 
(2,0 
điểm) 
Phương trình đã cho tương đương với 
 xxxxxx cos3cos2cos12sin)sin3(sin −=−+++ 
 xxxxxxx cos2sin2sin2cossin2cos2sin2 2 −=++⇔ 
.0)sin)(cos1cos2(sin
0)sin(cossin)sin(cos2sin
=++⇔
=+++⇔
xxxx
xxxxxx
0,5 
xO 1− 
2
1
y 
I 2− 
1 
 2
Từ đó ta có các trường hợp sau 
*) .,0sin Z∈=⇔= kkxx π 
*) .,2
3
2
2
1cos01cos2 Z∈+±=⇔−=⇔=+ kkxxx ππ 
*) .,
4
0sincos Z∈+−=⇔=+ kkxxx ππ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .,
4
,2
3
2, Z∈+−=+±== kkxkxkx πππππ 
0,5 
2. (1,0 điểm) 
Điều kiện: .0
024
0
>⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−+
>
x
x
x
x
Khi đó bpt đã cho tương đương với .24427 22 xxxx −+>−+ 
Đặt 0,422 ≥=+− ttxx ta được 
⎢⎣
⎡
>
+−⇔>+
3
1
03443 22
t
t
tttt 
0,5 
*) Với 1<t ta có ,1422 <+− xx bpt này vô nghiệm. 
*) Với 3>t ta có 
⎢⎢⎣
⎡
−<
+>⇔>−−⇔>+−
61
61
052342 22
x
x
xxxx 
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm .61+>x 
0,5 
Ta có .d
)1(
2ln
0
2∫ += xe xeI x
x
Đặt ,dd xuxu =⇒= .
1
1d
)1(
d 2 +−=⇒+= xx
x
e
vx
e
ev 
Theo công thức tích phân từng phần ta có 
 ∫∫ ++−=+++−=
2ln
0
2ln
00
2ln
1
d
3
2ln
1
d
1 xxx e
x
e
x
e
xI (1) 
0,5 
III. 
(1,0 
điểm) 
Tính .
1
d2ln
0
1 ∫ += xe xI Đặt tex = ta có 22ln;10 =⇒==⇒= txtx và .dd ttx = 
Suy ra .3ln2ln2)1ln(lnd
1
11
)1(
d
1
2
1
22
1
2
1
1 −=+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−=+= ∫∫ ttttttt tI 
Thay vào (1) ta được .3ln2ln
3
5 −=I 
0,5 
 *) Gọi H là trung điểm CM. Từ giả thiết 
.45))(;()( 0111 =∠=∠⇒⊥⇒ ABCCCCHCABCHC
*) Từ tam giác vuông ABC với 
3260,2 0 aACABCaBC =⇒=∠= , 
aCHaABCMaAM =⇒=== 2
2
1,4 
.45tan 01 aCHHC ==⇒ 
.3232.. 321. 111 aaaSHCV ABCCBAABC === 
0,5 
IV. 
(1,0 
điểm 
*) Kẻ ⇒⊥ ACHK đường xiên .))();(( 1111 KHCAACCABCACKC ∠=∠⇒⊥ 
Tam giác MCA cân tại M 
2
30sin.30 00 aHCHKMACMCA ==⇒=∠=∠⇒ 
.2arctan))();((2)tan( 111 =∠⇒==∠⇒ AACCABCHK
CHKHC 
0,5 
C 
A 
M 
H 
K 
1C 
1B 
1A 
2a 
B 
 3
Ta có .3111;3111;3111 333333 zxxzyzzyxyyx
≥++≥++≥++ 
Suy ra .3333222 333 zxyzxyzyx
++≥+++ 
Suy ra .1113333 222222 xzxzzyzyyxyxzxyzxy
P +−++−++−+++≥+ 
0,5 
V. 
(1,0 
điểm 
Mặt khác, áp dụng BĐT ,411
baba +≥+ với 0, >ba ta có 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−++++≥+ 222222
1111112223
xzxzzxzyzyyzyxyxxyzxyzxy
P 
.12
3.4
9.3.16
)222(
9.3.16
)()()(
3.16
)(
16
)(
16
)(
16
1
2
141
2
141
2
14
444222
22
3 222222
222222
222222
=≥++≥
+++≥+++++≥
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++=
++++++++≥
zyx
xzzyyxxzzyyx
xzzxzyyzyxxy
xzzyyxzxyzxy
Do đó .9≥P Dấu đẳng thức xảy ra khi .1=== zyx 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi .1=== zyx 
0,5 
1. (1,0 điểm) 
1
48
:)(
22
=+ yxE có ).0;2(),0;2(248 21 FFc −⇒=−= 
Từ giả thiết 2: −=⇒ xyd hay .02 =−− yx 
0,5 
Từ hệ .
3
2;
3
8),2;0(
1
48
2
22 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
−=
BAyx
xy
.
3
1622.2
3
8.
2
1);(.
2
1
11
=== ABFdABS ABF 
0,5 
2. (1,0 điểm) 
*) (P) chứa d )(P⇒ đi qua ⇒−− )1;1;2(M pt (P) có dạng 
).0(02 222 ≠++=++−++ CBACBACzByAx 
00.)( =−+⇔=⇒⊂ CBAnuPd Pd (1) 
*) 
2
1
.6
|2|
2
1))(;sin(30))(;(
222
0 =++
++⇔=Δ⇔=Δ∠
CBA
CBAPP 
 )(3)2(2 2222 CBACBA ++=++⇔ . (2) 
0,5 
VIa. 
(2,0 
điểm) 
*) Từ (1) có BAC += thay vào (2): ⎢⎢⎣
⎡
−=
−=
⇔=++
2
2
0252 22 BA
BA
BABA 
+ Khi .2BA −= Chọn .042:)(1,2,1 =−+−⇒==−= zyxPCAB 
+ Khi .
2
BA −= Chọn .052:)(1,1,2 =−−−⇒−==−= zyxPCAB 
0,5 
VIIa. 
(1,0 
điểm) 
Từ giả thiết ta có 2,
6
)1()1(.3
2
)1)(2(.8)1(3 ≥−+=++++ nnnnnnn 
 .11
2
11
0229)1()2(86 2 =⇔⎢⎣
⎡
−=
=⇔=−−⇔−=++⇔ n
n
n
nnnnn 
0,5 
 4
Theo khai triển nhị thức Newton ta có 
∑∑∑
=
−
=
−
=
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
k
i
i
i
i
k
kk
k
k
k
kk
k
k
x
CxC
x
xC
x
x
0
11
11
0
11
11
11
0
11
11
)1(.)(3.113.).(113 
 .)1(.3. 2
11
0
11
0
11
iki
k
i
i
k
k
k
k xCC
−−
==
−= ∑∑ 
Xét phương trình 110,4
2
11 ≤≤≤=−− kiik ⎢⎣
⎡
==
==⇔≤≤≤=+⇔
0,3
1,1
110,32
ik
ik
kiik 
Suy ra hệ số của 4x là .44223.)1.(.3. 3311
11
1
1
11 =+− CCC 
0,5 
1. (1,0 điểm) 
– TH1: .2: =⇒⊥ xdOxd Từ 0.
)2;2(
)2;2(
2
2
2 =⇒⎩⎨
⎧
−⇒⎩⎨
⎧
=
=
ONOM
N
M
xy
x
. (1) 
– TH2: .2: kkxydOxd −=⇒⊥/ Tọa độ M, N là nghiệm của 
⎩⎨
⎧
=
−=
xy
kkxy
2
2
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
⇔
kyky
yx
2
2
.
2
2
2
 0422 =−−⇒ kyky . (2) 
0,5 
Để d cắt (P) tại M, N phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt .0≠⇔ k 
Gọi ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
2
2
1
2
1 ;
2
,;
2
yyNyyM trong đó 21, yy là nghiệm của (2). 
Ta có 0)4()2(
2
. 221
2
21 =−+−=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= yyyyONOM . (3) 
Từ (1) và (3) suy ra OMNMON Δ⇒=∠ 090 vuông tại O. Suy ra tâm I của đường tròn 
ngoại tiếp OMNΔ là trung điểm MN .dI ∈⇒ 
0,5 
2. (1,0 điểm) 
d cắt (P) tại )4;0;1(−E 
Giả sử 052)(),;;( 000000 =+−+⇒∈ zyxPFzyxF . (1) 
Vì 'dEF ⊥ nên dEF ⊥ (định lí 3 đường vuông góc) 0. =⇒ EFud 
 .022 000 =−++⇔ zyx (2) 
0,5 
VIb. 
(2,0 
điểm) 
75)4()1(35 20
2
0
2
0 =−+++⇔= zyxEF (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra ),1;5;4( −−F hoặc ).9;5;6(−F 0,5 
Từ giả thiết 0422 =+− zz ta có .313)1( 2 izz ±=⇔−=− 0,5 
VIIb. 
(1,0 
điểm) *) Với iz 31+= ta có 
7
7
7
77
)
6
sin
6
(cos
)
4
sin
4
(cos
.
28
1
)3(
)1(
33
33
ππ
ππ
i
i
i
i
i
iw
+
−+−
=+
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−= 
7 7cos sin1 1 1 3 1 3 14 4. . .7 7 8 32 328 2 3cos sin
6 6
i i i
ii
π π
π π
− −+ + + −= = − = − −++
*) Với iz 31−= ta có 
7
7
7
7
)
6
sin
6
(cos
)
4
sin
4
(cos
.
28
1
)3(
)1(
ππ
ππ
−+−
+
=−
+=
i
i
i
iw 
 .
32
13
32
13
3
1.
8
1
6
7sin
6
7cos
4
7sin
4
7cos
.
28
1 i
i
i
i
i −++−=+−
−=−+−
+
= ππ
ππ
0,5